Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Geometrijsko zaporedje

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

http://www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Uvod

Primer:

V drevesnici smo kupili mlado drevo z dvema vejama. Iz vsake od njiju bosta naslednje leto pognali dve novi veji, čez dve leti pa iz vsake od novih vej zopet dve veji. Poglej koliko novih vej bo na drevesu čez $3$ leta.

Razmisli koliko novih vej bo pognalo na našem drevesu čez šest let. V pomoč ti naj bo spodnja animacija.

Vidimo, da se število novih vej vsako leto podvoji, kar pomeni, da je kvocient števila vej med dvema sosednjima letoma vedno enak.

To lastnost imajo vsa geometrijska zaporedja.

Zaporedje je geometrijsko, če je kvocient dveh sosednjih $\mathbb{\frac{a_{n+1}}{a_n}}$ členov konstanten.

Ta kvocient označujemo s $\mathbf{k}$ .

Za vsak $n \in \mathbb{N}$ torej velja, da je

$\mathbf{\frac{a_{n+1}}{a_n}=k}$ oz. $\mathbf{a_{n+1}=a_n \cdot k}$

Vsak naslednji člen geometrijskega zaporedja dobimo tako, da prejšnjega pomnožimo s količnikom.

Novo Zaporedje

Novo zaporedje

Novo Zaporedje

Novo zaporedje

Novo Zaporedje

Novo zaporedje

Novo Zaporedje

Novo zaporedje

Novo Zaporedje

Novo zaporedje

Poskusi sam

Pet števil iz desnega stolpca premakni v levi stolpec tako, da bo nastalo petčleno naraščajoče geometrijsko zaporedje. S pritiskom na gumb "Novo zaporedje" se vsakič generirajo nova števila. Vajo ponovi vsaj trikrat.

$a_n$

$a_{n+1}$

$a_{n+2}$

$a_{n+3}$

$a_{n+4}$

Počisti

21

63

189

567

1701

Preveri

Novo zaporedje

Pravilno!

Napačno.

Poskusi sam

Pet števil iz desnega stolpca premakni v levi stolpec tako, da bo nastalo petčleno naraščajoče geometrijsko zaporedje. S pritiskom na gumb "Novo zaporedje" se vsakič generirajo nova števila. Vajo ponovi vsaj trikrat.

$a_n$

$a_{n+1}$

$a_{n+2}$

$a_{n+3}$

$a_{n+4}$

Počisti

21

3

24

192

1536

27

55

Preveri

Novo zaporedje

Pravilno!

Napačno.

Poskusi sam

Pet števil iz desnega stolpca premakni v levi stolpec tako, da bo nastalo petčleno naraščajoče geometrijsko zaporedje. S pritiskom na gumb "Novo zaporedje" se vsakič generirajo nova števila. Vajo ponovi vsaj trikrat.

$a_n$

$a_{n+1}$

$a_{n+2}$

$a_{n+3}$

$a_{n+4}$

Počisti

24

48

92

184

368

9

3

Preveri

Novo zaporedje

Pravilno!

Napačno.

Poskusi sam

Pet števil iz desnega stolpca premakni v levi stolpec tako, da bo nastalo petčleno naraščajoče geometrijsko zaporedje. S pritiskom na gumb "Novo zaporedje" se vsakič generirajo nova števila. Vajo ponovi vsaj trikrat.

$a_n$

$a_{n+1}$

$a_{n+2}$

$a_{n+3}$

$a_{n+4}$

Počisti

2

6

12

24

48

9

3

Preveri

Novo zaporedje

Pravilno!

Napačno.

Poskusi sam

Pet števil iz desnega stolpca premakni v levi stolpec tako, da bo nastalo petčleno naraščajoče geometrijsko zaporedje. S pritiskom na gumb "Novo zaporedje" se vsakič generirajo nova števila. Vajo ponovi vsaj trikrat.

$a_n$

$a_{n+1}$

$a_{n+2}$

$a_{n+3}$

$a_{n+4}$

Počisti

7

35

175

875

4375

1324

226

Preveri

Novo zaporedje

Pravilno!

Napačno.

Splošni člen geometrijskega zaporedja

Vemo že, da vsak naslednji člen geometrijskega zaporedja dobimo tako, da prejšnjega pomnožimo s količnikom. Sedaj pa razmislimo ali nam za izračun poljubnega člena geometrijskega zaporedja zadostujeta le prvi člen in količnik.

Če si pozorno sledil zgornji animaciji si prišel do naslednjega zaključka:

Splošni člen geometrijskega zaporedja je podan s formulo:

$\mathbb{a_n=a_1 \cdot k^{n-1}}$

Naprej Nazaj

Naloga

Dano je geometrijsko zaporedje $-\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, -3, \dots$ Izračunaj trinajsti člen tega zaporedja.

