Uvod
Ko pomislimo na pravokotni trikotnik, ga običajno povežemo s Pitagorovim izrekom. Ta nam povsem zadošča, če ostajamo pri računanju tretje stranice trikotnika iz dveh znanih stranic.
Kako pa bi ravnali, če bi poleg velikosti stranic želeli izračunati tudi velikosti trikotnikovih ostrih kotov? Kako nam bodo tu v pomoč znane trikotnikove stranice?
|
| Riš datoteka |
Z razmerji stranic pravokotnega trikotnika bomo vpeljali t. i. kotne funkcije.
Predstavitev kotne funkcije
Kotno funkcijo si lahko predstavljamo kot avtomat, v katerega namesto žetonov vlagamo velikosti kotov, ko pa pritisnemo na ustrezen gumb, nam avtomat vrne neko realno število.
Če bi vanj vrgli kot in pritisnili na tipko, na kateri piše sinus, bi iz avtomata padlo število .
Kaj pa pomenijo števila, ki jih kotom pripišejo kotne funkcije?
Da bomo to bolje razumeli, ponovimo nekaj dejstev o lastnostih trikotnikov.
| Ponovitev o trikotnikih | Ponovi definicijo funkcije | |||||||||||||||||||||||||
| Preskoči ponovitev o trikotnikih |
Funkcija iz množice v množico je tako prirejanje, ki vsakemu elementu množice priredi natanko en element množice . Množico imenujemo definicijsko območje ali domena, množico pa kodomena. Če množico predstavljajo realna števila, ki merijo velikosti kotov, množica pa je (pod)množica realnih števil, dobimo kotne funkcije.
Ponovitev o trikotnikih
Dopolni naslednji tekst z manjkajočimi besedami in številkami
Vsota notranjih kotov poljubnega (pravokotnega) trikotnika znaša . Ker meri pravi kot , ostala dva ostra kota skupaj znašata .Če poznamo velikost ostrega kota , kot izračunamo z izrazom . Tako so vsi koti pravokotnega trikotnika določeni z izbiro enega ostrega kota. S tem je določena oblika, ne pa tudi velikost pravokotnega trikotnika. Vsi trikotniki, ki se ujemajo v velikostih svojih notranjih kotov, so si
enaki
skladni
podobni
enakostranični
enakokraki
. Ena od lastnosti podobnih trikotnikov je, da se ujemajo v razmerjih istoležnih stranic, to je stranic, ki ležijo nasproti skladnih kotov.
| Preveri |
Bravo, še imaš znanje o trikotnikih.
Vsi tvoji odgovori niso bili pravilni. Poskusi še enkrat.
Tvoj odgovor ni pravilen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Ponovitev o trikotnikih
|
| Riš datoteka |
Oglej si zgornjo skico in odgovori na vprašanja.
Koliko trikotnikov vidiš na sliki? Katere in kakšna lastnost jih odlikuje?
Kateri stranici sta istoležni stranici in kateri dve ?
| Namig |
| Preveri |
Bravo. Oba vprašanja si rešil prav.
Pravilno si rešil le prvo vprašanje, drugega še enkrat preveri.
Pravilno si rešil le drugo vprašanje, prvega še enkrat preveri.
Tvoj odgovor ni pravilen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Istoležne stranice ležijo v podobnih trikotnikih nasproti enako velikih kotov.
Ponovitev o trikotnikih
|
| Riš datoteka |
Še enkrat si oglej skico in reši še naslednji nalogi.
Dano je razmerje stranic . Zapiši še dve razmerji istoležnih stranic v podobnih trikotnikih.
| Namig |
Za kotne funkcije bomo potrebovali razmerja dveh stranic.
Razmerji in dopolni še z dvema razmerjema istoležnih stranic.
| Preveri |
Bravo. Oba vprašanja si rešil prav.
Pravilno si rešil le prvo vprašanje, drugega še enkrat preveri.
Pravilno si rešil le drugo vprašanje, prvega še enkrat preveri.
Tvoj odgovor ni pravilen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Definicija kotnih funkcij
| Operacija | Ime funkcije | Oznaka |
| kotu nasprotiležna kateta : hipotenuza | sinus kota | sin |
| kotu priležna kateta : hipotenuza | kosinus kota | cos |
| kotu nasprotiležna kateta : priležna kateta | tangens kota | tg |
| kotu priležna kateta : nasprotiležna kateta | kotangens kota | ctg |
Naloge: Prav ali narobe?
|
| Riš datoteka |
Opazuj zgornjo skico pravokotnega trikotnika in ugotovi (ne)pravilnost naslednjih izjav.
