Uvod
S polinomi smo se pri učenju že srečali, le poimenovali jih nismo tako. V tem gradivu bomo definirali polinome in povezali neznano z znanim. Računali bomo vrednost polinoma v neki točki in preverjali enakost dveh polinomov. Velik del algebre izvira iz proučevanja polinomov, ki so ene od najbolj enostavnih in najpomembnejših funkcij v matematiki.
Definicija polinoma
Polinom p(x) stopnje je realna funkcija, podana s predpisom pri čemer so , , , ..., , realna števila, ki jim pravimo koeficienti polinoma in , pa je naravno število. Koeficient imenujemo vodilni koeficient, člen vodilni člen, pa prosti, svobodni ali konstantni člen. |
Stvar izgleda dolga in zapletena. Zakaj smo rekli, da so polinomi ene od najbolj enostavnih funkcij? Če dobro pogledate, kako izgleda polinom, boste videli, da je vsak polinom dobljen s samo končno operacijami seštevanja in množenja. Takšne strukture so nam v algebri zelo všeč. Malo bolj zapletenim izrazom, kjer je poleg seštevanja in množenja uporabljeno še deljenje, pravimo racionalne funkcije.
|
Nekaj za osvežitev spomina
Omenili smo že, da zelo dobro poznamo nekaj osnovnih polinomov.
Na spodnjih gumbih imaš naštete tri vrste polinomov. Za vse tri najprej zapiši predpise. Dobil boš predpise za funkcije, ki jih že dobro poznaš. Poimenuj te funkcije in premisli, kaj je graf posamezne funkcije.
Premisli, kako vplivajo koeficienti danih polinomov na graf funkcije in odgovore preveri s klikom na gumb.
| Polinom ničte stopnje | Polinom prve stopnje | Polinom druge stopnje |
Polinom ničte stopnje je funkcija s predpisom , pri čemer je poljubno neničelno realno število. Vemo že, da so to konstantne funkcije, katerih grafi so vzporednice z abscisno osjo in sekajo ordinatno os v točki A(0,).
Primer polinoma ničte stopnje:
Polinom prve stopnje je funkcija s predpisom , pri čemer je . To so linearne funkcije, nam bolj poznane s predpisom . Grafi so premice, katerih naraščanje oziroma padanje je odvisno od k oziroma . Premice sekajo ordinatno os v točki A(0,).
Primer polinoma prve stopnje:
Polinom stopnje 2 je funkcija s predpisom , kjer je vodilni koeficient . Te funkcije smo imenovali kvadratne funkcije in smo jih zapisali v obliki , . Grafi kvadratnih funkcij so parabole. Predznak vodilnega koeficienta pomeni, kako je parabola obrnjena; prosti člen pa pove, kje parabola seka ordinatno os.
Primer polinoma druge stopnje:
Vaja
Dopolni manjkajoče besedilo pri naslednjih dveh primerih.
Odlično! Vsi odgovori so pravilni. Lahko nadaljuješ na naslednjo stran.
Odgovor ni popolnoma pravilen.
REŠITEV
Dan je polinom s predpisom . Polinom ima 4 člene, njegova stopnja je 3. Vodilni koeficient polinoma je -7, prosti člen pa 5. Polinom s predpisom , pri čemer je vodilni koeficient različen od 0, imenujemo potenčna funkcija s pozitivnim eksponentom. Polinom ima 1 člen, zato ga imenujemo tudi monom.
Vrednost polinoma
Rešimo naslednje primere.
Dan je polinom . Izračunaj vrednost polinoma :
| 1. za . | Pomoč | Izračunam, da je = 1 2 3 4 5 | ||
| 2. za . | Pomoč | Izračunam, da je = 1 2 3 | ||
| 3. za . | Pomoč | Izračunam, da je = -1 0 1 | Za radovedne |
Čemu je vedno enaka vrednost poljubnega polinoma za ?
