Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Zveznost funkcij

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Zveznost funkcij je ena od mnogih lastnosti funkcij, ki jo na grafu funkcije hitro prepoznamo. Intuitivno preprosta lastnost, matematično pa kar zahtevna.

Razlika med zveznimi in nezveznimi funkcijami

Na primeru grafov na spodnjih slikah bomo ugotovili intuitivno razliko med zveznimi in nezveznimi funkcijami.
Funkcije $f$ (slika1), $g$ (slika 2) in $h$ (slika 3) so podane z deljenim predpisom. Preglej grafe in ugotovi, v čem so si podobni in v čem se razlikujejo. Osredotoči se na funkcijsko vrednost posameznih funkcij v točki $x=1$ .

Slika 1:Funkcija f........................Slika 2:Funkcija g.........................Slika 3:Funkcija h

Vas zanimajo predpisi funkcij na slikah 1,2 in 3?

Slika 1:	$f(x)=\begin{cases} x^2-4x+2; & x<1\\ -2; & x=1\\ 2x-4; & x>1. \end{cases}$
Slika 2:	$g(x)=\begin{cases} x^2-4x+2; & x<1\\ 2x-3; & x \geq 1. \end{cases}$
Slika 3:	$h(x)=\begin{cases} x^2-4x+2; & x<1\\ 1; & x=1\\ 2x-4; & x>1. \end{cases}$

Kaj lahko ugotovimo in sklepamo o funkcijah na slikah?

Funkcije $f$ , $g$ in $h$ so definirane za vsa realna števila, tudi za $x=1$ . Ravno v tej točki pa se vrednosti funkcij bistveno razlikujejo: $f(1)=–2$ , $g(1)=-1$ in $h(1)=1$ . Graf funkcije $f$ je kljub deljenemu predpisu nepretrgan, saj si vrednosti funkcije sklenjeno sledijo tudi v okolici točke $x=1$ . Grafa funkcij $g$ in $h$ pa sta na definicijskem območju pretrgana, tudi graf $h$ , pa čeprav manjka samo ena točka – $(1,–2)$ , da bi bila krivulja sklenjena.

Če sedaj nekako besedi sklenjeno, nepretrgano povežemo z matematičnim pojmom zveznost, intuitivno ugotovimo:

„Če je graf funkcije v točki nepretrgan (sklenjen), je funkcija v tej točki zvezna. Če pa je graf funkcije v točki pretrgan (nesklenjen), je funkcija v tej točki nezvezna.″

Torej sta funkciji $g$ in $h$ nezvezni, funkcija $f$ pa zvezna.

Elementarne funkcije

Osvežimo spomin na elementarne funkcije

Linearna funkcija	Kvadratna funkcija	Potenčna funkcija	Polinom funkcija
Eksponentna funkcija	Logaritemska funkcija	Sinus funkcija	Kosinus funkcija

Linearna funkcija

Kvadratna funkcija

Potenčna funkcija

Polinom

Eksponentna funkcija

Logaritemska funkcija

Sinus funkcija

Kosinus funkcija

V galeriji grafov elementarnih funkcij si še enkrat osveži spomin in razmisli o pravilnosti naslednjih izjav.

1. Linearna funkcija $f(x)=kx+n$ je zvezna v vsaki točki $x \in \mathbf{R}$ .

Napačno

Pravilno

Preveri

Pravilno

Odlično! Graf linearne funkcije je premica, ki pa je nepretrgana krivulja.

Napačno

To pa ne bo držalo! Graf linearne funkcije je premica, ki pa je nepretrgana krivulja.

2. Kvadratna funkcija $f(x)=ax^2+bx+c$ ni zvezna, saj graf pod temenom nima nobene točke, ko je $a>0$ .

Napačno

Pravilno

Preveri

Pravilno

Odlično! Zaloga vrednosti funkcije ne vpliva na zveznost, pomembna je krivulja. Kvadratna parabola pa je nepretrgana krivulja, zato je v vsaki točki kvadratna funkcija zvezna.

Napačno

To pa ne bo držalo! Zaloga vrednosti funkcije ne vpliva na zveznost, pomembna je krivulja. Kvadratna parabola pa je nepretrgana krivulja, zato je v vsaki točki kvadratna funkcija zvezna.