K z ulomki zapisanim izrazom prenesi izraze za vse štiri kotne funkcije kotov oziroma . Opazuj dobljene povezave.
| Nepravilno. Pravilno. | ||
| Pravilno. Nepravilno. | ||
| Nepravilno. Pravilno. | ||
| Pravilno. Nepravilno. |
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi rešitev.
Rešitev:
Pravilno. |
Nepravilno. |
Pravilno. |
Nepravilno. |
Kotne funkcije posebnih parov kotov
Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat. Preberi rešitev.
Rešitev:
Kotne funkcije
|
| Riš datoteka |
Glede na rezultate s prejšnje naloge odgovori na vprašanja, ki ti bodo pomagala pri razmišljanju.
Najdeš med kotnimi funkcijami kotov in z zgornje skice kakšno povezavo?
Opaziš lahko, da velja:
= | = | |
= | = |
Koliko merita in skupaj? °
Kako imenujemo taka dva kota? Suplementarna kota Komplementarna kota Sokota Sovršna kota
| Preveri |
Če se ne spomniš, kakšna je bila prejšnja naloga se lahko vrneš k reševanju le te.
Nazaj
Vse tri naloge si rešil napačno. Poskusi še enkrat.
Kotne funkcije komplemetarnih kotov
| Kotne funkcije ostrega kota | Kotne funkcije komplementarnega kota |
Vrednosti kotnih funkcij kota bodo obenem tudi vrednosti kotnih funkcij kota , vrednosti kotnih funkcij kota bodo iste kot pri kotu in podobno, če jih bomo zamenjali v skladu z zgoraj zapisanimi pravili.
Naloga 1
Tvoj odgovor je žal napačen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Tvoj odgovor je žal napačen. Poskusi še enkrat.
Sinus kota pove razmerje med kotu nasprotiležno kateto in hipotenuzo, torej .
Naloga 2
Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.
Tvoj odgovor je žal napačen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Kosinus kota opisuje razmerje priležne katete in hipotenuze, nas pa v danem primeru zanima ravno obratno razmerje.
Naloga 3
Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.
Tvoj odgovor je žal napačen. Poskusi še enkrat.
Tvoj odgovor je žal napačen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Velja, da je . Za izračun uporabimo Pitagorov izrek, saj je trikotnik pravokotni.
Naloga 4
Imejmo pravokotni trikotnik s stranicami , in in ogliščem pri pravem kotu. Z ulomki zapiši izraze za vse štiri kotne funkcije kotov (kot pri oglišču )in (kot pri oglišču ).
Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.
Tvoj odgovor je žal napačen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Naloga 5
Presodi ali so spodnji zapisi pravilni ali nepravilni, če so , in stranice pravokotnega trikotnika z ogliščem pri pravem kotu in je kot kot pri oglišču , kot pa kot pri oglišču .
| Nepravilno. Pravilno. | |
| Nepravilno. Pravilno. | |
| Nepravilno. Pravilno. | |
| Nepravilno. Pravilno. |
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi rešitev.
Rešitev:
Nepravilno. |
Pravilno. |
Pravilno. |
Nepravilno. |
Naloga 6
Z upoštevanjem zvez med kotnimi funkcijami komplementarnih kotov in enakosti dopolni naslednje zveze:
=
| =
| =
| ||
=
| =
|
| ||
=
| =
| = |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Tvoj odgovor ni pravilen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Naloga 7
Izračunaj vse štiri kotne funkcije ostrega kota v pravokotnem trikotniku, v katerem meri hipotenuza cm, kotu priležna kateta pa cm.
Bravo. Na vprašanje si odgovoril pravilno.
Tvoj odgovor ni pravilen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Naloga 8
Bravo. Na vprašanje si odgovoril pravilno.
Tvoj odgovor ni pravilen. Preberi rešitev.
Rešitev:
Pravokotni trikotnik, v katerem je kateta polovica hipotenuze, je polovica enakostraničnega trikotnika, ki vsebuje polovico kota , torej v njem nastopa kot .
Naloga 9
Izračunaj drugi dve stranici in kota v pravokotnem trikotniku, katerega hipotenuza meri cm, en kot pa . Ob tem upoštevaj, da je .
Tvoj odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Tvoj odgovor ni pravilen. Preberi rešitev.
Rešitev:
In še za konec
Ker je v pravokotnem trikotniku razmerje stranic določeno z izbiro enega samega ostrega kota, lahko sklepamo tudi obratno: iz znanega razmerja stranic lahko povemo, kateri ostri kot je v pravokotnem trikotniku zagotovo nastopal. Včasih bomo velikost kota iz razmerja znali ugotoviti kar na pamet, v večini primerov pa si bomo morali pomagati s kalkulatorjem. Tipične vrednosti kotnih funkcij nekaterih ostrih kotov in zveze med kotnimi funkcijami pa bodo tema gradiva Kotne funkcije na splošno.
Rezultati
