Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Premiki in raztegi

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Ponovitev

Najprej se bomo spomnili preslikav množic točk v ravnini. Predlagam, da si pri vsaki nalogi pomagaš s sliko. Vse slike rešitev imaš na koncu vseh nalog.

Ukvarjali se bomo z daljico s krajiščema $A(1, 2)$ in $B(5, 3)$ . Nariši jo v koordinatni sistem. 1. Premakni daljico $AB$ za vektor $\vec{v}=(1,2)$ . Kje ima premaknjena daljica krajišči? Kako bi ju izračunal? Opiši to preslikavo.

Odgovor

2. Prezrcali daljico $AB$ preko abscisne osi in zapiši koordinati krajišč prezrcaljene daljice. Kaj se pri zrcaljenju preko abscisne osi zgodi s posamezno točko?

Odgovor

3. Kam se preslikata krajišči, če daljico AB prezrcalimo preko ordinatne osi? Opiši to zrcaljenje.

Odgovor

4. Preslikaj sedaj še daljico AB preko koordinatnega izhodišča in zapiši njene nove koordinate. Kaj se zgodi s posamezno točko pri tej preslikavi?

Odgovor

5. Razmisli, kam se preslikata krajišči daljice AB, če jo prezrcališ preko simetrale lihih kvadrantov (premice y = x).

Odgovor

Slike rešitev

Raziščimo še preslikave, pri katerih se dolžina ne ohranja. Vse naloge se še vedno nanašajo na prej podano daljico s krajišči $A(1, 2)$ in $B(5, 3)$ . Pri reševanju si pomagaj s slikami; njihove rešitve najdeš na koncu celotnega sklopa nalog. 1. Vsako koordinato krajišče daljice $AB$ pomnoži z $2$ . Kaj se zgodi z dolžino daljice in z njeno lego?

Odgovor

2. Kako imenujemo to preslikavo?

Odgovor

3. Če pomnožimo s faktorjem $k$ samo $x$ koordinato točke, govorimo o raztegu v smeri abscisne osi.

Če pomnožimo s faktorjem $k$ samo ordinato točke, pa govorimo o raztegu v smeri osi $y$ .

Izračunaj koordinati krajišč za oba raztega za faktor $k = 2$ in nariši sliki raztegnjenih daljic.

Slike rešitev raztegov daljice

Krajišči sta v točkah $A'(2, 4)$ in $B'(6, 5)$ . Izračunamo ju tako, da k koordinatam točk prištejemo koordinati vektorja premika.

Vzporedni premik za vektor $\vec{v}= (p,q)$ nam točko $T(x,y)$ preslika v točko $T'(x+p, y+q)$ .

Opomba: rešitev najdeš pod gumbom Slike rešitev spodaj.

Krajišči prezrcaljene daljice sta $A''(1, –2)$ , $B''(5, –3)$ ; pri tem sta abscisi točk ostali enaki, ordinati pa sta spremenili predznak. Zrcaljenje preko abscisne osi nam torej vsako točko $T(x,y)$ preslika v $T''(x,-y)$ .

Opomba: rešitev najdeš pod gumbom Slike rešitev spodaj.

Pri zrcaljenju preko ordinatne osi dobimo krajišči $A'''(–1, 2)$ in $B'''(–5, 3)$ . Zrcaljenje preko ordinatne osi nam torej vsako točko $T(x,y)$ preslika v $T'''(-x,y)$ .

Opomba: rešitev najdeš pod gumbom Slike rešitev spodaj.

Pri zrcaljenju preko koordinatnega izhodišča dobimo daljico s krajiščema $A^*(–1, –2)$ in $B^*(–5, –3)$ . Zrcaljenje preko koordinatnega izhodišča nam vsako točko $T(x,y)$ preslika v $T^*(-x,-y)$ .

Opomba: rešitev najdeš pod gumbom Slike rešitev spodaj.

Krajišči prezrcaljene daljice preko simetrale lihih kvadrantov sta $A^{¤}(2, 1)$ in $B^{¤}(3, 5)$ . Kot vidiš, je za zrcaljenje preko simetrale lihih kvadrantov značilno, da nam točko $T(x,y)$ preslika v $T^{¤}(y, x)$ .

Opomba: rešitev najdeš pod gumbom Slike rešitev spodaj.

Novi krajišči daljice sta $A'(2, 4)$ , $B'(10, 6)$ . Dolžina prvotne daljice je $d(A,B)= \sqrt {17}$ .

Dolžina "nove" daljice je $d(A',B')= \sqrt {68}= 2\sqrt {17}$ .

Daljica se je vzporedno premaknila, njene dolžina se je dvakrat povečala.

Preslikava, kjer vsako koordinato točke pomnožimo z nekim faktorjem $k$ , imenujemo homotetija oziroma središčni razteg s središčem v točki $O(0, 0)$ . Gre za podobnostno preslikavo, kjer se dolžine spremenijo, koti se ohranijo.

V primeru raztega za $k = 2$ v smeri osi $x$ se je zmanjšala strmina daljice.

V primeru raztega za $k = 2$ v smeri osi $y$ se je strmina daljice povečala za dvakrat.

Premiki grafov funkcij

Podan imaš graf funkcije $f(x) = x^2$ , ki ga lahko premikaš za vektor premika $\vec{v}=(p,q)$ . Z reševanjem nalog ugotovi, kako vpliva spreminjanje posamezne koordinate vektorja premika na lego grafa.

Spreminjaj koordinati vektorja premika $\vec{v}=(p,q)$ z drsniki. Na začetku naj bosta obe koordinati enaki $0$ .
1. Nastavi drsnik tako, da bo $p = 0$ in $q = 2$ . Kam se je premaknil graf? Zakaj? Zapiši predpis premaknjene funkcije.

Odgovor

2. Naj bo sedaj $q = –4$ in $p = 0$ . Kaj se zgodi z lego grafa? Kje ima premaknjena funkcija ničlo? Zapiši predpis funkcije.

Odgovor

3. Nastavi koordinati vektorja $\vec{v}=(p,q)$ tako, da bo imela funkcija eno samo ničlo pri $x = 3$ . Zapiši njen predpis. Kam se je premaknil graf?

Odgovor

4. Naj bo sedaj p = –2, q = 0. Kje ima funkcija ničlo in kakšen je njen prepis? Kam se je premaknil graf?

Odgovor

5. Premakni graf funkcije za vektor premika $\vec{v}=(2,1)$ . Kam se je premaknil graf? Poskušaj zapisati predpis premaknjene funkcije.

Odgovor

6. Kako torej vpliva vzporedni premik za vektor premika $\vec{v}=(p,q)$ grafa poljubne funkcije na njen predpis?

Odgovor

Ker smo graf funkcije premaknili za vektor $\vec{v}=(0,2)$ , se je prvotni graf premaknil navzgor v smeri osi $y$ , saj smo vsako funkcijsko vrednost povečali za $2$ . Predpis "nove" funkcije je $g(x)=x^2 +2$ .

V tem primeru se je graf premaknil navzdol v smeri ordinatne osi, saj smo vsako ordinato točke na grafu zmanjšali za $4$ . Dobljena funkcija ima dve ničli; $x = 2$ in $x = –2$ , njen predpis je $h(x) = x^2 – 4$ .

Koordinati moraš nastaviti tako, da je $p = 3$ , $q = 0$ . Torej ima dobljena funkcija predpis $g(x) = (x – 3)^2$ . Graf prvotne funkcije smo s tem premaknili v desno.

Ničla dobljene funkcije je pri $x = –2$ , predpis je $h(x) = (x + 2)^2$ , graf smo premaknili levo vzdolž osi $x$ .

Graf se je premaknil za $2$ v desno vzdolž osi $x$ in za $1$ navzgor vzdolž osi $y$ . Predpis premaknjene funkcije je $k(x) = (x – 2)^2 + 1$ .

Predpis vzporedno premaknjene funkcije $f(x)$ za vektor premika $\vec{v}=(p,q)$ je $g(x)=f(x-p)+q$ .

Vzporedni premik funkcije

Vzporedni premik funkcije $f(x)$ za vektor premika $\vec{v}=(p,q)$ je torej sestavljen iz premika v smeri osi $x$ in premika v smeri osi $y$ . Predpis vzporedno premaknjene funkcije je

$g(x)=f(x-p)+q.$

Vzporedni premik v smeri osi $x$ grafa funkcije $f(x)$ nam preslika graf v $y=f(x-p)$ ;

- če je $p > 0$ , je to premik v desno;

- če je $p < 0$ , je to premik v levo.

