Ogledali si bomo dva pristopa k vpeljavi deljenja: pri prvem pristopu si bomo pomagali z izkušnjami racionalizacije ulomkov, pri drugem pristopu pa si bomo pomagali z množenjem in obratno vrednostjo kompleksnega števila. Seveda pa gre v obeh primerih samo za dva različna pogleda na popolnoma isto stvar.
Deljenje kompleksnih števil
Deljenje kompleksnih števil
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Spoznavanje osnovnih lastnosti kompleksnih števil bomo sklenili z računsko operacijo deljenja: pri deljenju dveh kompleksnih števil moramo spet dobiti kompleksno število.
Uvod
Vpeljava deljenja - 1. pristop
Za lažje razumevanje deljenja se bomo najprej nekoliko vrnili k zapisu ulomkov, pri katerih kvadratni koren nastopa v imenovalcu:
Ali smo bili zadovoljni z zgornjima zapisoma ulomkov? Kaj smo ob takšnih zapisih naredili?
| Odgovor |
Z zgornjima zapisoma nismo zadovoljni, saj ulomka nista racionalizirana: običajno želimo iz imenovalcev odpraviti kvadratne korene, saj nam to omogoča lažje računanje z ulomki in hitrejšo grafično ponazoritev kvadratnega korena na realni osi. Ulomka zato racionaliziramo. V primerih, ko je kvadratni koren sam v imenovalcu, ga iz imenovalca z lahkoto odpravimo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z njim (prvi primer). V primerih pa, ko kvadratni koren v imenovalcu nastopa kot člen vsote ali razlike, si pomagamo z uporabo zveze (a−b)(a+b)=a2−b2 (ki nam koren prav tako odpravi s kvadriranjem Obratna vrednost in deljenje kompleksnih števil glej drugi primer):
Kako odpraviti v imenovalcu ulomka?
Poskusimo sedaj izračunati .
Očitno imamo deljenje, ki ga še nismo spoznali. A to ni nič hudega, saj si bomo poskusili pomagati z dosedanjimi izkušnjami: preoblikujmo zgornji zapis v obliko ulomka. Smo pred podobnim problemom, kot smo bili pri korenih v imenovalcu: če v imenovalcu ulomka odpravimo število in v njem dobimo zgolj neko realno število, bomo lahko ulomek razdružili in ga zapisali v obliki vsote ali razlike realnega in imaginarnega dela nekega kompleksnega števila in s tem bomo seveda našo nalogo rešili. Oglejmo si torej zapis, ki ga želimo dobiti:
iz zapisa
v zapis
Ključno vprašanje naloge: Kako odpraviti število iz imenovalca?
Ideja: Tako kot nam je kvadriranje odpravilo kvadratni koren, tako nam lahko kvadriranje odpravi imaginarno enoto , saj je !
Od te ugotovitve do konca naloge pa je samo še majhen korak: ne smemo "pridelati" nobenega novega člena, ki bi vseboval , zato po analogiji spet pomislimo na formulo . In res deluje:
Če naš postopek deljenja in ugotovitev zapišemo še s splošnimi simboli, dobimo:
Deljenje kompleksnih števil in , kjer je , lahko izvedemo kot
Zgled
Naloga: Poišči obratno vrednost števila .
Rešitev: Obratna vrednost števila je število , ki ga lahko zapišemo tudi v obliki ulomka in izračunamo po postopku opisanem na prejšnji prosojnici:
Vpeljava deljenja - 2. pristop
Tako kot lahko gledamo na razliko kot na prištevanje nasprotne vrednosti števila k številu , torej , lahko na deljenje gledamo kot na množenje števila z obratno vrednostjo števila , torej . Zato bomo najprej spoznali obratno vrednost kompleksnega števila , nato pa izvedli operacijo množenja, ki jo že poznamo.
Ponovi o obratni vrednosti
Kaj velja za obratno vrednost (realnega, kompleksnega) števila ?
| Odgovor |
Zanima nas, kakšne oblike je obratna vrednost kompleksnega števila z oziroma kako jo izračunati. Pri izpeljavi si bomo pomagali z absolutno vrednostjo kompleksnega števila:
Ideja: Če nam uspe iz te enakosti nekako dobiti zvezo , bomo lahko iz nje razbrali število .
Z nekaj razmišljanja ugotovimo, da lahko na levi strani enakosti dobimo , če obe strani pomnožimo z :
Od tod pa se kar zasveti naš odgovor:
Povzemimo našo ugotovitev:
Obratno vrednost neničelnega kompleksnega števila z označimo z in jo izračunamo kot
Od tukaj do vpeljave deljenja pa je le še en korak.
Obratna vrednost števila z je tako število , da je . Na primer: obratna vrednost števila je število , saj je . Obratno vrednost imajo vsa števila razen števila .
Deljenje kompleksnih števil in
Deljenje kompleksnih števil in , kjer je , vpeljemo kot
Ta formula je seveda popolnoma identična formuli, ki smo jo izpeljali pri 1. pristopu.
Premisli:
Za katera kompleksna števila z velja:
(a)
(b)
| Odgovor |
(a) Nalogo lahko rešimo na več načinov. Pogosto takšne enačbe rešujemo analitično z vpeljavo oznake , vendar jo bomo mi tokrat rešili s premislekom. Ker v splošnem velja
lahko iz pogoja naše naloge razberemo, da je
kar nam da pogoj oziroma (zakaj?). Za množico vseh z lastnostjo pa vemo, da so to števila, ki ležijo na enotski krožnici v kompleksni ravnini (krožnica s središčem v in polmerom ).
(b) Tokrat bomo uporabili analitični pristop: naj bo ; potem se naš pogoj glasi , od koder dobimo:
s primerjavo kompleksnih števil na levi in desni strani enakosti pa dobimo enačbi
Iz druge enačbe sledi ali . Če je , dobimo prvo enačbo , ki ni rešljiva za realne . Če pa je , dobimo prvo enačbo in od tod ali . Rešitvi sta torej in .
Geometrijska predstavitev deljenja - zahtevnejše
Podobno kot pri množenju kompleksnih števil tudi tukaj velja, da lahko geometrijski pomen deljenja najbolje razberemo iz posebne oblike zapisa kompleksnih števil −polarni zapis, ki ga bomo spoznali v zadnjem poglavju (kot dodatno vsebino).
Kljub temu si lahko postavimo naslednji izziv: s pomočjo premikanja točk in in opazovanja podatkov za absolutno vrednost delitelja in deljenca ter naklonskih kotov njunih krajevnih vektorjev poišči zvezo med absolutnimi vrednostmi in naklonskimi koti krajevnih vektorjev deljenca , delitelja in kvocienta . Kaj opaziš?
|
| Riš datoteka |
| Odgovor |
Absolutna vrednost kvocienta je enaka kvocientu absolutnih vrednosti števil in , naklonski kot krajevnega vektorja kvocienta pa je enak razliki naklonskih kotov krajevnih vektorjev in .
Naloga 1
Naj bosta in kompleksni števili. Zapiši formulo za deljenje , izraženo s koeficienti , , in .
| Odgovor |
Naloga 2
Pravilno
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Naloga 3
Pravilno
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Naloga 4
Pokaži, da za kompleksni števili , pri čemer ni 0, velja:
a) ,
b)
Opomba: Drugo zvezo si odkril že pri geometrijski ponazoritvi deljenja kompleksnih števil, sedaj pa jo boš še dokazal.
| Odgovor |
Poračunamo levo in desno stran enakosti in ju primerjamo:
a)
b)
Rezultati