Potenčne funkcije s pozitivnimi celimi eksponenti $f(x)=x^n$ so definirane za vsa realna števila ne glede na velikost $n$ in so zvezne za vse točke definicijskega območja. Pravilno?

DA

NE

Preveri

Namig

Pravilno

Pravilno. Vemo že, da so grafi polinomov gladke nepretrgane krivulje, to pa se sklada z intuitivno ugotovitvijo o zveznosti funkcij.

Napačno

Nepravilno. Vemo že, da so grafi polinomov gladke nepretrgane krivulje, to pa se sklada z intuitivno ugotovitvijo o zveznosti funkcij.

Namig

Razmisli o obliki grafa potenčnih funkcije.

Ali so polinomi zvezne funkcije?

DA

NE

Preveri

Namig

Pravilno

Pravilno. Vemo že, da so grafi polinomov gladke nepretrgane krivulje, to pa se sklada z intuitivno ugotovitvijo o zveznosti funkcij.

Napačno

Nepravilno. Vemo že, da so grafi polinomov gladke nepretrgane krivulje, to pa se sklada z intuitivno ugotovitvijo o zveznosti funkcij.

Namig

Razmisli o obliki oz. sklenjenosti krivulje grafa polinoma.

Bistvo sklepanja o odgovorih je poznavanje grafov funkcij. Tudi druge elementarne funkcije iz galerije slik so zvezne. Vse funkcije v galeriji so zvezne v vsaki točki realne osi razen logaritemske, ki pa je zvezna za vsako pozitivno realno število, saj je definirana le za ta števila.

Zakaj niso slike 1, 2 in 3 na začetku slike elementarnih funkcij?

Sedaj, ko intuitivno znamo ugotoviti, ali je funkcija zvezna, se lotimo matematične formulacije zveznosti funkcije. Pri tem nam pomaga limita funkcije. Ta namreč veliko pove o obnašanju funkcije v okolici točke, pri kateri opazujemo zveznost.

Slike 1,2,3

Slika 1:Funkcija f........................Slika 2:Funkcija g.........................Slika 3:Funkcija h

Galerija elementarnih funkcij zajema večino elementarnih funkcij, za katere se da hitro ugotoviti, da so zvezne v vsaki točki, kjer so definirane. Zato smo morali pri primerih na slikah 1, 2 in 3 poseči po funkcijah z deljenim predpisom, ki omogoča, da tvorimo tudi nezvezne funkcije. Med elementarnimi funkcijami ni preprostih nezveznih funkcij. Kdor pomisli recimo na racionalne funkcije, funkciji tangens in kotangens ter se spomni, da imajo te funkcije graf pretrgan (nesklenjena krivulja), in meni, da so to nezvezne funkcije, se moti. Grafi so namreč pretrgani v polih teh funkcij, kjer funkcija sploh ni definirana, za ugotavljanje zveznosti funkcije pa mora biti funkcija v dani točki definirana.

Limita funkcije

Kot smo že ugotovili, funkciji $g$ in $h$ nista zvezni pri točki $x=1$ , zvezna pa je tam funkcija $f$ . Ugotovimo razliko med njimi z limito.

Vprašanje
Ali obstaja limita funkcije $g$ , ko gre $x$ proti $1$ ?

Odgovor

Vprašanje
Ali obstaja limita funkcije $h$ , ko gre $x$ proti $1$ ?

Odgovor

Funkcija $h$ v točki $x=1$ ima limito, saj se vrednosti funkcije $h(x)$ z leve in z desne bližajo k $–1$ . Torej:

$\lim_{x \to 1}h(x)=-1$

Obstoj limite še ne zagotavlja zveznosti v točki, saj ima recimo funkcija $h$ v točki $x=1$ limito, ni pa zvezna.

Odgovor

Funkcija $g$ v točki $x=1$ nima limite, saj se vrednosti funkcije $g(x)$ z leve bližajo k $–2$ , z desne pa k $–1$ . Za obstoj limite pa se morajo vrednosti funkcije bližati k isti vrednosti.

Gotovo torej velja, da funkcija, ki v dani točki nima limite, v tej točki ni zvezna.

Kaj je torej pogoj za zveznost? Oglejmo si še funkcijo $f$ , ki je zvezna.

Vprašanje
Ali obstaja limita funkcije $f$ , ko gre $x$ proti $1$ ?

