Zgodovinsko gledano so se prvi zametki misli o kompleksnih številih pojavili tedaj, ko so matematiki (ter fiziki in filozofi ...) naleteli na kvadratni koren iz negativnega števila (npr. ), ki so ga sicer razlagali kot "nesmiselni rezultat" ali zgolj fiktivni pripomoček, so pa z njegovo uporabo rešili kakšen problem.

Najprej si bomo ogledali običajni srednješolski razlog za vpeljavo kompleksnih števil: reševanje enačb 2., 3. in višjih stopenj (najprej kvadratne enačbe, kasneje pa še drugih).

Reši enačbi:

(a) ,

(b) .

Girolamo Cardano (1501–1576) je – ob posredni pomoči svojih predhodnikov – izpeljal znamenito Cardanovo formulo, s katero je podal eksplicitni zapis rešitve enačbe tretje stopnje (ta enačba ima pravzaprav tri rešitve):

Ko je reševal enačbo , je z uporabo zgornje formule dobil rešitev

v kateri dobimo pod korenom negativno število in naravni sklep za tedanjega matematika in pa srednješolca do te ure bi bil, da enačba pač nima realnih rešitev. No, z nekaj več znanja bi lahko pokazali, da je vrednost tega izraza enaka , kar je po svoje presenetljivo: z uporabo kvadratnega korena iz negativnega števila smo prišli do realne rešitve. Poglejmo še zgled, ki bo nekoliko bliže našemu dosedanjemu znanju in ga bomo brez težav razumeli, sporočilo pa bo enako: s "čudnim računanjem" s kvadratnimi koreni iz negativnih števil bomo prišli do realne rešitve.

Teme parabole določi tako, da njegovo absciso izračunaš kot aritmetično sredino ničel:

(to je eden izmed načinov, ki smo ga spoznali pri poglavju o kvadratni funkciji). Teme je:

Na obeh prejšnjih zgledih lahko jasno vidimo, da nas včasih tudi uporaba navidezno nemogočih objektov pripelje k čisto lepi rešitvi. Ker pa smo pri vseh treh primerih ugotovili, da se vedno znova vračamo h kvadratnemu korenu iz negativnega števila, pri čemer je njegova uporaba celo smiselna (kot smo videli v zgledih 2 in 3), je napočil čas, da vpeljemo novo številsko množico, ki bo kot nova števila zaobjela tudi vse kvadratne korene iz negativnih realnih števil.

Pri zgledih smo ugotovili, da v množici realnih števil ne znamo rešiti kvadratne enačbe .

Pa se dogovorimo, da nam bo to enačbo rešilo posebno (zaenkrat še nekoliko skrivnostno) število, ki ga bomo označili z . Zanj bo torej veljalo . Temu novemu številu dajmo tudi ime:

Premisli: Takoj se bomo prepričali, da je vpeljava takšnega novega števila smiselna in uporabna. Kako lahko sedaj s pomočjo novega števila zapišemo kvadratni koren iz poljubnega negativnega realnega števila?

Spoznali smo že enega predstavnika nove številske množice − število , nismo pa še povedali nič o tem, kakšne oblike so števila v tej novi številski množici.

V zgornjem zgledu smo videli, da je lahko število pomnoženo s poljubnim realnim številom , torej so lahko tudi števila elementi nove številske množice (na primer: , itd.). Če tem številom prištejemo še neko realno število , dobimo spet novo število oblike (pri čemer izraza ne moremo bolj skrčiti iz podobnih razlogov kot pri računanju z izrazi: in sta objekta različne vrste). Tako dobimo recimo števila , ... To spoznanje bomo povzeli v nadeljevanju.

Z odgovori na spodnja vprašanja lahko preveriš svoje razumevanje pravkar vpeljanih novih pojmov.

1. V kakšni zvezi sta novo vpeljana množica kompleksnih števil in množica realnih števil, ki smo jo poznali do sedaj? Ali lahko zapišemo poljubno realno število v obliki kompleksnega števila?

2. Kako lahko zapišemo poljuben kvadratni koren iz negativnega realnega števila v obliki kompleksnega števila?

3. Zapiši nekaj primerov čistih imaginarnih števil.

4. Določi realni in imaginarni del kompleksnega števila .
,
.

5. Izračunaj ničli kvadratne funkcije . Kaj opaziš?

Kako lahko grafično predstavimo kompleksna števila?

Z realnimi števili nimamo težav, saj vemo, da vsaki točki na številski premici pripada natanko eno realno število in obratno. Kako pa predstaviti število oblike ? Ker je vsako kompleksno število sestavljeno iz dveh komponent (realnega in imaginarnega dela), se človeku pojavi samoumevna misel, da lahko tako število predstavimo le v dvodimenzionalnem prostoru. Pomislimo torej na ravnino in na pravokotni koordinatni sistem (to seveda ni tako "naravno" in samoumevno, kot smo zapisali, sicer matematiki v zgodovini ne bi potrebovali toliko časa za vpeljavo tega koncepta).

Res, opišimo ravnino, v kateri bomo grafično predstavili kompleksna števila.

S premikanjem kompleksnega števila v ravnini lahko opazuješ spreminjanje realnega dela in imaginarnega dela števila .

Posebej si oglej zapis realnih števil na realni osi in čistih imaginarnih števil na imaginarni osi.

Podobno kot pri kartezičnem koordinatnem sistemu v Evklidski ravnini lahko tudi tukaj zapišemo ugotovitev:

Utemeljitev tega dejstva je popolnoma enaka kot pri prirejanju koordinat (urejenega para števil in ) poljubni točki v Evklidski ravnini.

Iz zgoraj zapisane ugotovitve pa sledi še en zanimiv zapis (predstavitev) kompleksnih števil:

Kompleksni števili in lahko zapišemo tudi kot oziroma in ju predstavimo v kompleksni ravnini kot:

Leonhard Euler (1707-1783) je izpeljal nekaj najpomembnejših zvez in lastnosti kompleksnih števil – ena zanimivejših je

kjer so v eni enačbi povezane tri pomembne matematične konstante. Euler še ni uporabljal poimenovanja kompleksna števila.

Pariški knjigarnar J. R. Argand je leta 1806 prvi predlagal predstavitev kompleksnih števil v kompleksni ravnini (ki bi se zato morala imenovati vsaj Argand-Gaussova ravnina), ime kompleksna števila in (vnovično) zamisel kompleksne ravnine pa je leta 1831 dokončno vpeljal veliki matematik Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Slika prikazuje Argandovo idejo predstavitve "fiktivnih" ali "monstruoznih" imaginarnih števil: točka s koordinatama pripada kompleksnemu številu . Kasnejši razvoj teorije kompleksnih števil je pripeljal do razvoja mnogih teoretičnih in uporabnih področij matematike, ki se še danes skokovito razvijajo. Poleg tega so se kompleksna števila izkazala kot odličen pripomoček pri reševanju zahtevnih problemov na področju geometrije, elektrotehnike (fizike) in še kje.

Ponovi, katere računske operacije so definirane na množicah , , in .

Na množicah so definirane:

Določi realni in imaginarni del kompleksnih števil in .

V kompleksni ravnini predstavi kompleksna števila , in ter jih zapiši v obliki .

Poišči vse rešitve (tudi kompleksne) enačbe . Rešitve so: