Binomski izrek

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Binomski izrek

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Obrazca za potenci $(a+b)^2$ in $(a+b)^3$ že poznamo. Kako pa bi čim elegantneje izračunali npr. $(a+b)^7$ ali $(a+b)^{12}$ ? V tem poglavju bomo spoznali pravilo, s katerim si bomo pomagali pri izračunu poljubne potence $(a+b)^n$ .

Najprej bomo ponovili, kaj je to binomski simbol in kako ga izračunamo. Nato bomo spoznali nekaj lastnosti binomskega simbola, ki nam bodo poenostavile računanje. Nazadnje pa bomo spoznali pravilo, s katerim bomo lahko izračunali poljubno potenco vsakega binoma (dvočlenika).

Binomski simbol

Binomski simbol ${n \choose r}$ (beremo " $n$ nad $r$ ") označuje število kombinacij brez ponavljanja na množici z $n$ elementi reda $r$ . Torej nam pove, na koliko različnih načinov lahko izberemo $r$ različnih elementov iz množice z $n$ različnimi elementi. Ali drugače: binomski simbol ${n \choose r}$ nam pove, koliko podmnožic z $r$ elementi vsebuje množica z $n$ elementi.

${n \choose r}=\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}$

Lastnosti

Zdaj pa poglejmo nekaj zanimivih lastnosti binomskega simbola, ki nam bodo olajšale računanje.

Prva lastnost

1. lastnost

Izračunaj ${1 \choose 0}$ , ${2 \choose 0}$ , ${3 \choose 0}$ in ${n \choose 0}$ .

Potrebuješ pomoč?

Kaj opaziš

${n \choose 0}=1$

Prva lastnost nam pove, da ima poljubna množica natanko eno prazno podmnožico.

Upoštevaj, da je $0!=1$ , in izračunaj.

${1 \choose 0}=\frac{1!}{1! \cdot 0!}=1$
${2 \choose 0}=\frac{2!}{2! \cdot 0!}=1$
${3 \choose 0}=\frac{3!}{3! \cdot 0!}=1$
${n \choose 0}=\frac{n!}{n! \cdot 0!}=1$

Lastnosti

Druga lastnost

Izračunaj ${1 \choose 1}$ , ${2 \choose 2}$ , ${3 \choose 3}$ in ${n \choose n}$ .Kaj opaziš?

Kaj opaziš

Potrebuješ pomoč?

${n \choose n}=1$

Druga lastnost nam pove, da ima vsaka množica z $n$ elementi natanko eno podmnožico, ki vsebuje $n$ elementov. Ali drugače: izmed $n$ elementov lahko izberemo vse $n$ na natanko en način.

Upoštevaj, da je $0!=1$ , in izračunaj.

${1 \choose 1}=\frac{1!}{0! \cdot 1!}=1$
${2 \choose 2}=\frac{2!}{0! \cdot 2!}=1$
${3 \choose 3}=\frac{3!}{0! \cdot 3!}=1$
${n \choose n}=\frac{n!}{0! \cdot n!}=1$

Lastnosti

Tretja lastnost

Izračunaj ${1 \choose 1}$ , ${2 \choose 1}$ , ${3 \choose 1}$ in ${n \choose 1}$ .Kaj opaziš?

Kaj opaziš

Potrebuješ pomoč?

${n \choose 1}=n$

Tretja lastnost nam pove, da ima vsaka množica z $n$ elementi natanko $n$ podmnožic s po enim elementom. Ali drugače: izmed $n$ elementov lahko izberemo enega na $n$ različnih načinov.