Odgovor

Kje je torej razlika?
Pomembna razlika je v vrednosti funkcij $f$ in $h$ v točki $x=1$ . Vrednost funkcije $f$ je ravno $–2$ , kot vrednost limite, medtem ko vrednost funkcije $h$ ni enaka njeni limiti, saj je enaka $1$ . In prav to je argument za matematično definicijo zveznosti. Limita funkcije mora v dani točki obstajati in biti enaka vrednosti funkcije v tej točki.

Odgovor

Funkcija $f$ v točki $x=1$ ima limito, saj se vrednosti funkcije $f(x)$ z leve in z desne bližajo k $–2$ . Torej:

$\lim_{x \to 1}f(x)=-2$

Zveznost

Dogovorimo se.

Funkcija $f$ je v točki $x=a$ zvezna natanko tedaj, ko je v točki $x=a$ definirana in velja:

$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$

Funkcija je zvezna na intervalu $[a,b]$ , če je zvezna v vsaki točki tega intervala.

Zapomnimo si, da so že zgoraj omenjene elementarne funkcije zvezne. Tej skupini lahko dodamo še konstantno funkcijo, ki je tudi zvezna. Znane zvezne funkcije:

$f(x)=c$ ... konstantna funkcija;
$f(x)=kx+n$ ... linearna funkcija;
$f(x)=ax^3+bx+c$ ... kvadratna funkcija;
$f(x)=x^n, n \in \mathbf{N}$ ... potenčna funkcija;
$f(x)=a_nx^n+ \cdots +a_2x^2+a_1x+a_0$ ... polinom;
$f(x)=ax, a>0$ ... eksponentna funkcija;
$f(x)=log_ax, a>0, x>0$ ... logaritemska funkcija;
$f(x)=\sin{x}$ ... sinusna funkcija;
$f(x)=\cos{x}$ ... kosinusna funkcija.

Zveznost

Za računanje pa so pomembne še naslednje ugotovitve:

Če sta funkciji $f$ in $g$ v točki $x=a$ zvezni, so tudi funkcije vsota $f+g$ , produkt $f·g$ in količnik $\frac{f}{g}$ (če $g(a)≠0$ ) zvezne v točki $x=a$ .

Zato velja:

$1.\lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=f(a)+g(a)$ $2.\lim_{x \to a}(f(x) \cdot g(x))=f(a) \cdot g(a)$ $3.\lim_{x \to a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{f(a)}{g(a)},g(a) \neq 0$

Kako to?

Odgovor

Če pokukaš v poglavje Računanje limit funkcij, najdeš pravila, ki jih lahko strneš takole:

Če obstajata limiti funkcij

$\lim_{x \to a}f(x)$

in

$\lim_{x \to a}g(x)$

potem velja:

$\lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}g(x)$ $\lim_{x \to a}(f(x) \cdot g(x))=\lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x)$ $\lim_{x \to a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)};\lim_{x \to a}g(x) \neq 0$

Če ta pravila uporabimo v naših primerih in pri tem upoštevamo

$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$

in

$\lim_{x \to a}g(x)=g(a)$

, pridemo do zgornjih formul, ki so zelo uporabne.

Primer uporabe formul

Naloga

Imamo trigonometrično funkcijo $f(x)=3\sin{(2x-\frac{\pi}{3})}+1$ .

Poišči

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}f(x)$

Rešitev

Če narišeš graf te funkcije, kar že znaš, ugotoviš, da je ta funkcija zvezna. Po drugi strani pa lahko prideš do iste ugotovitve, če pogledaš njen predpis. Predpis lahko z adicijskim izrekom spremeniš tako, da je funkcija zapisana kot vsota, produkt samih elementarnih zveznih funkcij: $f(x)=3 \cdot \sin{x} \cdot \cos{x}-\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \cos{x} \cdot \cos{x}+\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sin{x} \cdot \sin{x}+1$ .

Ker je ta funkcija zvezna, je naloga preprosta, saj moramo za njeno rešitev izračunati zgolj vrednost funkcije v točki $x=\frac{\pi}{3}$ .

Torej:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}=3\sin{(2 \cdot \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})}+1=3\sin{(\frac{\pi}{3})}+1=3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+1=\frac{3\sqrt{3}+2}{2}$

Preizkusi se

Poišči

$\lim_{x \to 2}x^2.$

$\lim_{x \to 2}x^2=4$

Limita ne obstaja.