Preveri

Rešitev:

Namig

Izračunamo lahko količnik kot kvocient drugega in prvega člena (lahko tudi kot kvocient tretjega in drugega člena): $k=\frac{a_2}{a_1}= \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{4}}=-2$

Uprabimo formulo: $a_n=a_1 \cdot k^{n-1}$
$a_{13}=a_1 \cdot k^{12}$ $a_{13}=-\frac{3}{4} \cdot (-2)^{12}$ $a_{13}=-\frac{3}{4} \cdot 4096$

Pravilno!

Naprej

Narobe

Poglej si še kakšen namig.

Računalo

Spodaj vidiš računalo, ki izračuna poljuben člen geometrijskega zaporedja.

Sedaj pa poskusi sam izračunati poljuben člen geometrijskega zaporedja z izbranim prvim členom in količnikom. Svoj rezultat preveri s pomočjo spodnjega programa.

Program izračuna $n$ -ti člen geometrijskega zaporedja pri podanem prvem členu $(a_1)$ , količniku $(k)$ in številu $n$ . Namesto decimalne vejice uporabi decimalno piko. Ko vneseš vse vrednosti, pritisni enter.

$a_1=$
$k=$
$n=$
$a_n=$

Naprej Nazaj

Geometrijsko zaporedje in geometrijska sredina

Geometrijska sredina števil $a$ in $b$ je število $\sqrt{a \cdot b}$ . Vzemimo geometrijsko zaporedje z začetnim členom $3$ in količnikom $2$ ter zapišimo nekaj njegovih začetnih členov. Pobliže si oglejmo četrti člen zaporedja, ki je enak $24$ in opazujmo kolikšna je geometrijska sredina njemu simetrično ležečih členov:

Naj bo $a_n \neq a_1$ poljuben člen geometrijskega zaporedja. Izračunajmo geometrijsko sredino njegovega predhodnika in naslednika:

$\sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}=\sqrt{a_{1} \cdot k^{n-2} \cdot a_{n+1}} \cdot k^n=\sqrt{a_{1}^2 \cdot k^{n-1}}=a_n$

Pomni!

Poljuben člen geometrijskega zaporedja an ? a1 je enak geometrijski sredini njegovega predhodnika in naslednika $a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$

Vprašajmo se, ali bi prišli do istega rezultata, če bi od $n$ -tega člena šli za k mest v levo in desno ter izračunali geometrijsko sredino $a_{nâ€“k}$ -tega in $a_{n+k}$ -tega člena.

Naprej Nazaj Odgovor

Odgovor

Najprej si izpišimo oba člena:

$a_{n-k}=a_1 \cdot k^{n-k-1}$ $a_{n+k}=a_1 \cdot k^{n+k-1}$

Sedaj izračunajmo njuno geometrijsko sredino:

$\sqrt{a_{n-k} \cdot a_{n+k}}=\sqrt{a_{1} \cdot k^{n-k-1} \cdot a_{1}} \cdot k^{n+k-1}=\sqrt{a_{1}^2 \cdot k^{2n-2}}=a_1 \cdot k^{n-1}=a_n$

Tako smo prišli do še enega pomembnega dejstva:

Pomni!

V geometrijskem zaporedju za poljubni naravni števili $n$ in $k$ , kjer je $n > k$ velja:

$a_n=\sqrt{a_{n-k} \cdot a_{n+k}}$

Naprej Nazaj

1. primer

Poišči $x$ , da bo zaporedje s členi $xâ€“1$ , $x+3$ , $2x$ geometrijsko.

Rešitev:

Preveri

Namig

$x+3= \sqrt{(x-1)\cdot2x}$
$(x+3)^2= (x-1)\cdot2x$
$x^2-8x-9=0$
$(x+1)(x-9)=0$

Pravilno!

Naprej

Narobe

Poglej si še kakšen namig.

2. primer

Katera izmed danih zaporedij predstavljata zapis prejšnjega zaporedja?

$-2, 2, -2, \dots$

$8, 12, 18, \dots$

$2, 4, 6, \dots$

$3, 15, 75, \dots$

Preveri

Pravilno!

Naprej

Napačno

Pravilno si izbral od 2 pravilnih odgovorov.

Pomagaj si z rešitvijo pri predhodnem primeru in poskusi ponovno.

Predhodni primer

Tega ti ne priporočam, ker boš pri naslednji nalogi to rešitev potreboval.

Vseeno preskoči primer

Zveza med poljubnima členoma geometrijskega zaporedja

Vrnimo se na zgornji primer zaporedja s prvim členom $3$ in količnikom $2$ ter ugotovimo zvezo med tretjim in sedmim členom našega zaporedja:

Poiščimo zvezo med $m$ -tim in $n$ -tim členom geometrijskega zaporedja.

Izpeljava povezave

Pomni!