${1 \choose 1}=\frac{1!}{0! \cdot 1!}=1$
${2 \choose 1}=\frac{2!}{1! \cdot 1!}=1$
${3 \choose 1}=\frac{3!}{2! \cdot 1!}=1$
${n \choose 1}=\frac{n!}{(n-1)! \cdot 1!}= \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1} {(n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}=n$

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitve

1. ${5 \choose 3}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}=10$
${5 \choose 2}=\frac{5!}{3! \cdot 2!}=10$
Torej je ${5 \choose 3}={5 \choose 2}$

2. ${12 \choose 4}=\frac{12!}{8! \cdot 4!}=495$
${12 \choose 8}=\frac{12!}{4! \cdot 8!}=495$
Torej je ${12 \choose 4}={12 \choose 8}$

3. ${14 \choose 14-5}=\frac{14!}{(14-(14-5))! \cdot (14-5)!}=\frac{14!}{5!\cdot 9!}=2002$
${14 \choose 5}=\frac{14!}{9! \cdot 5!}=2002$
Torej je ${14 \choose 14-5}={14 \choose 5}$

4. ${14 \choose 14-r}=\frac{14!}{(14-(14-r))! \cdot (14-r)!}=\frac{14!}{r!\cdot (14-r)!}$
${14 \choose r}=\frac{14!}{(14-r)! \cdot r!}=\frac{14!}{r! \cdot (14-r)!}$
Torej je ${14 \choose 14-r}={14 \choose r}$

5. ${n \choose n-r}=\frac{n!}{(n-(n-r))! \cdot (n-r)!}=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}$
${n \choose r}=\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}=\frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$
Torej je ${n \choose n-r}={n \choose r}$

${n \choose n-r}={n \choose r}$

Četrta lastnost nam pove, da ima vsaka množica z $n$ elementi enako število podmnožic z $n–r$ elementi kot podmnožic z $r$ elementi. Ali drugače: izmed $n$ elementov imamo za izbiro $n–r$ elementov enako razlicnih možnosti kot za izbiro $r$ elementov. Npr. med dvajsetimi knjigami imamo za izbiro sedemnajstih knjig enako število različnih možnosti kot za izbiro treh knjig (saj so z izbiro vsake sedemnajsterice natanko določene tri knjige, ki ostanejo).

Lastnosti

Peta lastnost

Primerjaj vrednosti naslednjih izrazov.

1. ${5 \choose 3} + {5 \choose 4}$ in ${6 \choose 4}$ Vrednosti sta različni Vrednosti sta enaki	2. ${12 \choose 4}+{12 \choose 5}$ in ${13 \choose 5}$ Vrednosti sta različni Vrednosti sta enaki
3. ${14 \choose 9}+{14 \choose 9+1}$ in ${14 +1 \choose 9+1}$ Vrednosti sta različni Vrednosti sta enaki

Ugotovitev

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitve

1. ${5 \choose 3}+{5 \choose 4}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}+\frac{5!}{1!\cdot4!}=15$
${6 \choose 4}=\frac{6!}{2! \cdot 4!}=10$
Torej je ${5 \choose 3}+{5 \choose 4}={6 \choose 4}$

2. ${12 \choose 4}+{12 \choose 5}=\frac{12!}{8! \cdot 4!}+\frac{12!}{7!\cdot5!}=1287$
${13 \choose 5}=\frac{13!}{8! \cdot 5!}=1287$
Torej je ${12 \choose 4}+{12 \choose 5}={13 \choose 5}$

3. ${14 \choose 9}+{14 \choose 9+1}=\frac{14!}{5! \cdot 9!}+\frac{14!}{(14-(9+1))! \cdot (9+1)!}=\frac{14!}{5! \cdot 9!}+\frac{14!}{4!\cdot10!}=3003$
${14+1 \choose 9+1}=\frac{(14+1)!}{(14+1-(9+1))! \cdot(9+1)!}=\frac{15!}{5! \cdot 10!}=3003$
Torej je ${14 \choose 9}+{14 \choose 9+1}={14+1 \choose 9+1}$

${n \choose r}+{n \choose r+1}={n+1 \choose r+1}$

Zakaj je to res?

