»Obleka naredi človeka,« pravi ljudski pregovor. Mali Princ pa dodaja: »Bistvo je očem nevidno.« Obleka zagotovo ne pove veliko o človeku, lahko pa razkrije kakšno njegovo osebnostno lastnost. Podobno kot ljudje se tudi funkcije "oblačijo" v različne oblike funkcijskih predpisov; spomnimo se na primer treh oblik enačbe premice: eksplicitne, implicitne in odsekovne (segmentne). Vsaka od teh oblik nam razkrije kakšno posebno lastnost funkcije, nekatere pa morda tudi prikrije. uporabniki Če želiš, se lahko s spodnjim kvizom dopolnjevanja preizkusiš v poznavanju pomena treh oblik enačbe premice, v nasprotnem primeru pa ponovitev kar preskoči

Preberi spodnje povedi in jih dopolni.

Graf linearne funkcije imenujemo . Presečišče premice z ordinatno osjo in njeno strmino (smerni koeficient) najlažje razberemo iz oblike. Presečišči premice z obema koordinatnima osema takoj odčitamo iz oblike. Pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo nasprotnih koeficientov in z Gaussovo eliminacijsko metodo pa nam pride najbolj prav oblika. Premice, ki so vzporedne z abscisno osjo, nimajo oblike.

Preveri

Prikaži odgovore

Prednosti spošne oblike bomo ponovili z naslednjim kvizom.

Preberi spodnje povedi in jih dopolni.

Strmino naraščanja ali padanja kvadratne funkcije nam v zgornji splošni obliki pove koeficient . Ordinata presečišča parabole z ordinatno osjo je enaka kar koeficientu . Obliko parabole nam določa koeficient , in sicer velja: če je ta koeficient negativen, je teme /najvišja, najnižja/ točka parabole, če pa je pozitiven, je teme točka parabole. Vzporedni premik parabole iz središčne lege (to je lega, v kateri je teme v točki ) tudi vzdolž abscisne osi nam povzroči neničelni koeficient . Če je koeficient , nam vzporedni premik parabole iz središčne lege vzdolž ordinatne osi določa koeficient . Iz splošne oblike tudi takoj razberemo vsa števila, ki so potrebna za izračun , ki jo označimo z .

Preveri

Prikaži odgovore

Z drsniki na spodnji sliki lahko ponoviš še pomen koeficientov in . Ker je pomen koeficienta težje določiti, ga lahko najradovednejši kot neobvezen izziv obravnavate pri zadnjem vprašanju.

Z zgornjo konstrukcijo odgovori na naslednja vprašanja:

1. V apletu postavi drsnika na vrednosti in . Kakšen je funkcijski predpis kvadratne funkcije v tem primeru? Premikaj drsnik za : kakšen je pomen vodilnega koeficienta ? Svojo domnevo o pomenu a preveri še pri drugih vrednostih koeficientov in .
   
   Poglej odgovor
   
   
2. Postavi drsnike na vrednosti in . Premikaj drsnik za . Kakšen pomen ima svobodni člen ? Svojo domnevo o pomenu c preveri še pri drugih vrednostih koeficientov in .
   
   Preveri svoj odgovor
   
   
3. Pri katerih vrednostih parametrov in teme in točka začetne vrednosti sovpadata?
   
   Rešitev
   
   
4. Pri katerih vrednostih parametrov in leži teme nad točko začetne vrednosti ?
   
   Rešitev
   
   
5. Zahtevnejše za radovedne. Ponovno postavi drsnika na vrednosti in . Premikaj drsnik za . Ali lahko kaj poveš o pomenu koeficienta ? Ali vpliva na premik parabole zgolj vzdolž osi oziroma vzdolž osi , ali je njegov vpliv bolj zapleten?
   
   Rešitev
   
   

Preberi spodnje povedi in jih dopolni. Iz temenske oblike kvadratne funkcije lahko takoj odčitamo koordinate ekstremne (najvišje ali najnižje) točke na paraboli, ki jo imenujemo . Pri tem nam absciso temena določa koeficient , ordinato temena pa koeficient . Ali nam koeficient določa presečišče parabole z ordinatno osjo? . Števili in sta tudi komponenti vektorja v ravnini, ki nam določa , s katerim smo dobili našo parabolo iz parabole . V temenski obliki lahko takoj odčitamo tudi enačbo simetrijske osi parabole, ki se glasi .

Preveri

Prikaži odgovore

Z drsniki na spodnji sliki lahko ponoviš pomen parametrov , in .

1. Kako vpliva parameter na lego parabole?
   
   Odgovor najdeš tukaj
   
   
2. Kako vpliva parameter na lego parabole?
   
   Preveri rešitev
   
   
3. Pri katerih vrednostih parametrov , in parabola seka abscisno os v natanko dveh točkah?
   
   Odgovor
   
   

Ko smo v prejšnji enoti risali graf funkcije, sta nas zanimali tudi ničli kvadratne funkcije. Recimo v primeru funkcije sta to in , ki smo ju odčitali iz razcepa . V resnici torej že poznamo tudi tretjo obliko enačbe kvadratne funkcije.

Prednost faktorizirane oblike je seveda v tem, da iz nje takoj odčitamo ničli kvadratne funkcije.

V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj zgledov uporabe posameznih oblik in ob vsakem poskusili premisliti, katera oblika enačbe kvadratne funkcije bo za reševanje najprimernejša.

Zgled 1

Napiši enačbo kvadratne funkcije, katere graf poteka skozi točke , in . Katero izmed treh oblik je najsmotrneje uporabiti?

Preveri svoj odgovor

Zgled 2

Zapiši enačbo kvadratne funkcije, ki ima ničli in ter njen graf poteka skozi točko .

Preveri svoj odgovor

Zgled 3

Določi enačbo parabole na sliki.

Preveri svoj odgovor

Naloga 1

Zapiši predpis kvadratne funkcije v temenski obliki in obliki z ničlama ter nariši njen graf.

Preveri svoj odgovor

Naloga 2

Določi predpis kvadratne funkcije, če njen graf vsebuje točke:

a), in ,

Preveri svoj odgovor

b) in .

Preveri svoj odgovor

Naloga 3

Parabola s temenom poteka skozi točko . Zapiši njeno enačbo v temenski obliki in določi presečišče z ordinatno osjo.

Preveri svoj odgovor

Naloga 4

Nariši graf funkcije

Preveri svoj odgovor

Naloga 5

Enačbo parabole v nekaterih primerih zapišemo tudi v obliki , kjer imenujemo parameter parabole, in pa sta koordinati temena . Naj bo v nadaljevanju teme v točki , torej imamo enačbo .

a) Zapiši prejšnjo enačbo v splošni obliki in določi koeficiente , in .

Preveri svoj odgovor

b) Paraboli določi parameter in jo nariši.

Preveri svoj odgovor

c) Premico imenujemo vodnica parabole, točko pa gorišče parabole. Določi enačbo vodnice in koordinati gorišča parabole iz primera (b) ter oboje nariši v isti koordinatni sistem kot prej.

Preveri svoj odgovor

d) Izberi si poljubno točko na paraboli iz primera (b) in (z ravnilom) primerjaj razdalji od točke do gorišča in od točke do vodnice. Kaj opaziš? Svojo ugotovitev preveri še na nekaj poljubnih točkah parabole.

Preveri svoj odgovor