Ni mogoče poiskati, o funkciji ne vemo dovolj.

Namig

Pravilno

Tako je. Funkcija $f(x)=x^2$ je zvezna funkcija, zato je limita enaka vrednosti funkcije v točki:

$\lim_{x \to 2}x^2=2^2=4$

Napačno

Narobe. Funkcija $f(x)=x^2$ je zvezna funkcija, zato je limita enaka vrednosti funkcije v točki:

$\lim_{x \to 2}x^2=2^2=4$

Napačno

Narobe. Funkcijo $f(x)=x^2$ poznamo in je zvezna, zato je limita enaka vrednosti funkcije v točki:

$\lim_{x \to 2}x^2=2^2=4$

Namig

Razmisli, ali je funkcija zvezna.

Preizkusi se

Dana je funkcija $f(x)=(3^x+log_{3}x) \cdot (2x-1)$ .

Izračunajte

$\lim_{x \to 1}f(x).$

$\lim_{x \to 1}f(x)=3$

$\lim_{x \to 1}f(x)=6$

Ne da se izračunati, ker je preveč funkcij.

Namig

Pravilno

Napačno

Narobe:

$\lim_{x \to 1}f(x)=3$

Napačno

Narobe:

$\lim_{x \to 1}f(x)=3$

Namig

Uporabi pravila oz. formule.

Preizkusi se

Izračunajte

$\lim_{x \to -2}\left(\frac{2x^2-3x+1}{x+3}\right).$

$\lim_{x \to -2}\left(\frac{2x^2-3x+1}{x+3}\right)=15$

Ne da se, saj racionalne funkcije niso zvezne.

Dobro je vedeti

Racionalne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane. Racionalne funkcije v polih niso definirane, zato o zveznosti v teh točkah ne moremo govoriti.

Pravilno

Napačno

Narobe. Racionalne funkcije niso zvezne v polih, kjer sploh niso definirane, sicer pa so posamezni deli grafa sklenjene – zvezne krivulje.

Lastnosti zveznih funkcij

Spoznali bomo tri najpomembnejše lastnosti zveznih funkcij, ki jih uporabljamo pri problemih, povezanih s funkcijami in njihovim obnašanjem. Vse te lastnosti pa izhajajo iz dejstva, da so grafi zveznih funkcij nepretrgane krivulje.

Prva lastnost

Če zvezna funkcija na intervalu $[a,b]$ ne zavzame vrednosti $0$ , potem je na celem intervalu enakega predznaka, bodisi pozitivnega bodisi negativnega.

Sliki ponazarjata splošen izgled zveznih funkcij s prvo lastnostjo.

Druga lastnost

Če za zvezno funkcijo $f$ na intervalu $[a,b]$ velja $f(a)·f(b)<0$ , potem ima ta funkcija na tem intervalu vsaj eno ničlo.

Funkciji na slikah sta zvezni na intervalu $[a,b]$ in izpolnjujeta pogoje za drugo lastnost. Leva funkcija (modra) ima na tem intervalu le eno ničlo, desna funkcija (rdeča) pa ima kar tri ničle. Torej o številu ničel ne moremo sklepati ničesar, lahko sklepamo le o njihovem obstoju na danem intervalu.

Dodatna razlaga pogoja

Pogoj $f(a)·f(b)<0$ pomeni, da imata vrednosti $f(a)$ in $f(b)$ različen predznak; ali je $f(a)<0$ in $f(b)>0$ ali pa $f(a)>0$ in $f(b)<0$ .

Tretja lastnost

Če je funkcija na nekem zaprtem intervalu zvezna, potem je na njem omejena.

Naj bo funkcija $f(x)$ na intervalu $[a,b]$ zvezna. Potem na tem intervalu zasede svojo natančno zgornjo mejo $M$ in spodnjo mejo $m$ . Torej: $f:[a,b]→[m,M]$ .

Slika kaže primer splošne funkcije, ki na intervalu $[a,b]$ zavzame vse vrednosti od $m$ do $M$ . Torej zvezne funkcije slikajo zaprte intervale v zaprte intervale.

Preizkusi se

Ali je funkcija $f(x)=|x|$ zvezna funkcija povsod, kjer je definirana?

DA, povsod je zvezna.

NE

V točki $x=0$ ni, saj tam graf naredi "špico".

Ali ima polinom $p(x)=2x^5–4x^4+7x^2–3$ na intervalu $[–1,2]$ ničlo?

Na tem intervalu ima vsaj eno ničlo, saj je polinom zvezna funkcija in velja $p(–1)·p(1)<0$ .

Ne da se ga razcepiti, torej je nima.

Na tem intervalu so samo tri števila: $–1$ , $0$ , $1$ . V nobeni polinom nima vrednosti $0$ , zato ničel ni.

Določi zalogo vrednosti funkcije $f:[–2,2]→\mathbf{R}$ s predpisom $f(x)=2^x+x^3$ .

$[f(-2),f(2)]=[-\frac{31}{4},12]$

Ker je funkcija združena iz dveh zelo različnih funkcij, je to za nas pretežka naloga.

Zaloga vrednosti so vsa realna števila, saj tako piše v zapisu funkcije.

Preveri

Pravilno

Vsi odgovori so pravilni.

Napačno

Pravilno si rešil od 3 vprašanj.

Dodatne naloge

1. naloga

Nariši graf funkcije

$f(x) = \begin{cases} 2x − 1; & x < 1\\ −x; & x \geq 1\\ \end{cases}$

in ugotovi, ali je funkcija zvezna v točki $x = 1$ .

Funkcija

je zvezna v točki $x=1$ .

ni zvezna v točki $x=1$ .

Preveri

Rešitev-graf funkcije

Pravilno

Napačno

Graf funkcije $f(x)$

Dodatne naloge

2. naloga

S pomočjo grafa funkcije

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x- 1; & x \leq 0\\ −x^3; & x > 0 \end{cases}$

ugotovi, ali je funkcija zvezna v točki $x = 0$ .

Funkcija

je zvezna v točki $x=0$ .

ni zvezna v točki $x=0$ .

Preveri

Pravilno

Napačno

Dodatne naloge

3. naloga

Skiciraj graf funkcije

$f(x) =\begin{cases} x^2 + 1; & x < 0\\ \cos{x}; & 0 \leq x \leq \pi\\ \sin{x}; & x > \pi \end{cases}$

in preuči njeno zveznost v točkah $x = 0$ in $x = \pi$ .

Funkcija

je zvezna v točki $x=0$ .

ni zvezna v točki $x=\pi$ .

je zvezna v točki $x=\pi$ .

ni zvezna v točki $x=0$ .

Preveri

Pravilno

Napačno

Dodatne naloge

4. naloga

Nariši graf funkcije

$f(x) =\begin{cases} x^2; & x < -1\\ -x; & -1 \leq x \leq 1\\ -x^2+1; & x > 1 \end{cases}$

in preuči njeno zveznost.

Funkcija je zvezna povsod.

Funkcija je zvezna povsod, kjer je definirana, razen v točki $x = 1$ .

Funkcija je zvezna v točki $x=1$ .

Preveri

Rešitev- graf funkcije

Pravilno

Napačno

Graf funkcije $f(x)$

Dodatne naloge

5. naloga

Dobro si oglej sliko, na kateri je narisan graf funkcije $f(x)$ (njen predpis za nalogo ni pomemben). Ali je funkcija zvezna v točkah $x \in \{−2, 0, 1, 2\}$ ?

Graf funkcije f(x)

Funkcija je zvezna v točki

$0$

$1$

$2$

$-2$

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Dodatne naloge

6. naloga

Določi parameter $a$ tako, da bo funkcija $f(x) =\begin{cases} x − 1; & x < 1\\ −2x + a; & x \geq 1 \end{cases}$ zvezna.

Ko je a = , je funkcija tudi v točki x = zvezna.

Preveri

Zveznost funkcij

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Zveznost funkcij

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Osvežimo spomin na elementarne funkcije

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Namig

Pravilno

Napačno

Namig

Odgovor

Odgovor

Odgovor

Odgovor

Pravilno

Napačno

Napačno

Namig

Pravilno

Napačno

Napačno

Namig

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

1. naloga

Pravilno

Napačno

Graf funkcije f(x)

2. naloga

Pravilno

Napačno

3. naloga

Pravilno

Napačno

4. naloga

Pravilno

Napačno

Graf funkcije f(x)

5. naloga

Pravilno

Napačno

6. naloga

Pravilno

Napačno

Graf funkcije $f(x)$

Graf funkcije $f(x)$