Računanje bomo začeli z izrazi, kjer pod korenskimi znaki nastopajo konkretna realna števila. Seveda bomo računali s pomočjo vseh pravil za računanje s koreni višjih stopenj in izraze sproti poenostavljali. Vsi izrazi so nastavljeni tako, da je računanje s kalkulatorjem povsem nepotrebno.

Izračunajmo vrednost spodnjega izraza.

Vse nastopajoče korenjence lahko zapišemo kot potenco z osnovo 2

združimo dvojne korene, razširimo korena na skupni koren in preračunamo do konca:

Rezultat, napisan v oklepaju, je že racionaliziran (kako racionalizirati izraz, se bomo sicer naučili šele v kasnejšem poglavju). Končni rezultat je natančen. Pri decimalnem zapisu tega števila bi nam pomagal kalkulator.

Prikazan je eden od načinov, kako izračunati vrednost danega izraza. Sami lahko poiščete še kakšnega, morda celo krajšega.

Poenostavi izraz in rezultat zapiši v obliki ulomka s celoštevilskim imenovalcem (končni rezultat racionaliziraj; poenostavi tako, da v imenovalcu ne bo korenov).

Odgovor

Izračunajmo natančno vrednost izraza

za

Preden bomo namesto neznank in vstavili konkretne vrednosti, bomo izraz poenostavili. Pred "krutim" množenjem izraza si dobro oglejmo obliko izraza.

Na začetku prvega letnika smo se naučili razcepiti vsoto in razliko kubov. Oglejmo si formuli še enkrat :

V našem primeru gre torej za vsoto kubov števil in

Začetni izraz je torej enak

1. V posodo v obliki krogle lahko vlijemo l tekočine. Koliko metrov meri notranji polmer posode?

Odgovor

2. Prva skupina tabornikov spi v sobi v obliki kocke. Soba je široka m. Druga skupina si je postavila šotor, ki je v obliki enakorobne tristrane prizme. Spalnici obeh skupin tabornikov sta volumensko enaki. Kako dolg je šotor druge skupine tabornikov?

Namig

Namig

Zapiši spodnji izraz z enim samim korenom:

Odgovor

Naučili smo se, da je lahko veliko nalog rešimo brez kalkulatorja, in to naj nam bo glavno vodilo. Kadar pa problem od nas zahteva "številčni" rezultat, natančen na nekaj decimalnih mest, si pomagamo s kalkulatorjem. Uporabimo tipko z napisom ali ,

ki jo najpogosteje najdemo kot drugo možnost uporabe tipke .

Dobro preberi spodnji nalogi in bodi pozoren na navodilo, ki pripoveduje o rezultatu.

• Prostornina kocke meri . Natančno izračunaj dolžino stranice kocke. Odgovor

• Prostornina kocke meri . Izračunaj dolžino stranice kocke na tri decimalke natančno. Odgovor

V tem poglavju bomo števila nadomestili s spremenljivkami, ki jih bomo označevali z Da pri računanju ne bi naleteli na težave (korenjenci korenov sodih stopenj morajo namreč biti le nenegativna števila), bomo že na začetku privzeli, da so števila nenegativna. Seveda pa se s koreni lihih stopenj, kjer so korenjenci negativna števila, računa povsem enako, kot bomo prikazali z zgledi.

Poenostavimo izraza:

Pri poenostavljanju izrazov s koreni višjih stopenj se najprej poskusimo znebiti večkratnih korenov v posameznih faktorjih. Pred množenjem poskusimo vsak faktor poenostaviti bodisi z množenjem potenc pod korenom bodisi s krajšanjem korenskega in potenčnega eksponenta. Korene višjih stopenj zmnožimo ali delimo med seboj tako, da jih razširimo na skupni koren in faktorje med seboj zmnožimo.

Sam poenostavi izraz:

Odgovor

Poenostavimo skupaj izraza, v katerih nastopajo neznanke in nekaj števil.

Pozorni bomo predvsem na to, da bomo faktorje sproti poenostavljali. Najprej bomo izraze delno korenili:

Poglejmo, če je možno kakšen faktor okrajšati. Krajšamo lahko v števcu in imenovalcu, v imenovalcu lahko pod tretjim korenom krajšamo y in dobimo:

Odpravimo dvojne ulomke in razširimo izraz pod šesti koren:

Poenostavi spodnji izraz:

Odgovor

Vrednos izraza , ko je , je

Vrednost izraza , ko je , je

Vrednost izraza je

Poenostavljena oblika izraza je

V imenovalcih ulomkov lahko najdemo tudi korene višjih stopenj. Če v imenovalcu nastopa en sam člen s korenom, se ga "znebimo" tako, da števec in imenovalec tega ulomka pomnožimo z ustrezno dopolnjenimi potencami in tako lahko izraz v imenovalcu korenimo. Kadar sta v imenovalcu dva člena ali več, si pomagamo z razliko kvadratov ali vsoto ali razliko kubov ..., odvisno od stopnje korena. Kaj to pomeni v praksi, si bomo najlažje ogledali v spodnjih primerih.

Racionalizirajmo izraz:

Ulomek smo pomnožili z , zato se njegova vrednost ni spremenila.

Sam racionaliziraj izraz

Odgovor

Racionalizirajmo izraz

Tretjega korena v imenovalcu se bomo znebili tako, da bomo ulomek v števcu in imenovalcu pomnožili s tretjim korenom istega korenjenca v drugi potenci:

Pri racionalizaciji izraza si bomo najprej pomagali z razliko kvadratov in kasneje še z razcepom razlike kubov dveh števil:

Za najradovednejše bomo s pomočjo izračuna nekaterih najznačilnejših točk narisali graf -tega korena za in . V isti koordinatni sistem bomo najprej narisali drugi in četrti koren, ker sta si funkciji tudi po lastnostih zelo podobni. Za funkciji in izdelajmo najprej tabelo, na kateri bodo prikazane vrednosti funkcij:

Grafa funkcij in izgledata takole

S črno barvo je narisan graf funkcije , graf funkcije je vijoličen. Za vse korene sodih stopenj so grafi podobne oblike in imajo isto definicijsko območje ter zalogo vrednosti. S stopnjo korena se spreminja le strmina grafa funkcije.

Pri funkciji bomo izbrali malo drugačne začetne točke, tiste, ki jih znamo izračunati brez kalkulatorja. Med njimi bodo tudi negativna števila.

Na sliki je graf funkcije . Tretji koren od smo znali narisati pri vseh realnih številih. Za vse ostale korene z lihim korenskim eksponentom bi bil graf zelo podoben, spreminjala bi se le strmina.

Poenostavi spodnje izraze:

• ,

Resitev

• ,

Resitev

• ,

Resitev

• ,

Resitev

• .

Resitev

Izračunaj vrednosti spodnjih izrazov:

• , ko je ,

Resitev

• , ko je in .

Resitev

Odpravi večkratne korene v spodnjih izrazih, in če je mogoče, korene med seboj seštej:

• ,

Resitev

• .

Resitev

Izračunaj natančno vrednost spodnjih izrazov brez uporabe kalkulatorja:

• ,

Resitev

• .

Resitev

Racionaliziraj spodnja izraza:

• ,

Resitev

• .

Resitev