Maturitetna pola OR - 28. avgust 2007

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Maturitetna pola OR - 28. avgust 2007

Avtor: Skupina NAUK

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

1. naloga

V koordinatni sistem narišite množico točk , ki ustreza pogojema in . Osenčite nastali lik in izračunajte njegovo ploščino.

Kako začeti?

Nalogo rešimo postopoma. Najprej narišemo množico točk, ki ustreza pogoju . Poglej sliko

Kako naprej?

Nato narišimo še drugo množico točk, ki ustreza pogoju . Poglej sliko

Že poznaš rešitev?

In končno, množica točk, ki ustreza obema je presek prve in druge množice.

Poglej sliko in rezultat

Nastali lik je pravokotnik, njegova ploščina je produkt dolžin obeh stranic. Dolžini stranic preberemo iz slike. Tako je ploščina lika: = = .

Preveri Ocenjevanje

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

01. Skupaj: 7 točk

Narisani premici in oziroma stranici	......................	(1+1) 2 točki
Narisani premici in oziroma stranici	......................	(1+1) 2 točki
Označen presek (pravokotnik)	......................	(*1+1) 2 točki
Izračunana ploščina	......................	1 točka

2. naloga

V enakokrakem trikotniku so dolžine stranic , . Izračunajte ploščino trikotnika in kot . Zapišite natančno vrednost ploščine, kot pa zaokrožite na stotinko stopinje.

Kako začeti?

Najprej narišemo skico trikotnika. Narišemo tudi višino na osnovnico, ki osnovnico razpolavlja.

Nato izračunamo višino na stranico , ki jo potrebujemo za izračun ploščine in kota . Izračunamo jo s pomočjo Pitagorovega izreka:

.

Izrazimo višino

,

vstavimo podatke in dobimo:

Preveri poznamo, izračunajmo še S in

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

2. naloga

Ploščino trikotnika izračunamo po znanem obrazcu

Izračunajmo še kot . Izrazimo ga s pomočjo kotne funkcije sinus:

.

Kot dobimo s pomočjo inverzne funkcije:

Preveri Ocenjevanje

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Ploščino trikotnika izračunamo po znanem obrazcu .

Kot dobimo s pomočjo inverzne funkcije .

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

02. Skupaj: 6 točk

Izračunana ploščina	......................	(1+1) 3 točke
(Izračunana višina ali polovični obseg ... 1 točka,
formula za ploščino ali Heronov obrazec ... 1 točka)
Izračunan kot	......................	3 točke
(zveza, npr. ali ... 1 točka,
izračun, npr. ... 1 točka)

Če kandidat nikjer ne zapiše ustreznih enot, izgubi v celoti točko.

3. naloga

Izračunajte odvode funkcij:

,
,
.

Najprej izračunajmo odvod funkcije

Fukncijo lahko zapišemo v obliki:

in odvajamo po pravilu za odvod potenčne funkcije

Dobimo

Preveri Sedaj izračunajmo odvod funkcije

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Fukncijo lahko zapišemo v obliki ,

in odvajamo po pravilu za odvod potenčne funkcije .

Dobimo .

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

3. naloga

Izračunajmo odvod funkcije .

Odvajamo po pravilu za odvod produkta

in dobimo

Preveri Izračunajmo še odvod funkcije

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Odvajamo po pravilu za odvod produkta ,

in dobimo .

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

3. naloga

Izračunajmo odvod funkcije .

Pri tem primeru gre za odvod kvocienta, zato si pomagamo s formulo

in dobimo

Preveri Ocenjevanje

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

V tem primeru gre za odvod kvocienta, zato si pomagamo s formulo ,

in dobimo .

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

03. Skupaj: 8 točk

Izračunan odvod, npr.	......................	2 točki
(Le zapis ... 1 točka)
Izračun odvoda, npr.	......................	(1+1+1) 3 točke
(Le formula za odvod produkta ... 1 točka)
Izračunan in poenostavljen odvod	......................	(1+1+1) 3 točke
(Le formula za odvod kvocienta ... 1 točka)

4. naloga

V kompleksni ravnini nariši sliko kompleksnega števila . Koliko je absolutna vrednost tega kompleksnega števila? Izračunajte in .