Strnimo ugotovitvi:
| Vrednost polinoma za je enaka prostemu členu polinoma. Ničla polinoma je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko , da ima polinom vrednost 0. |
Pravilno.
Od tod sledi, da je ničla polinoma.
REŠITEV
Izračunam, da je
| 1. =3, | |
| 2. =1, | |
| 3. =0. |
Vsaj en dogovor ni pravilen.
Vrednost polinoma za izračunamo tako, da v polinom namesto vstavimo 2.
Vrednost polinoma za izračunamo tako, da v polinom namesto vstavimo 0.
Naj bo poljuben polinom. Vrednost polinoma za izračunamo tako, da v polinom namesto vstavimo 0.
Vrednost polinoma za izračunamo tako, da v polinom namesto vstavimo 1.
Enakost polinomov
Zapišimo najprej definicijo za enakost dveh polinomov.
| Polinoma sta enaka, kadar imata za vsako realno število enako vrednost. |
Seveda pa enakosti dveh polinomov ne moremo preverjati na ta način, saj je realnih števil neskončno mnogo. Zato bomo za preverjanje enakosti polinomov uporabljali raje naslednji izrek:
| Polinoma sta enaka, kadar imata enako stopnjo in enake koeficiente pri istih potencah. |
Imejmo dva enaka polinoma:
in
.
Po definiciji o enakosti polinomov velja, da je . Vemo že, da je in . To pomeni, da sta prosta člena polinomov in enaka. Zato velja tudi enakost
;
;
;
.
Na obeh straneh enačbe imamo dva enaka polinoma, ki imata za vsako realno število isto vrednost. Vrednost za je enaka na levi strani enakosti , na desni pa . Torej velja tudi, da je
.
S postopkom nadaljujemo in ugotovimo, da morata imeti polinoma enako število členov, torej je (kar pomeni, da imata enako stopnjo) in veljati mora:
za vsak od 0 do .
Primera
Pravilno.
REŠITEV
Vsaj en odgovor ni pravilen.
Naloge
1. naloga
Dana imaš polinoma
in
.
Kolikšni sta njuni stopnji? Izberi ustrezno zaporedje koeficientov od vodilnega koeficienta do prostega člena.
| Polinom | Stopnja polinoma | Zaporedje koeficientov |
| 3, -1, 4, -2 -2, 4, -1, 3 -1, 0, 0, 3, 4, -2 -2, 4, 3, 0, 0, -1 -2, 4, 3, -1 5, 2, 1, 0 0, 1, 2, 5 5, 2, 1 1, 2, 5 | ||
| 0, -3, 0, 0, 0, 0, 1 1, 0, 0, 0, 0, -3, 0 1, 6 6, 1 |
Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.
Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
Polinom je stopnje 5, njegovi zaporedni koeficienti od vodilnega koeficienta do prostega člena so -1, 0, 0, 3, 4, -2.
Polinom je stopnje 6, njegova zaporedna koeficienta od vodilnega koeficienta do prostega člena sta 1, 0, 0, 0, 0, -3, 0.
Naloge
2. naloga
Med danimi možnostmi izberi polinom prve stopnje z vodilnim koeficientom 2 in prostim členom -5.
Izračunaj njegovo vrednost za . Izračunam, da je .
Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.
Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
in .
Naloge
3. naloga
Določi realna števila , , , tako, da bosta polinoma
in
enaka.
Izračunam, da
2
3
4
5
,
-2
-3
-4
-5
,
-2
-3
-4
-5
,
3
4
5
6
.
Odlično! Lahko nadaljuješ na naslednjo nalogo.
Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
, , ,
Naloge
4. naloga
Določi prosti člen polinoma , če je
Odlično!
Oba odgovora sta napačna
Prvo nalogo si rešil pravilno, drugo pa poskusi še enkrat.
Drugo nalogo si rešil pravilno, prvo pa poskusi še enkrat.