V geometrijskem zaporedju za poljubni naravni števili $n$ in $m$ velja enakost $a_n=a_m \cdot k^{n-m}$

Naprej

Iskanje povezave

Najprej vsakega posebej izračunajmo.

$a_n=a_1 \cdot k^{n-1}$ $a_m=a_1 \cdot k^{m-1}$

Sedaj pa enega delimo z drugim, okrajšamo ulomek in poenostavimo enakost.

$\frac{a_n}{a_m}=\frac{a_1 \cdot k^{n-1}}{a_1 \cdot k^{m-1}}$
$\frac{a_n}{a_m}=k^{n-m}$
$a_n=a_m \cdot k^{n-m}$

Tako smo dobili zvezo med poljubnima členoma geometrijskega zaporedja.

Primer

Poišči količnik in slošni člen geometrijskega zaporedja, če je $a_4=5$ in $a_7=\frac{64}{25}$

Izberi pravilen količnik:

$k=\frac{4}{5}$

$k=3$

$k=\frac{3}{11}$

Izberi pravilen splošni člen:

$a_n=\frac{4^{n-4}}{5^{n-5}}$

$a_n=\frac{5^{n-4}}{4^{n-5}}$

$a_n=\frac{3^{n-2}}{2^{n-3}}$

Preveri

Namig za količnik

Namig za splošni člen

$a_7=a_4 \cdot k^{7-4}$
$\frac{64}{25}=5 \cdot k^3$
$\frac{64}{125}=k^3$

Prvi člen:

$a_4=a_1 \cdot k^{4-1}$
$a_1=\frac{a_4}{k^3}$
$a_1=\frac{625}{64}$

Splošni člen:

$a_n=a_1 \cdot k^{n-1}$
$a_n=\frac{625}{64} \cdot \frac{4}{5}^{n-1}$

Pravilno si uganil splošni člen, narobe pa količnik.

Poglej si še kakšen namig.

Pravilno si uganil količnik, narobe pa splošni člen.

Poglej si še kakšen namig.

Oba odgovora sta napčna.

Pravilno!

ÄŚestitam, oba odgovora sta pravilna.

Interpolacija

Kako med števili $a$ in $b$ vrinemo $m$ členov, da ti (skupaj z $a$ in $b$ ) tvorijo končno geometrijsko zaporedje?

Odgovor Nazaj Naprej

Odgovor

ÄŚe med števili $a$ in $b$ vrinemo $m$ člemov, ima naše zaporedje $m+2$ člena:

Prvi člen novo dobljenega zaporedja je $a$ , $m+2$ . člen pa $b.$

Uporabimo formulo za splošni člen geometrijskega zaporedja in dobimo: $b=a \cdot k^{m+2-1}$ oz.: $b=a \cdot k^{m+1}$ .

Izračunajmo $k$ :

$k^{m+1}=\frac{b}{a}$

ÄŚe je $m$ liho število, dobimo dva $k$ -ja:
$k=\pm \sqrt[m+1]{\frac{b}{a}}$ .

ÄŚe je m sodo število, pa le enega:
$k= \sqrt[m+1]{\frac{b}{a}}$ .

Primer

Med števili $5$ in $405$ vrini tri števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje. Izračunaj vrinjena števila.

Koliko je različnih ustreznih zaporedij?

Rešitev:

Preveri

Namig

Primer

Med števili $5$ in $405$ vrini tri števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje. Izračunaj vrinjena števila.

Zapiši vrinjena števila:

$a_2$ =
$a_3$ =
$a_4$ =

Preveri

Namig

Vrinjena števila so pravilna. Poskusi najti še eno zaporedje, ki je možno. Poskusi Naprej

Narobe

Poglej si še kakšen namig.

Odgovor je napačen. Možni sta dve zaporedji.
Vseeno lahko preveriš, če je zaporedje, ki si ga našel pravilno. Poskusi Naprej

Primer

Med števili $5$ in $405$ vrini tri števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje. Izračunaj vrinjena števila.

Zapiši vrinjena števila:

Vrinjena števila 1. možnega zaporedja:

$a_2$ =
$a_3$ =
$a_4$ =

Vrinjena števila 2. možnega zaporedja:

$a_2$ =
$a_3$ =
$a_4$ =

Preveri

Namig

$a_5=a_1 \cdot k^4$
$k^4=\frac{a_5}{a_1}$
$k^4=81$
$k^4=\pm \sqrt[4]{81}$
$k^4=\pm 3$

Pravilno!

Naprej

Narobe

Poglej si še kakšen namig.

Dodatne naloge

Rešitve

a) $a_n=5 \cdot 3^{n-1}$

b) $a_n = 4^{n-1}$

c) $a_n = 7 \cdot (-2)^{n-1}$

d) $a_n = 486 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ in $a_n = - \frac{243}{2} \cdot (-\frac{4}{3})^{n-1}$

Pravilno!

Naprej

Napačno

Pravilno si odgovoril na od 4 vprašanj.

Dodatne naloge

Rešitve

a) $x=2$

b) $x_1 = 3, x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

c) $x=4$

d) $x= \frac{\pi}{4} + k \pi ; \quad k \in \mathbb{Z}$

Pravilno!

Naprej

Napačno

Pravilno si odgovoril na od 4 vprašanj.

Dodatne naloge

3. naloga

Tretji člen geometrijskega zaporedja je enak $36$ , šesti pa $\frac{9}{2}$ . Izračunaj kateri člen zaporedja je enak $\frac{9}{64}$ Med ponujenimi odgovori izberi pravilnega.

$a_{11}$

$a_6$

$a_8$

$a_23$

Preveri

Rešitve

$a_11 = \frac{9}{64}$

Pravilno!

Naprej

Napačno

Dodatne naloge

4. naloga

Vsota drugega in tretjega člena geometrijskega zaporedja je enaka $48$ , razlika petega in četrtega pa $216$ . Izračunajte prvi člen tega zaporedja.

$4$

$6$

$8$

$23$

Preveri

Rešitve

$a_1 = 4$

Pravilno!

Naprej

Napačno

Dodatne naloge

5. naloga

Tretji člen geometrijskega zaporedja je $99$ , četrti pa $297$ . Izračunaj koliko členov tega zaporedja je manjših od $2 \cdot 10^6$ .

Preveri

Rešitve

Prvih $12$ členov zaporedja je manjših od $2 \cdot 10^6$ .

Pravilno!

Naprej

Napačno

Dodatne naloge

6. naloga

Med števili $8000$ in $\frac{64}{25}$ vrinemo 4 števila tako, da nastane končno geometrijsko zaporedje. Izračunane vrinjene člene poišči v levem stolpcu in jih dodaj na pravo mesto v desnem stolpcu.

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

Počisti

$1600$

$320$

$64$

$\frac{64}{5}$

$\frac{64}{3}$

$\frac{32}{5}$

Preveri

Rešitve

$8000,1600,320,64, \frac{64}{5}, \frac{64}{25}$

a) $a_1=5, k=3$ $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$ $a_n = 4 \cdot 2^{n-1}$ $a_n = 5 \cdot 3^{n-2}$ $a_n = 5 \cdot 3^{n+1}$	b) $a_1=1, k=1024$ $a_n = 3^{n-1}$ $a_n = 2^{n+1}$ $a_n = 2^{2n-1}$ $a_n = 4^{n-1}$
c) $a_3=28, k=-897$ $a_n = 7 \cdot (-2)^{n-1}$ $a_n = 14 \cdot (-2)^{n-1}$ $a_n = 7\cdot (2)^{n-1}$ $a_n = 14\cdot (-2)^{n-2}$	d) $a_3+a_4=72, a_2=162$ $a_n = -\frac{243}{2} \cdot (-\frac{4}{3})^{n-1}$ $a_n = 486 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ $a_n = -\frac{243}{2} \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$ $a_n = 486 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$

a) $3\sqrt{x}, x+4, 3x\sqrt{x}$ $x=2$ $x=3$ $x=6$ $x=1$	b) $\frac{x+1}{x}, x-1, 2x-3$ $x=3$ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ $x=6$
c) $\log_2 x, \log_2 \frac{1}{x^2} , 8 \log_2 \frac{x}{2}$ $x=4$ $x=2$ $x=3$ $x=7$	d) $2 \tan x, \sin (2x) , \cos^2 x$ $x=\frac{\pi}{4}+k\pi;k \in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi}{2}+k\pi;k \in \mathbb{Z}$ $x=\frac{3\pi}{4}+k\pi;k \in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi}{3}+k\pi;k \in \mathbb{Z}$

Geometrijsko zaporedje

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Geometrijsko zaporedje

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Primer:

Novo Zaporedje

Novo Zaporedje

Novo Zaporedje

Novo Zaporedje

Novo Zaporedje

Pravilno!

Napačno.

Pravilno!

Napačno.

Pravilno!

Napačno.

Pravilno!

Napačno.

Pravilno!

Napačno.

Namig

Namig

Narobe

Pomni!

Odgovor

Pomni!

Namig

Narobe

Pravilno!

Napačno

Pomni!

Iskanje povezave

Namig

Namig

Pravilno!

Odgovor

Namig

Namig

Narobe

Namig

Narobe

1. naloga

Rešitve

Pravilno!

Napačno

2. naloga

Rešitve

Pravilno!

Napačno

3. naloga

Rešitve

Pravilno!

Napačno

4. naloga

Rešitve

Pravilno!

Napačno

5. naloga

Rešitve

Pravilno!

Napačno

6. naloga

Rešitve

Pravilno!

Napačno