${n+1 \choose r+1}=\frac{(n+1)!}{((n+1)!-(r+1)!) \cdot(r+1)!}\frac{(n+1)!}{(n-r)! \cdot (r+1)!}$
${n \choose r}+{n \choose r+1}=\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}+\frac{n!}{(n-(r+1))! \cdot (r+1)!}=$
$=\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}+\frac{n!}{(n-r-1)! \cdot (r+1)!}=$
$=\frac{n! \cdot (r+1)}{(n-r)! \cdot (r+1)\cdot r!}+\frac{n! \cdot (n-r)}{(n-r) \cdot (n-r-1)! \cdot (r+1)!}=$
$=\frac{n! \cdot (r+1)}{(n-r)! \cdot (r+1)!}+\frac{n! \cdot (n-r)}{(n-r)!\cdot (r+1)!}=$
$=\frac{n! \cdot ((r+1)+(n-r))}{(n-r)! \cdot (r+1)!}=$
$=\frac{n! \cdot (n+1)}{(n-r)! \cdot (r+1)!}=$
$=\frac{(n+1)!}{(n-r)! \cdot (r+1)!}$
Torej je ${n \choose r}+{n \choose r+1}={n+1 \choose r+1}$

Pravilno

Napačno

Pravilno si rešil od 5 vprašanj.

Napačno

Rešitve:
1. Napačno

2. Pravilno

3. Napačno

4. Pravilno

5. Napačno

Pascalov trikotnik

Shemo, sestavljeno iz vrednosti binomskih simbolov, imenujemo Pascalov trikotnik.

$n=0$								$1$
$n=1$							$1$		$1$
$n=2$						$1$		$2$		$1$
$n=3$					$1$		$3$		$3$		$1$
$n=4$				$1$		$4$		$6$		$4$		$1$
$n=5$			$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$
$n=6$		$1$		$6$		$15$		$20$		$15$		$6$		$1$
$n=7$	$1$		$7$		$21$		$35$		$35$		$21$		$7$		$1$
$n=8$

Preveri Binomski izrek

Odgovori na vprašanja na naslednji strani in nato dopolni Pascalov trikotnik.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Razišči Pascalov trikotnik

Kje v Pascalovem trikotniku se vidi prva lastnost binomskih simbolov: ${n \choose 0}=1$

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Razišči Pascalov trikotnik

Kje v Pascalovem trikotniku se vidi druga lastnost binomskih simbolov: ${n \choose n}=1$

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Razišči Pascalov trikotnik

Kje v Pascalovem trikotniku se vidi tretja lastnost binomskih simbolov: ${n \choose 1}=n$

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Razišči Pascalov trikotnik

Kje v Pascalovem trikotniku se vidi četrta lastnost binomskih simbolov: ${n \choose n-r}={n \choose r}$

Posledica te lastnosti je ta, da je vsak koeficient v Pascalovem trikotniku enak vsoti koeficientov nad njim.

Posledica te lastnosti je simetričnost Pascalovega trikotnika.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Razišči Pascalov trikotnik

Kje v Pascalovem trikotniku se vidi peta lastnost binomskih simbolov: ${n \choose r}+{n \choose r+1}={n+1 \choose r+1}$

Posledica te lastnosti je simetričnost Pascalovega trikotnika.

Posledica te lastnosti je ta, da je vsak koeficient v Pascalovem trikotniku enak vsoti koeficientov nad njim.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Pascalov trikotnik

Ugotovili smo:

Prvi in zadnji koeficient vsake vrstice Pascalovega trikotnika je enak 1. Vse druge koeficiente pa dobimo kot vsoto obeh koeficientov nad tistim, ki ga računamo.

Če še nisi dopolnil Pascalovega trikotnika, je zdaj pravi trenutek, da se vrneš k tisti nalogi in ga dopolniš.

Dopolni Pascalov trikotnik

Binomski izrek

Binomski izrek je pravilo, po katerem lahko izračunamo poljubno potenco binoma.

Razišči

Razišči povezavo med potenco binoma in ustreznimi binomskimi simboli.

$(a+b)^2$ in ${2 \choose 0}$ , ${2 \choose 1}$ , ${2 \choose 2}$

Povezava

$(a+b)^3$ in ${3 \choose 0}$ , ${3 \choose 1}$ , ${3 \choose 2}$ , ${3 \choose 3}$

Povezava

$(a+b)^4$ in ${4 \choose 0}$ , ${4 \choose 1}$ , ${4 \choose 2}$ , ${4 \choose 3}$ , ${4 \choose 4}$

Povezava

$(a+b)^5$ in ${5 \choose 0}$ , ${5 \choose 1}$ , ${5 \choose 2}$ , ${5 \choose 3}$ , ${5 \choose 4}$ , ${5 \choose 5}$

