Delna vsota AZ
V aritmetičnem zaporedju se vsak naslednji člen od prejšnjega razlikuje za diferenco. Ko seštevamo člene takšnega zaporedja, na vsakem koraku prištejemo prejšnji člen in diferenco. Ali lahko vsoto členov aritmetičnega zaporedja zapišemo v enem koraku?
Vsoto prvih členov aritmetičnega zaporedja označimo z:
Z Gaussovim postopkom poskusi sešteti prvih 100 naravnih števil.
Gaussova formula velja tudi za soda števila.
Dokaz
Ponovno si poglej Gaussov postopek seštevanja naravnih števil.
Opis postopka si lahko ogledaš na gumbu, ki se nahaja na desni strani.
Nemški matematik Carl Friedrich Gauss je bil v šoli nemiren otrok, zato mu je učitelj naročil, naj sešteje prvih naravnih števil, misleč, da ga bo zaposlil za nekaj časa.
Gauss pa je že v tistem času kazal nadarjenost za matematiko, zato se je računanja lotil na zanimiv in enostaven način. Seštel je in in dobil , nato in in zopet dobil , in ... tako je hitro zaključil, da bo vsoto dobil -krat, in izračunal.
S seštevanjem simetrično ležečih členov ugotovimo, da je vsota vedno enaka. Če je število sodo, imamo takih parov in dobimo vsoto .
Če je število liho , velja ista formula.
Naj bo . Zaporedje je torej takšno:
Vsota je sedaj enaka:
Upoštevajmo, da je srednji člen enak aritmetični sredini prvega in zadnjega člena.
Poiščemo skupni imenovalec, izpostavimo, poračunamo in dobimo vsoto
Torej formula velja za poljubno naravno število .
Primera
Čestitam, odgovor je pravilen.
Odgovor je napačen.
Primera
Čestitam, odgovor je pravilen.
Odgovor je napačen.
S pomočjo formule izračunaj .
Računanje
V formuli zadnji člen zaporedja izrazimo s prvim členom in diferenco ter dobimo še drugo formulo za izračun vsote.
Izberi prvi in zadnji člen ter število vseh členov zaporedja. Nato zapiši člene zaporedja in izračunaj vsoto. Rezultat preveri s spodnjim računalom (opomba: računalo zaokrožuje rezultate na cela števila).
Opomba: Ko v računalo vneseš podatke pritisni tipko Enter.
Izberi prvi člen in diferenco ter število vseh členov zaporedja. Nato zapiši člene in izračunaj vsoto. Rezultat preveri z aplikacijo.
Opomba: Ko v računalo vneseš podatke pritisni tipko Enter.
Primera
Pravilno!
Poglej si še kakšen namig.
Primera
Rešimo kvadratno enačbo:
Ker pa je je rešitev samo .
Pravilno!
Poglej si še kakšen namig.
Naloge
Izračunaj vsoto členov aritmetičnega zaporedja pri naslednjih podatkih. (Odgovore vnašaj brez presledkov.)
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Pravilno!
Poskusi ponovno.
Naloge
a)
b)
c)
d)
Pravilno!
Poskusi ponovno.
Naloge
Pravilno!
Poskusi ponovno.
Naloge
Pravilno!
Poskusi ponovno.
Naloge
Sešteli smo prvih členov nekega aritmetičnega zaporedja in dobili vsoto . Izračunaj, koliko členov tega zaporedja smo sešteli, če je njegov prvi člen enak , osmi pa .
| Rešitev: |
Sešteli smo členov.
Pravilno!
Poskusi ponovno.
Naloge
Med števili in smo vrinili nekaj števil z vsoto tako, da skupaj z in tvorijo končno aritmetično zaporedje. Števila v desnem stolpcu, ki so vrinjena, dodaj na gumb Rešitev.
Pravilno!
Poskusi ponovno.
Naloge
V aritmetičnem zaporedju z diferenco je vsota in člena enaka Najmanj koliko začetnih členov tega zaporedja moramo sešteti, da dobimo vsoto, večjo od 5000?
| Rešitev: |
Sešteti moramo vsaj začetnih členov tega zaporedja.
Pravilno!
Poskusi ponovno.
Naloge
Pravilno!
Poskusi ponovno.