Najprej narišimo sliko kompleksnega števila

Kompleksna ravnina sestavlja realno os , ki je vodoravna in imaginarno os , ki je navpična. Koordinati preberemo iz zapisa kompleksnega števila, ki je ponavadi v obliki:

kjer je realna komponenta, pa imaginarna pa število.

V našem primeru je število , torej = in = .

Preveri Slika kompleksnega števila

Kompleksno število lahko prikažemo na dva načina.

**1. način**

**2. način**

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

V našem primeru je število , torej = 2 in = -3.

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

04. Skupaj: 7 točk

Slika kompleksnega števila	......................	1 točka
Absolutna vrednost je	......................	(*1+1) 2 točki
Izračunano število , npr.	......................	(1+1) 2 točki
Izračunano število ali	......................	(1+1) 2 točki
(Razširjanje s konjugirano vrednostjo ... 1 točka)

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Absolutna vrednost kompleksnega števila je .

Kvadrat kompleksnega števila je .

Obratna vrednost kompleksnega števila je .

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

Namig

Upoštevaj, da je (definicija števila ).

Namig

Obratna vrednost števila je .

Če hočemo to zapisati v obliki

,

se moramo znebiti imaginarne komponente v ulomku. To se zgodi, če razširimo ulomek s konjugiranim številom danega kompleksnega števila. Konjugirani kompleksni števili se razlikujeta zgolj v imaginarni komponenti. Konjugirani kompleksni števili sta npr. in.

5. naloga

Graf kvadratne funkcije poteka skozi točke , in . Izračunajte števila , in ter zapišite predpis funkcije .

Rešitev

05. Skupaj: 6 točk

Zapisan sistem treh enačb s tremi neznankami, npr.


	......................	(1+1+1) 3 točke
Izračunana in	......................	(1+1) 2 točki
(Kandidat, ki je začel reševati sistem s pravilno metodo,
a je zaradi računskih napak dobil napačen rezultat, dobi točko.)
Zapisan predpis	......................	1 točka

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Predpis za funkcijo je .

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

Pomoč

Iz druge enačbe vidimo, da je . Vstavimo to vrednost v prvo in tretjo enačbo in dobimo:

.

Sedaj se želimo "znebiti" ene od neznank, recimo -ja. Seštejemo enačbi


+
	.

Iz tega sledi . To rešitev vstavimo v eno od zgornjih enačb, recimo

in dobimo oz. .

6. naloga

V dani koordinatni sistem narišite hiperbolo (narišite tudi asimptoti). Izračunajte in zapišite presečišči hiperbole in premice .

Pomoč Rešitev

Enačbo dane hiperbole najprej delimo s .

Vidimo, da je , torej in , torej . , torej

Temeni hiperbole sta tako:	, ,	, .
Gorišči parabole sta:	,	.
Enačbi asimptot:	.

Preveri

Sedaj lahko narišemo graf hiperbole

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Temeni hiperbole sta tako:	,	.
Gorišči parabole sta:	,
Enačbi asimptot:

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

Pomoč

Enačba hiperbole s središčem ima obliko:

.

Število je realna polos hiperbole, število pa imaginarna polos hiperbole. Temeni hiperbole sta točki , , premici pa asimptoti hiperbole. Gorišči hiperbole sta točki in , kjer velja za

.

6. naloga

Izračunajmo še presečišči hiperbole in premice

Presečišče s premico dobimo tako, da v enačbo hiperbole namesto spremenljivke vstavimo enakost, ki velja za premico, torej . Dobimo:

Presečišči sta:

, ,

Pomoč

Preveri Ocenjevanje

06. Skupaj: 8 točk

Narisana hiperbola ( in , asimptoti, obe veji)	......................	(1+1+1) 3 točke
Nastavek za izračun presečišč, npr.	......................	1 točka
Ureditev do kvadratne enačbe	......................	1 točka
Izračun abscis presečišč in	......................	*1 točka
Izračun ordinat in zapis presečišč in	......................	(*1+1) 2 točki

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Presečišči hiperbole in premice sta: ,

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

Pomoč

Malo bolj vešči razstavimo po Vietovem pravilu, ostali si pomagajte z enačbo za ničli kvadratne funkcije.

1. način:
	,

2. način:

Hiperbola in premica imata 2 presečišči, izračunati moramo še in .

Vstavimo in potem še v enačbo premice

Presečišči hiperbole in premice sta: in

7. naloga

Rešite enačbo .

Rešitev

Eden od nčinov je, da zapišemo izraz na desni strani enačbe v obliki .

.

Logaritma imata enako osnovo, zato morata biti logaritmanda enaka, če naj bo leva stran enačbe enaka desni.

Dobimo kvadratno enačbo, katere rešitvi sta = in = .	Pomoč
Ali sta obe rešitvi ustrezni?	Več

Preveri Ocenjevanje

07. Skupaj: 5 točk

Upoštevanje definicije logaritma, npr.	......................	2 točki
Rešitvi kvadratne enačbe in	......................	(1+1) 2 točki
Samo formula za reševanje kvadratne enačbe ali razcep ... 1 točka)
Rešitev (ali izločitev rešitve )	......................	*1 točka

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Dobimo kvadratno enačbo, katere rešitvi sta in .

Obe rešitvi nista ustrezni. Prva rešitev je ustrezna, druga pa ne, saj pomeni negativno osnovo logaritma.

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

Pomoč

Ker rešujemo logaritemsko enačbo, moramo preveriti ustreznost rešitev. Pri logaritmu pazimo, da niti logaritmand (tisto, kar "pride za logaritmom") niti osnova nista negativna, saj takrat logaritemska funkcija ni smiselna. Prva rešitev je ustrezna, druga pa ne, saj pomeni negativno osnovo logaritma.

8. naloga

V aritmetičnem zaporedju , , , , , ... Izračunajte , , , in vsoto prvih členov.

Rešitev

Podana imamo dva člena artimetičnega zaporedja in . V aritmetičnem zaporedju je razlika poljubnih sosednjih členov konstantna, to razliko imenujemo diferenca , pri čemer . Vemo tudi, da je v aritmetičnem zaporedju vsak člen (razen prvega) aritmetična sredina sosednjih dveh členov. Tako lahko izračunamo četrti člen = .

Vidimo ali izračunamo diferenco (razliko) zaporedja . Tako lahko zapišemo še prvi in drugi člen zaporedja = in = .

S pomočjo formule za poljubni poljubni člen aritmetičnega zaporedja izračunamo = .

Vsoto poljubnega števila členov aritmetičnega zaporedja zapišemo kot: ali . Ker poznamo prvi () in zadnji člen () uporabimo prvo formulo in dobimo = .

Preveri Ocenjevanje

08. Skupaj: 8 točk

Zapisana ali uporabljena diferenca	......................	1 točka
Izračunani členi , in	......................	(1+1+1) 3 točke
Izračunan člen	......................	2 točki
Le formula za splošni člen ... 1 točka)
Izračunana vsota	......................	2 točki
Le formula za vsoto členov ... 1 točka)

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

9. naloga

Pokažite, da je za vsak vrednost izraza enaka .

Rešitev

Izraz preoblikujemo s pomočjo formule za dvojni kot

in adicijskega izreka

.

		Več

S tem smo dokazali, da je vrednost izraza, za poljubno vrednost spremeljivke , enaka .
Ocenjevanje

Upoštevamo, da je .

09. Skupaj: 5 točk

Upoštevana zveza	......................	1 točka
Upoštevan adicijski izrek
	......................	1 točka
Upoštevani vrednosti	......................	1 točka
Rezultat, npr. vrednost izraza je	......................	2 točki
Pravilno kvadriranje ... *1 točka)
Uporabljena zveza ... 1 točka)

10. naloga

V posodi so modre in rumenih kroglic. Iz posode na slepo izvlečemo kroglici. Izračunajte verjetnost, da sta tako dobljeni kroglici enake barve.

Rešitev

Verjetnost dogodka izračunamo kot kvocient števila za dogodek ugodnih izidov z vsemi možnimi izidi.

Najprej definiramo za dogodek ugoden izid. Dobimo, da = .	Namig
Vseh možnih načinov, na katere lahko naključno potegnemo kroglici od -ih, je = .	Namig

Verjetnost dogodka , da bomo izbrali dve kroglici istih barv je

Preveri Ocenjevanje

10. Skupaj: 6 točk

Vseh izidov v tem poskusu je	......................	(1+1) 2 točki


1. način
Ugodnih izidov je	......................	(1+1+1) 3 točke
Če kandidat zmnoži [namesto sešteje] prava binomska simbola ... 1 točka)
Verjetnost dogodka je	......................	1 točka


2. način
Ugodnih izidov za nasprotni dogodek je npr.	......................	(1+1) 2 točki
Verjetnost dogodka je	......................	(*1+1) 2 točki

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

To je izid, pri katerem povlečemo modri in rumeni kroglici.

Če povlečemo modri kroglici od -ih, pri čemer kroglice niso oštevilčene, gre za kombinacije:

.

Če povlečemo rumeni kroglici od -ih, pri čemer kroglice niso oštevilčene, gre za kombinacije: .

Ker izid nista povezana (povlečemo modri ali rumeni), je potrebno število načinov za oba izida sešteti:

Vseh možnih načinov, na katere lahko naključno potegnemo kroglici od -ih, je

11. naloga

Dan je vektor . Izračunajte točno dolžino vektorja . Zapišite komponenti vektorja , če je in .

Rešitev

Formula za dolžino vektorja , katerega koordinate poznamo, ni težavna:

.

Vstavimo vrednosti za vektor in dobimo dolžino vektorja :

Nekoliko daljša je pot do komponent vektorja . Potek si oglej Tukaj.

Dobimo, da sta koordinati vektorja :

Preveri Ocenjevanje

11. Skupaj: 8 točk

Zapis ali uporaba formule za dolžino vektorja	......................	1 točka
Dolžina vektorja , npr.	......................	1 točka


1. način
Zapisana enačba, npr.	......................	1 točka
Upoštevanje skalarnega produkta, npr.	......................	(*1+1) 2 točki
(Uporaba formule za skalarni produkt ... *1 točka)
Pravilna usmeritev v reševanje sistema enačb,
npr. zapis enačbe z eno neznanko, in rešitev , oz.	......................	(*1+1+1) 3 točke


2. način
Zapis enčabe	......................	2 točki
Izračunan	......................	1 točka
Izračunan	......................	1 točka
Rezultat	......................	(1+1) 2 točki

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

Iščemo še koordinati vektorja , zapišemo ga z neznanimi koordinatami , pri čemer bomo računali in .

Izkoristimo enačbo za skalarni produkt dveh vektorjev:

in
.

V tem primeru velja . Iz prve naloge pa vemo, da je . Iz obeh enačb preberemo:

, iz česar sledi .

Poznamo pa tudi dolžino vektorja . Če to izrazimo z enačbo za dolžino vektorja, dobimo:

. Obe strani enačbe kvadriramo in dobimo

.

Dobili smo dve enačbi, ki povezujeta in koordinati vektorja :

,
.

Zgornjo enačbo vstavimo v spodnjo in uredimo enačbo.

Rešitvi sta enaki: . To rešitev vstavimo v eno od zgornjih enačb, npr. , in že imamo koordinati in vektorja .

12. naloga

Število zapišite v obliki okrajšanega ulomka. Za dano število izračunajte vrednost izraza . Rezultat zapišite v obliki okrajšanega ulomka. Nalogo rešite brez uporabe žepnega računala.

Rešitev

Enačbo pomnožimo s 100 in dobimo

Če od te enačbe odštejemo prvotno, se periodični decimalni del odšteje.


-

Iz tega sledi, da

Izračunajmo še vrednost izraza za . Dobimo Pomoč

Preveri Ocenjevanje

12. Skupaj: 6 točk

Izračun	......................	3 točke
(Postopek ... *1 točka)
(Neokrajšan rezultat ... 1 točka)


1. način
Zapis	......................	*1 točka
Odštevanje	......................	*1 točka
Izračun	......................	1 točka


2. način
Upoštevanje ali	......................	1 točka
Zapis	......................	1 točka
Vstavitev in izračunana vrednost	......................	1 točka