Povezava

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=1a^2+2ab+1b^2$
${2 \choose 0}=1$ , ${2 \choose 1}=2$ , ${2 \choose 2}=1$
Torej je $(a+b)^2={2 \choose 0}a^2+{2 \choose 1}ab+{2 \choose 2}b^2$

$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)=1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3$
${3 \choose 0}=1$ , ${3 \choose 1}=3$ , ${3 \choose 2}=3$ , ${3 \choose 3}=1$
Torej je $(a+b)^3={3 \choose 0}a^3+{3 \choose 1}a^2b+{3 \choose 2}ab^2+{3 \choose 3}b^3$

$(a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=1a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+1b^4$
${4 \choose 0}=1$ , ${4 \choose 1}=4$ , ${4 \choose 2}=6$ , ${4 \choose 3}=4$ , ${4 \choose 4}=1$
Torej je $(a+b)^4={4 \choose 0}a^4+{4 \choose 1}a^3b+{4 \choose 2}a^2b^2+{4 \choose 3}ab^3+{4 \choose 4}b^4$

$(a+b)^5=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=1a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+1b^5$
${5 \choose 0}=1$ , ${5 \choose 1}=5$ , ${5 \choose 2}=10$ , ${5 \choose 3}=10$ , ${5 \choose 4}=5$ , ${5 \choose 5}=1$
Torej je $(a+b)^5={5 \choose 0}a^5+{5 \choose 1}a^4b+{5 \choose 2}a^3b^2+{5 \choose 3}a^2b^3+{5 \choose 4}ab^4+{5 \choose 5}b^5$

Binomski izrek

Razmisli

Na osnovi prejšnjih ugotovitev skušaj odgovoriti še na naslednja vprašanja.

Koliko členov nastopa v razvoju potence binoma $(a+b)^2$ , $(a+b)^3$ , $(a+b)^4$ in $(a+b)^5$ ? Iz dobljenih odgovorov sklepaj, koliko členov nastopa v razvoju potence binoma $(a+b)^n$ .

Potrebuješ pomoč?

Kolikšna je vsota eksponentov pri $a$ in $b$ v vsakem členu razvoja potence binoma $(a+b)^2$ , $(a+b)^3$ , $(a+b)^4$ in $(a+b)^5$ ? Iz dobljenih odgovorov sklepaj, kolikšna je vsota eksponentov pri $a$ in $b$ v vsakem členu razvoja potence binoma $(a+b)^n$ .

Potrebuješ pomoč?

Koeficient pred $k$ -tim členom razvoja potence binoma $(a+b)^2$ je enak ${2 \choose k-1}$ .

Koeficient pred $k$ -tim členom razvoja potence binoma $(a+b)^3$ je enak ${3 \choose k-1}$ .

Koeficient pred $k$ -tim členom razvoja potence binoma $(a+b)^4$ je enak ${4 \choose k-1}$ .

Koeficient pred $k$ -tim členom razvoja potence binoma $(a+b)^5$ je enak ${5 \choose k-1}$ .

Koeficient pred $k$ -tim členom razvoja potence binoma $(a+b)^n$ je enak ${n \choose k-1}$ .

Koeficient pred tretjim členom razvoja potence binoma $(a+b)^2$ je enak ${2 \choose 2}$ .

Koeficient pred tretjim členom razvoja potence binoma $(a+b)^3$ je enak ${3 \choose 2}$ .

Koeficient pred tretjim členom razvoja potence binoma $(a+b)^4$ je enak ${4 \choose 2}$ .

Koeficient pred tretjim členom razvoja potence binoma $(a+b)^5$ je enak ${5 \choose 2}$ .

Koeficient pred tretjim členom razvoja potence binoma $(a+b)^n$ je enak ${n \choose 2}$ .

Binomski izrek

Iz zgornjih ugotovitev dobimo:

Binomski izrek
$(a+b)^n={n \choose 0}a^n+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+{n\choose 3}a^{n-3}b^3+ \cdots + {n \choose n-1}ab^{n-1}+ {n \choose n}b^n$

Zakaj je to res?