Vzporedni premik v smeri osi $y$ grafa funkcije $f(x)$ nam preslika graf v $y=f(x)+q$ .

- če je $q > 0$ , je to premik navzgor;

- če je $q < 0$ , je to premik navzdol.

Premik linearne funkcije

Premik v smeri abscisne osi

Premik v smeri ordinatne osi

Na sliki je graf potenčne funkcije $f(x) = x^{–2}$ , ki je enkrat premaknjena za $3$ navzgor, drugič za $1$ navzdol. Oblika grafa se ob tem premiku ni spremenila, tudi definicijsko območje ne. Spremenili sta se zaloga vrednosti in lega asimptote; v prvem primeru je asimptota $y = 3$ , v drugem pa $y = –1$ .

Razteg funkcije v smeri ordinatne osi

Razteg v smeri ordinatne osi Podan imaš graf funkcije $f(x) = ax^2$ . Spreminjaj vrednost parametra $a$ od $–3$ do $3$ in opazuj, kako njegova vrednost vpliva na graf funkcije.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Poskusi sam
1. Nastavi drsnik tako, da bo parameter $a = 2$ oziroma $a = –2$ . Kaj opaziš glede oblike in lege grafa funkcije v posameznem primeru?

Odgovor

2. Naj bo sedaj $a = 0$ . Počasi ga večaj. Kako se to odraža na grafu?

Odgovor

3. Katere točke grafa se pri spreminjanju parametra $a$ ohranijo?

Odgovor

4. Za katere vrednosti parametra $a$ je funkcija navzgor omejena?

Odgovor

5. Določi $a$ tako, da bo funkcija liha.

Odgovor

6. Primerjaj med sabo grafe za

$a=\frac{1}{2}$ , $a=1$ , $a=3$ in $a=-3$ .

Kateri izmed grafov je nad ostalimi in kateri je pod vsemi?

Odgovor

Grafa funkcij $g(x)=2x^2$ in $h(x)=-2x^2$ sta zrcalna glede na os $x$ .

Sprva je graf zelo položen in "razprt", z večanjem njegove vrednosti postaja vse ožji in strmejši.

Ohranijo se točke, v katerih ima funkcija ničle, saj je v teh točkah funkcijska vrednost enaka $0$ ; $a \cdot 0 = 0$ za poljubno število $a$ .

Funkcija je omejena navzgor za $a < 0$ .

Takšen $a$ ne obstaja, saj razteg funkcije ne vpliva na lastnost sodost-lihost.

Če primerjamo dobljene funkcije med sabo, dobimo:

$-3f(x)<\frac{1}{2}f(x)<f(x)<3f(x).$

To velja za vsak $x$ razen za $x = 0$ , kjer imajo vse funkcije ničlo.

Raztegi linearne funkcije

Raztegi grafa $y = x^3$

Raztegi grafa $y = x^{–1}$

Razteg funkcije v smeri ordinatne osi

Razteg funkcije $f(x)$ v smeri ordinatne osi za poljubno konstanto $a$ nam vsako funkcijsko vrednost pomnoži s faktorjem raztega; torej je predpis raztegnjene funkcije $g(x)=af(x)$ :

- za $|a| > 1$ , se graf raztegne v smeri osi $y$ , strmina se poveča;

- za $0 < |a| < 1$ se strmina grafa zmanjša, graf se skrči vzdolž osi $y$ ;

- za $a = –1$ se graf prezrcali preko abscisne osi.

Če ima funkcija $f$ ničle, ima iste ničle tudi funkcija $g$ .

Razteg funkcije v smeri abscisne osi

Podan imaš graf funkcije $y=f(\frac{x}{k})$ . Spremenljivka je odvisna od faktorja $k$ , ki naj bo na začetku enak $1$ .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Poskusi sam
Spreminjaj vrednost faktorja $k$ na drsniku zgoraj in opazuj spremembe na grafu funkcije. Poskušaj ugotoviti pravilnost izjav.

Kadar je $k > 1$ , se graf krči. Pravilno. Napačno.

Namig

Za $k= \frac{1}{5}$ se strmina grafa poveča. Pravilno. Napačno.

Namig

Grafa pri $k = 1,6$ oziroma $k = –1,6$ sta zrcalna glede na abscisno os. Pravilno. Napačno.

Namig

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Dobro opazuj ničle funkcije. Za $k > 1$ se graf raztegne, kar je dobro vidno iz lege ničel.

Za $k= \frac{1}{5}$ se graf skrči, torej se strmina poveča.

Grafa sta zrcalna glede na ordinatno os.

Razteg funkcije v smeri abscisne osi

Razteg funkcije $f(x)$ v smeri abscisne osi za poljubni faktor k nam vsako absciso točke na grafu pomnoži s $k$ (ordinata ostane nespremenjena); predpis raztegnjene funkcije $g(x)=f(\frac{x}{k})$ :

- za $|k| > 1$ , se graf raztegne v smeri osi $x$ ;

- za $0 < |k| < 1$ se graf skrči v smeri osi $x$ (strmina grafa se poveča);

- za $k = –1$ se graf prezrcali preko ordinatne osi.

Grafi z absolutno vrednostjo

Animacija prikazuje grafa dveh funkcij. Razmisli, kako sta povezana njuna predpisa.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Poskusi sam
Dobro opazuj animacijo in poskusi odgovoriti.
Katere točke grafa, narisanega s črno, ostanejo nespremenjene v primerjavi z grafom, narisanim z rdečo? Katere točke grafa, narisanega s črno, spremenijo lego in kako?

Odgovor

Kako bi opisali predpis "rdeče" funkcije, če je predpis "črne" $f(x)$ ?

odgovor

Graf funkcije $|f(x)|$ dobimo tako, da ohranimo nespremenjene vse tiste dele grafa, za katere je $f(x) ≥ 0$ , in prezrcalimo preko abscisne osi tiste dele, kjer je $f(x) < 0$ .

Nespremenjene ostanejo točke, ki ležijo nad abscisno osjo ter na njej, tiste pod njo se preslikajo preko abscisne osi. Graf funkcije, narisane z rdečo, dobimo s pomočjo grafa, narisanega s črno tako, da ohranimo točke, ki imajo funkcijske vrednosti nenegativne. Tiste, ki imajo funkcijske vrednosti negativne, prezrcalimo preko abscisne osi.

Njen predpis je $|f(x)|$ , saj so vse njene funkcijske vrednosti večje ali enake $0$ .

Še ena animacija

Podana imaš grafa dveh funkcij. Osnovni graf je graf, narisan z modro. Razmisli, kako je graf funkcije, narisan z rdečo, povezan z osnovnim grafom.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Razmisli in odgovori
Natančno opazuj animacijo in poskusi odgovoriti na vprašanja. Kaj imata skupnega podana grafa in v čem se razlikujeta? Poskušaj opisati lego tistih točk, v katerih se grafa razlikujeta.

Odgovor

Poskušaj opisati predpis "rdečega" grafa, če je "črni" graf graf funkcije $g(x)$ .

Odgovor

Graf funkcije $g(|x|)$ dobimo tako, da ohranimo nespremenjene vse tiste dele grafa, kjer je $x ≥ 0$ , in jih prezrcalimo preko ordinatne osi ter zanemarimo tisti del grafa, kjer je $x < 0$ .

Grafa funkcij se pokrivata v tistih točkah, kjer je $x ≥ 0$ , razlikujeta pa se tam, kjer je $x < 0$ . Graf rdeče barve za $x < 0$ dobimo tako, da prezrcalimo preko ordinatne osi tisti del grafa, kjer je $x ≥ 0$ .

Predpis grafa funkcije, narisane z rdečo, je $g(|x|)$ , saj imajo točke na levi $(x < 0)$ enake funkcijske vrednosti kot točke na desni $(x > 0)$ , točke na ordinatni osi pa ostaneje nespremenjene.

Naloga 1

Preberi spodnje odstavke in jih dopolni. Funkcija $f(x) = 2(x + 3)^2 – 1$ je premaknjena za:
$q =$ v smeri osi $y$ ,
za $p =$ v smeri osi $x$ ter
raztegnjena za faktor $a =$ .
Je navzdol navzgor konstantno omejena funkcija z najnižjo točko T( , ).

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 2

Pazljivo preberi izjave in ugotovi njihovo pravilnost oziroma nepravilnost. Funkcija $f(x) = –x^2 + 1$ ima začetno vrednost pri $y = –1$ .
Pravilno. Napačno.

Namig

Zaloga vrednosti funkcije $f(x) = –|5x – 3|$ so neničelna realna števila.
Pravilno. Napačno.

Namig

Če funkcijo $f(x) = x^3$ premaknemo za vektor $\vec{u} = (-2,3)$ , dobimo funkcijo s predpisom $g(x)=(x+2)^3+3$ .

Funkcijo $f(x)=(5x-5)^2$ dobimo, če funkcijo $g(x)=(x-1)^2$ raztegnemo za faktor $a = 25$ v smeri ordinatne osi.
Pravilno. Napačno.

Namig

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Začetna vrednost je $f(0) = 1$ , saj smo funkcijo premaknili navzgor za $1$ .

Pred izrazom je znak $–$ , ki nam celotno funkcijo prezrcali preko abscisne osi navzdol.

Razteg je viden, če predpis preoblikujemo:

$f(x)=(5(x-1))^2=25(x-1)^2.$

Naloga 3

Dana je funkcija $f(x)=-(x+2)^{-1}-3$ . Nariši graf in zapiši njene lastnosti.
$D_f = \mathbb{R}- \{$ $\}$ ,
$Z_f = \mathbb{R}- \{$ $\}$ ,
, na celotnem definicijskem območju in ;
njeni asimptoti sta $y =$ in $x =$ (pol).

Rešitev - graf

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Graf funkcije dobimo tako, da vzporedno za vektor $\vec v = (-2,-3)$ premaknemo graf $y=x^{-1}$ , ki ga nato še prezrcalimo preko abscisne osi. Lahko pa najprej prezrcalimo in šele nato ustrezno vzporedno premaknemo.

Naloga 4

Dana je funkcija $f(x) = x^3$ .

a) V isti koordinatni sistem nariši grafa funkcij $\frac{1}{2}f(x)$ in $f(\frac{x}{2})$ ter zapiši njuna predpisa.

b) Funkcijo $f(x)$ vzporedno premakni za vektor $\vec u = (4,-1)$ in zapiši predpis dobljene krivulje, nato še upoštevaj absolutno vrednost nad celotno premaknjeno funkcijo.

a)

Predpisa in graf funkcij

b)

Predpis in graf funkcij

$f(\frac{x}{2})=\frac{1}{8}x^3$ $\frac{1}{2}f(x)=\frac{x^3}{2}$ (vaja02.png)

$g(x)=(x-4)^3-1$ (vaja03.png)

H grafu premaknjene funkcije spada tudi desni del "rdečega" grafa.

Naloga 5

Dana je funkcija $f(x) = x^4$ .

a) Nariši njen graf in ga vzporedno premakni za vektor premika $\vec v = (2,−3)$ . Zapiši predpis premaknjene funkcije.
b) Nariši graf funkcije $g(x) = \frac{1}{4} f(x)$ .

Predpis in grafi funkcij $f(x)$ , $g(x)$ in $f(x-2)-3$

Predpis je $y= (x-2)^4 -3$ .

Naloga 6

Dana je funkcija $f(x) = −2x^{−1} + q$ .
a) Določi $q$ tako, da bo funkcija imela asimptoto $y = 3$ , in nariši njen graf.
b) Za katero število $q$ bo graf funkcije potekal skozi točko $(−1,−3)$ ?
a) $q=$
b)

Graf funkcije

c) $q=$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 7

Na sliki je graf funkcije $f(x) = a(x − p)^2 + q$ .

a) Zapiši vektor premika in faktor raztega. b) Nariši grafa $|f(x)|$ in $f(|x|)$ .

a) $\vec v=($ , )
$a=$

$-\frac{3}{2}$

$-2$

$\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}$

b)

Graf funkcije

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Graf $|f(x)|$ je zelen, graf $f(|x|)$ je moder.

Premiki in raztegi

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Premiki in raztegi

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno