Kompleksna števila že znaš seštevati. Ne verjameš? Poglej si naslednji primer:

poenostavi izraz .

Izziv res ne presega našega osnovnošolskega znanja: .

Kaj pa, če namesto črk in uporabimo samo števila in črko ? Poglej si primer:

.

Postopek je popolnoma enak kot prej: seštevamo in odštevamo lahko le objekte iste vrste. Naučil si se seštevati in odštevati kompleksna števila.

Naše spoznanje zapišimo še nekoliko splošneje.

Posledica zgornjega dogovora je tudi naslednji premislek o odštevanju kompleksnih števil:

nasprotna vrednost kompleksnega števila je , zato je razlika kompleksnih števil in , definirana kot , enaka

In kaj naj si od vseh teh splošnih zapisov zapomnimo? Preprost napotek za seštevanje kompleksnih števil:

1. Izračunaj vsoto in razliko števil in , če sta in .

2. Kako bi zapisal vsoto in razliko dveh kompleksnih števil, ki sta predstavljeni z urejenim parom?

Vsako točko v ravnini lahko ponazorimo tudi s krajevnim vektorjem, zato z njim lahko ponazorimo tudi vsako kompleksno število v kompleksni ravnini. Na spodnji sliki sta s krajevnimi vektorji prikazani vsota in razlika kompleksnih števil in .

S premikanjem točk (kompleksnih števil in ) lahko preizkusiš skladnost vektorskega prikaza vsote in razlike s številskimi vrednostmi vsote in razlike.

S premikanjem kompleksnih števil in v zgornji konstrukciji poskusi odgovoriti na naslednja vprašanja.

1. Nastavi števili in Odčitaj komponenti vsote in razlike ter ponovi zvezo med realnimi in imaginarnimi komponentami števil , , in .

2. Nastavi število in določi vrednost števila tako, da bo .

Na zgornji konstrukciji najdeš zelen vektor razlike prikazan dvakrat: enkrat kot vektor razlike krajevnih vektorjev točk in in drugič kot krajevni vektor točke . Odgovori.

• Ali gre v obeh primerih za enak vektor? Zakaj?
  Zelena vektorja nista sta enaka.
  
  

• Vektorja vsote in razlike določata diagonali nekega paralelograma. Zakaj? Določi oglišča tega paralelograma.
  Ogljišča paralerograma so:

  , , in

  , , in

  , , in

  Preveri

Znamo že sešteti kompleksni števili, radi pa bi ju tudi zmnožili. Poglej si naslednji primer, za razumevanje katerega potrebuješ le osnovnošolsko znanje o računanju z izrazi:

Verjetno si opazil, da je bilo do tega koraka množenje kompleksnih števil popolnoma enako množenju dvočlenikov. Za končanje izračuna pa moramo upoštevati še lastnost števila i, ki smo jo spoznali v predhodnem gradivu: i2=−1. Če torej i2 nadomestimo z −1, dobimo v zgornjem primeru rezultat:

Sedaj znaš torej kompleksna števila tudi množiti. Našo ugotovitev o množenju lahko zapišemo splošneje, pri čemer se splošne formule (kot pri seštevanju) ne bomo učili na pamet.

Zgornje formule se seveda ne bomo naučili na pamet, ampak si bomo zapomnili, da kompleksna števila množimo enako kot dvočlenike, pri čemer upoštevamo še lastnost imaginarne enote, da je .

1. S pomočjo pravila na prejšnji prosojnici izpelji formulo za produkt kompleksnih števil in .

2. Izračunaj produkt števil in .

3. Pravimo, da je izbrana množica zaprta za neko računsko operacijo, če nam operacija nad poljubnima dvema elementoma iz te množice da kot rezultat spet element iz te množice; npr. množica naravnih števil je zaprta za seštevanje in množenje, ni pa zaprta za odštevanje in deljenje.

Množica kompleksnih števil vsebuje dve zanimivi disjunktni podmnožici: množico realnih števil in množico (čistih, pravih) imaginarnih števil. Za katere računske operacije (seštevanje, odštevanje ali množenje) sta ti dve množici zaprti?

Realna števila so zaprta za vse tri za seštevanje in množenje za seštevanje in odštevanje za množenje in odštevanje za seštevanje za množenje za odštevanje omenjene računske operacije; imaginarna števila skupaj z so zaprta za vse tri za seštevanje in množenje za seštevanje in odštevanje za množenje in odštevanje za seštevanje za množenje za odštevanje , niso pa zaprta za vse tri za seštevanje in množenje za seštevanje in odštevanje za množenje in odštevanje za seštevanje za množenje za odštevanje , saj je vsota razlika produkt dveh imaginarnih števil vedno realno število: .

Zgolj z obstoječim znanjem utemeljitev geometrijske ponazoritve produkta dveh kompleksnih števil še ni možna.

Razišči

Na spodnji sliki lahko opazuješ obnašanje krajevnega vektorja produkta pri spreminjanju lege vsakega od faktorjev ali in postaviš hipotezo, od česa sta odvisni njegova lega in dolžina. Pod sliko je skrit tudi odgovor, katerega formalno utemeljitev si bomo pogledali šele pri obravnavi polarnega zapisa kompleksnega števila (kar pa sodi med dodatne vsebine).

Opomba

Na sliki pomeni zapis dolžino krajevnega vektorja, ki pripada kompleksnemu številu (zaenkrat bomo temu rekli tako), kot pa označuje naklonski kot vektorja glede na pozitivni poltrak realne osi.

Razišči

Naj bo realno število. Kakšen geometrijski pomen ima množenje števila s kompleksnim številom ? Ali bi znal odgovoriti, kakšen geometrijski pomen ima množenje števila s številom ? Kaj pa s ? In z ?

Namig

Pomagaj si s spoznanji iz obravnave geometrijske ponazoritve produkta in postavi hipotezo, nato pa svojo hipotezo preveri še s spodnjo konstrukcijo, kjer lahko spreminjaš vrednost realnega števila in opazuješ obnašanje produkta (zaradi večje preglednosti slike je možno vrednosti izbirati samo med in ).

Vsako izmed naslednjih nalog najprej reši sam, nato pa rešitev še preveri.

1. Izračunaj vrednost izraza .

Vrednost izraza je:

2. Izračunaj vrednost izraza.

3. Izraz razcepi v množici kompleksnih števil.

4. Grafično seštej in odštej kompleksni števili in .

5. Zmnoži števili in , obe skupaj s produktom prikaži v kompleksni ravnini in na sliki preveri dobljeno rešitev s pomočjo pravila za grafično predstavitev produkta (zveze med naklonskimi koti in dolžinami krajevnih vektorjev).

Ker so lahko zapisi istega števila različni, se včasih vprašamo, ali izbrana zapisa predstavljata isto število (npr. zapis števila z ulomkom in z decimalno številko). Podobno se bomo vprašali, kdaj sta kompleksni števili enaki.

Ali sta števili in enaki? Odgovor se ponuja kar sam od sebe: ne, ker se razlikujeta v imaginarni komponenti.

Ali lahko sedaj splošno odgovorimo, kakšni pogoji morajo biti izpolnjeni, da bosta kompleksni števili in enaki?

Določi realni števili in tako, da bosta kompleksni števili in enaki.

Dokaži, da za operaciji seštevanja in množenja kompleksnih števil veljajo običajni zakoni: komutativnost, asociativnost in distributivnost. Nalogo reši na papir. V pomoč ti je namig.

Izračunaj vrednost izraza:
a) ,
b)

a) Vrednost izraza je:

b) Vrednost izraza je:

Poišči vse rešitve (tudi kompleksne) enačbe:
a) ,
b) .

a) Rešitve enačbe so:

b) Rešitve enačbe so:

Reši enačbo .

Za kateri bo dano kompleksno število
a) realno število,
b) čisto imaginarno število?
V obeh primerih število tudi zapiši.

a)


b)

S krajevnimi vektorji, ki ponazarjajo kompleksna števila, določi:
a) kompleksno število , ki leži na razpolovišču daljice, katere krajišči sta kompleksni števili in ,
b) kompleksno število , ki leži v težišču trikotnika z oglišči , in .
Izpeljano formulo preizkusi še na kakšnem konkretnem zgledu kompleksnih števil.

a)

b)