Binomskemu simbolu ${n \choose r}$ rečemo tudi binomski koeficient, saj kot koeficient, torej faktor pri potencah, nastopa v binomskem izreku.

Zaradi lažjega razumevanja najprej poglejmo primer $(a+b)^3$ .

$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)(aa+ab+ba+bb)=$
$=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb$

Za vsak člen v razvoju potence našega binoma moramo iz vsakega od TREH faktorjev $(a+b)$ izbrati ali $a$ ali $b$ . Za to, da iz NOBENEGA od treh faktorjev ne izberemo $b$ -ja (torej iz vseh treh faktorjev izberemo $a$ ), imamo ${3 \choose 0}$ možnosti. Za to, da natanko iz ENEGA od treh faktorjev izberemo $b$ (iz preostalih dveh pa $a$ ), imamo ${3 \choose 1}$ možnosti. Za to, da natanko iz DVEH od treh faktorjev izberemo $b$ (iz preostalega pa $a$ ), imamo ${3 \choose 2}$ možnosti. Za to, da iz vseh TREH faktorjev izberemo $b$ ( $a$ -ja pa ne izberemo), imamo ${3 \choose 3}$ možnosti.

Torej je $(a+b)^3={3 \choose 0}a^3+{3 \choose 1}a^2b+{3 \choose 2}ab^2+{3 \choose 3}b^3$ .

V zgornjem produktu je $aba$ sicer enako $a^2b$ , vendar smo namerno zapisali kar $aba$ , ker smo s tem želeli poudariti, da smo iz prvega oklepaja izbrali $a$ , iz drugega $b$ in iz tretjega spet $a$ .

Denimo, da imamo izraz $(a+b)^{15}$ . Kolikšen je koeficient pri členu $a^6b^9$ ? Množimo $15$ binomov in iz vsakega od njih moramo izbrati bodisi $a$ bodisi $b$ . Potence pri $a$ in $b$ nam sporočajo, da moramo $6$ -krat izbrati $a$ in $9$ -krat $b$ . Na koliko načinov lahko to storimo? Na koliko načinov lahko izmed $15$ oklepajev izberemo tistih $9$ , pri katerih bomo izbrali $b$ , pri vseh ostalih pa $a$ ? Na ${15 \choose 9}$ različnih načinov.

Kolikšen je torej koeficient pri členu $a^{n-k}b^k$ v izrazu $(a+b)^n$ ? Na koliko načinov lahko izmed $n$ oklepajev izberemo tistih $k$ , pri katerih bomo izbrali $b$ , pri vseh ostalih pa $a$ ? Na ${n \choose k}$ različnih načinov.

Torej je $(a+b)^n={n \choose 0}a^n+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+{n\choose 3}a^{n-3}b^3+ \cdots + {n \choose n-1}ab^{n-1}+ {n \choose n}b^n$ .

Preizkusi se

1. Razmisli, kako bi z uporabo binomskega izreka razvil potence binoma.

$(a+b)^{10}$

$(x-1)^5$

$(-2-i)^4$

Binomski izrek
$(a+b)^n={n \choose 0}a^n+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+{n\choose 3}a^{n-3}b^3+ \cdots + {n \choose n-1}ab^{n-1}+ {n \choose n}b^n$

$(-2-i)^4=(-(2+i))^4=(2+i)^4={4 \choose 0}2^4+{4 \choose 1}2^3i+{4 \choose 2}2^2i^2+{4 \choose 3}2i^3+{4 \choose 4}i^4=$
$=1 \cdot 2^4+4 \cdot 2^3i+6 \cdot 2^2i^2+4 \cdot 2i^3+1 \cdot i^4=$
$=16+32i-24-8i+1=-7+24i$

$(x-1)^5={5 \choose 0}x^5+{5 \choose 1}x^4(-1)+{5 \choose 2}x^3(-1)^2+{5 \choose 3}x^2(-1)^3+{5 \choose 4}x(-1)^4+{5 \choose 5}(-1)^5=$
$=1x^5+5x^4(-1) +10x^3(-1)^2+10x^2(-1)^3+ 5x(-1)^4+1(-1)^5=$
$=1x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1$

$(a+b)^{10}={10 \choose 0}a^{10}+{10 \choose 1}a^9b+{10 \choose 2}a^8b^2+{10 \choose 3}a^7b^3+{10 \choose 4}a^6b^4+{10 \choose 5}a^5b^5+{10 \choose 6}a^4b^6+$
${10 \choose 7}a^3b^7+{10 \choose 8}a^2b^8+{10 \choose 9}ab^9+{10 \choose 10}b^{10}=$
$=1a^{10}+10a^9b+45a^8b^2+120a^7b^3+210a^6b^4+252a^5b^5+$
$+210a^4b^6 +120a^3b^7+45a^2b^8+ 10ab^9+1b^{10}$

Preizkusi se

2. Razmisli, kako bi z uporabo Pascalovega trikotnika razvil potence binoma.

$(a+b)^6$

$(-2-x)^7$

$(1-i)^8$

Pascalov trrikotnik

$n=0$									$1$
$n=1$								$1$		$1$
$n=2$							$1$		$2$		$1$
$n=3$						$1$		$3$		$3$		$1$
$n=4$					$1$		$4$		$6$		$4$		$1$
$n=5$				$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$
$n=6$			$1$		$6$		$15$		$20$		$15$		$6$		$1$
$n=7$		$1$		$7$		$21$		$35$		$35$		$21$		$7$		$1$
$n=8$	$1$		$8$		$28$		$56$		$70$		$56$		$28$		$8$		$1$

Koeficienti so: $1$ , $8$ , $28$ , $56$ , $70$ , $56$ , $28$ , $8$ , $1$ .
$(1-i)^8=1 \cdot 1^8+8 \cdot 1^7(-i)+28 \cdot 1^6(-i)^2+56 \cdot 1^5(-i)^3+70 \cdot 1^4(-i)^4+$
$+56 \cdot 1^3(-i)^5+28 \cdot 1^2(-i)^6+8 \cdot 1(-i)^7=$
$=1-8i-28+56i+70-56i-28+8i=15$

Koeficienti so: $1$ , $7$ , $21$ , $35$ , $35$ , $21$ , $7$ , $1$ .

$(-2-x)^7=(-(2+x))^7=-(2+x)^7=-(1 \cdot 2^7+7 \cdot 2^6x+21 \cdot 2^5x^2+$
$+35 \cdot 2^4x^3+35 \cdot 2^3x^4+21 \cdot 2^2x^5+7 \cdot 2x^6+1x^7)=$
$=-128-448x-672x^2-560x^3-280x^4-84x^5-14x^6-x^7$

Koeficienti so: $1$ , $6$ , $15$ , $20$ , $15$ , $6$ , $1$ .
$(a+b)^6=1a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+1b^6$

Rešimo skupaj

1. Zapiši osmi člen v razvoju potence binoma $(x+2)^{10}$ .

Izpišimo podatke: $n=10$ , $r=7$ (za osmi člen vzamemo $r=7$ , saj začnemo šteti pri $r=0$ ), $a=x$ , $b=2$ .

Izračunajmo osmi člen: ${10 \choose 7}x^3 \cdot 2^7=120x^3 \cdot 128=15360x^3$ .

Rešimo skupaj

2. Izpiši člen razvoja potence binoma $(x- \frac{3}{x})^{14}$ , ki vsebuje $x^{10}$ .

Izpišimo podatke: $n=14$ , $a=x$ , $b=-\frac{3}{x}$ .

Da bomo lahko zapisali iskani člen, moramo določiti $r$ tako, da bo izraz ${14 \choose r}x^{14}-r(-\frac{3}{x})^r$ vseboval $x^{10}$ .

Poenostavimo naš izraz: ${14 \choose r}x^{14}-r(-\frac{3}{x})^r={14 \choose r}(-3)^rx^{14-2r}$ .

Da bomo dobili $r$ , moramo rešiti enačbo $14–2r=10$ , od koder dobimo $r=2$ .

Torej je iskani člen ${14 \choose 2}(-3)^2x^{10}=91 \cdot 9x^{10}=819x^{10}$ .

Rešimo skupaj

3. Izpiši člen razvoja potence binoma $(x^2+\sqrt[3]{x})^{16}$ ki vsebuje $x^{27}$ .

Izpišimo podatke: $n=16$ , $a=x^2$ , $b=\sqrt[3]{x}$ .

Da bomo lahko zapisali iskani člen, moramo določiti $r$ tako, da bo izraz vseboval $x^{27}$ .

Poenostavimo naš izraz: ${16 \choose r}(x^2)^{16-r}(\sqrt[3]{x})^r={16 \choose r}x^{32-2r}x^{\frac{r}{3}}={16 \choose r}x^{32-\frac{5r}{3}}$ .

Da bomo dobili $r$ , moramo rešiti enačbo $32-\frac{5r}{3}=27$ od koder dobimo $r=3$ .

Torej je iskani člen ${16 \choose 3}x^{27}=560x^{27}$ .

Pravilno

Pravilno si odgovoril na vsa vprašanja.

Napačno

Pravilno si rešil od 5 vprašanj.

Premisli

Koliko elementov vsebuje potenčna množica množice z $n$ elementi?

* / ^ + -

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Potenčna množica vsebuje ${n \choose 0}$ praznih množic (izmed $n$ elementov ne izberemo nobenega), ${n \choose 1}$ množic s po enim elementom (izmed $n$ elementov izberemo enega), ${n \choose 2}$ množic s po dvema elementoma (izmed $n$ elementov izberemo dva), ... in ${n \choose n}$ množic s po $n$ elementi (izmed $n$ elementov izberemo vse $n$ ). Torej vsebuje ${n \choose 0}$ + ${n \choose 1}$ + ${n \choose 2}$ + $\cdots$ + ${n \choose n}$ =(1+1)^n=2^n elementov.

Dodatne naloge

1. naloga

a) V razvoju katere potence binoma $a + b$ se pojavi člen $a^3b^5?$ $(a+b)^9$ $(a+b)^6$ $(a+b)^8$	b) Kateri koeficient se pojavi pred členom $a^3b^5$ v razvoju potence binoma $a + b$ ? $18$ $52$ $56$
c) Zapiši peti člen potence binoma $(a + b)^8$ . $-70a^4b^4$ $70a^3b^5$ $70a^4b^4$

Preveri

Pravilno

Pravilno si odgovoril na vsa vprašanja.

Napačno

Pravilno si rešil od 3 vprašanj.

Rešitve

a) $(a+b)^8$

b) $(a+b)^8$

c) $70a^4b^4$

Dodatne naloge

2. naloga

a) Zapiši dvanajsti člen potence binoma $(x + \frac{2}{x})^{30}$ . (Binomskega koeficienta ni treba preračunati.) ${30 \choose 11}x^{19}$ ${30 \choose 11}x^{19}2^{11}$ ${30 \choose 11}x^82^{11}$	b) Izpiši tisti člen razvoja potence binoma $(x +\frac{2}{x})^{30}$ , ki ne vsebuje nobenega $x$ . ${30 \choose 16}2^{16}$ ${30 \choose 14}2^{15}$ ${30 \choose 15}2^{15}$
c) Izpiši tisti člen razvoja potence binoma $(x +\frac{2}{x})^{30}$ , ki vsebuje $x^{16}$ . ${30 \choose 16}x^{16}$ ${30 \choose 16}2^{7}x^{16}$ ${30 \choose 7}2^7x^{16}$

Preveri

Pravilno

Pravilno si odgovoril na vsa vprašanja.

Napačno

Pravilno si rešil od 3 vprašanj.

Rešitve

a) ${30 \choose 11}x^82^{11}$

b) ${30 \choose 15}2^{15}$

c) ${30 \choose 7}2^7x^{16}$

Dodatne naloge

3. naloga

Dopolni razvoj potence binoma.

a) $(a+b)^7=a^7+7a^6b+$ $a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+$ $ab^6+b^7$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

a) $(a+b)^7={7 \choose 0}a^7+{7 \choose 1}a^6b+{7 \choose 2}a^5b^2+{7\choose 3}a^4b^3+{7 \choose 4}a^3b^4+{7 \choose 5}a^2b^5+{7 \choose 6}ab^6+{7 \choose 7}b^7=$
$=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$

Dodatne naloge

3. naloga

Dopolni razvoj potence binoma.

b) $(-x-2)^4=$ $x^4+8x^3+24x^2+32x+$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

b) $(-x-2)^4=(-(x+2))^4=(x+2)^4={4 \choose 0}x^4+{4 \choose 1}x^3 \cdot 2+{4 \choose 2}x^2 \cdot 2^2+{4 \choose 3}x \cdot 2^3+{4 \choose 4}2^4=$
$=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$

Dodatne naloge

3. naloga

Dopolni razvoj potence binoma.

c) $(-\frac{1}{x}+x^2)^5=-\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^2}-$ $x+$ $x^4-5x^7+x^{10}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

c) $(-\frac{1}{x}+x^2)^5={5 \choose 0}(-\frac{1}{x})^5+{5 \choose 1}(-\frac{1}{x})^4x^2+{5 \choose 2}(-\frac{1}{x})^3(x^2)^2+{5 \choose 3}(-\frac{1}{x})^2(x^2)^3+$
$+{5 \choose 4}(-\frac{1}{x})(x^2)^4+{5 \choose 5}(x^2)^5=$
$=-\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^2}-10x+10x^4-5x^7+x^{10}$

Dodatne naloge

3. naloga

Dopolni razvoj potence binoma.

d) $(i-1)^6=$ $i$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

d) $(i-1)^6={6 \choose 0}i^6+{6 \choose 1}i^5+{6 \choose 2}i^4(-1)^2+{6 \choose 3}i^3(-1)^3+{6 \choose 4}i^2(-1)^4+$
$+{6 \choose 5}i(-1)^5+{6 \choose 6}(-1)^6=8i$

Kazalo

Binomski simbol
Lastnosti
Test
Pascalov trikotnik
Binomski izrek
Preizkusi se
Rešimo skupaj
Rešimo skupaj
Kviz
Dodatne naloge

Nazaj

Zapri

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo

Naprej

1. ${5 \choose 3}$ in ${5 \choose 2}$ Vrednosti sta različni Vrednosti sta enaki	2. ${12 \choose 4}$ in ${12 \choose 8}$ Vrednosti sta različni Vrednosti sta enaki	3. ${14 \choose 14-5}$ in ${14 \choose 5}$ Vrednosti sta različni Vrednosti sta enaki
4. ${14 \choose 14-r}$ in ${14 \choose r}$ Vrednosti sta različni Vrednosti sta enaki	5. ${n \choose n-r}$ in ${n \choose r}$ Vrednosti sta različni Vrednosti sta enaki

1. ${7 \choose 7}=7$ Pravilno Napačno	2. ${7 \choose 3}={7 \choose 4}$ Pravilno Napačno	3. ${7 \choose 0}=0$ Pravilno Napačno
4. ${7 \choose 3}+{7 \choose 4}={8 \choose 4}$ Pravilno Napačno	5. ${7 \choose 1}=1$ Pravilno Napačno

Peti člen razvoja potence binoma $(a+b)^7$ je: ${7 \choose 5}a^2b^5$ ${7 \choose 4}a^3b^4$ ${7 \choose 5}a^4b^3$	Tretji člen razvoja potence binoma $(x+\frac{1}{x})^5$ je: $10$ $\frac{10}{x}$ $10x$	Kateri člen razvoja potence binoma $(x^2-1)^8$ vsebuje $x^6$ ? $28x^6$ $56x^6$ $-56x^6$
Kateri člen razvoja potence binoma $(x^2+\frac{3}{x^2})^9$ vsebuje $x^{10}$ ? $36x^{10}$ $126x^{10}$ $324x^{10}$	Kateri člen razvoja potence binoma $(x^2-\frac{2}{x^2})^6$ ne vsebuje nobenega $x$ ? $-20$ $160$ $-160$

Binomski izrek

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Binomski izrek

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

1. lastnost

Druga lastnost

Tretja lastnost

Četrta lastnost

Pravilno

Napačno

Rešitve

Peta lastnost

Pravilno

Napačno

Rešitve

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Razmisli

Pascalov trrikotnik

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitev

1. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitve

2. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitve

3. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

3. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

3. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

3. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev