Pomen diskriminante

Pomen diskriminante

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Učni cilji: Pri računanju koordinat temena parabole smo vpeljali novo količino, ki smo jo poimenovali diskriminanta kvadratne funkcije. Beseda diskriminacija pomeni razločevanje. Že na podlagi imena lahko slutimo, da diskriminanta nekaj razločuje. V nadaljevanju si bomo podrobneje pogledali njeno vlogo pri kvadratni funkciji.

Več o projektu...

Pomen diskriminante D

Pomen in

Ogledali si bomo graf kvadratne funkcije in opazovali vpliv diskriminante na njegovo obliko.

Premislek

Funkcija je natanko določena s podatki , in . V konstrukciji v nadaljevanju pa bomo spreminjali vrednosti podatkov , in . Če torej želimo narisati parabolo , potrebujemo še podatek za . Zakaj že samo podatki , in zadoščajo, da lahko narišemo parabolo? Spomnimo se, da diskriminanto izračunamo po formuli , torej je določena z , in . Od tod lahko brez težav izračunamo manjkajoči koeficient :

Tako imamo vse tri koeficiente , in , ki so potrebni za risanje parabole , in ugotovili smo, da je kvadratna funkcija natanko določena tudi s podatki , in .

Razišči

S spodnjo konstrukcijo boš ponovil pomen vodilnega koeficienta in poskusil odkriti pomen diskriminante . Sledi vprašanjem pod konstrukcijo.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka



S premikanjem drsnikov na zgornji konstrukciji poskusi odgovoriti na naslednja vprašanja:

  1. Nastavi in ter premikaj drsnik . Kako vpliva vrednost na obliko parabole?

    Preveri svoj odgovor

  2. Premikaj drsnike vseh treh količin: , in , in sicer vsakega posebej. Katera izmed teh treh najbolj očitno vpliva na število presečišč parabole z abscisno osjo?

    Preveri svoj odgovor

  3. Kako izračunamo presečišča parabole z abscisno osjo?

    Preveri svoj odgovor

  4. Nastavi in ter premikaj drsnik za . Kako vpliva vrednost diskriminante na število ničel kvadratne funkcije?

    Preveri svoj odgovor

Če je , ima parabola obliko črke . Rečemo tudi, da je izbočena ali konveksna.

Če je , nimamo parabole (ampak premico , ki pa na sliki ni prikazana).

Če je , ima parabola obliko narobe obrnjene črke . Rečemo tudi, da je vbočena ali konkavna.

Na število presečišč parabole z abscisno osjo najbolj očitno vpliva diskriminanta (ta pa je seveda odvisna od , in , kar vidimo iz enačbe zanjo: ).

Presečišča parabole z abscisno osjo dobimo z računanjem ničel kvadratne funkcije (to pa že znamo).

Če je , ima kvadratna funkcija dve ničli oziroma ima parabola dve različni presečišči z abscisno osjo.

Če je , ima kvadratna funkcija eno ničlo oziroma se parabola dotika abscisne osi.

Če pa je , kvadratna funkcija nima realnih ničel oziroma parabola ne seka abscisne osi.

Ugotovitvi

Strnimo naše ugotovitve.

Vodilni koeficient nam določa obliko grafa funkcije: če je , ima parabola obliko črke (je konveksna), če pa je , ima parabola obliko narobe obrnjene črke (je konkavna).


Diskriminanta nam opisuje (razločuje) število presečišč parabole z abscisno osjo (oz. število ničel kvadratne funkcije):

(1) če je , parabola ne seka abscisne osi (kvadratna funkcija nima realnih ničel);

(2) če je , se parabola dotika abscisne osi (kvadratna funkcija ima eno dvakratno realno ničlo: );

(3) če je D>0, parabola seka abscisno os v dveh točkah (kvadratna funkcija ima dve različni realni ničli: ).


Zadnjo ugotovitev bomo še utemeljili. Če želiš, lahko spodnjo izpeljavo tudi preskočiš in nadaljuješ z utrjevanjem pri naslovu Utrjevanje.

Naj bo , torej je graf konveksen in njegova slika bo v splošnem videti nekako takole:

(Teme_1.png)



Na sliki smo označili tudi teme . Kateri podatek bo sedaj vplival na to, ali parabola seka os ali ne? S slike vidimo, da na to vpliva parameter (ordinata temena): če bo , bo parabola ležala v celoti nad osjo , če bo , se bo parabola dotikala osi , če pa bo , bo parabola sekala os v dveh točkah. Analizirajmo vsak primer posebej.

  1. , potem parabola leži nad abscisno osjo (in kvadratna funkcija nima realnih ničel). Nadomestimo zapis za : in ker je , iz te neenakosti sledi pogoj (kvocient nasprotne vrednosti negativnega izraza s pozitivnim izrazom nam da pozitivni izraz). Glej sliko 1.

  2. , potem se parabola dotika abscisne osi (in kvadratna funkcija ima eno realno ničlo). Znova si oglejmo: in ker je , iz enakosti sledi pogoj . Glej sliko 2.

  3. , potem parabola seka abscisno os v dveh točkah (in kvadratna funkcija ima dve različni realni ničli): in ker je , iz neenakosti sledi pogoj . Glej sliko 3.



Naj bo sedaj , torej je graf konkaven in njegova slika bo v splošnem videti nekako takole:

(Teme2.png)



S slike vidimo, da na presečišča parabole z abscisno osjo znova vpliva parameter (ordinata temena): če bo , bo parabola ležala v celoti pod osjo , če bo , se bo parabola dotikala osi , če pa bo , bo parabola sekala os v dveh točkah. Analizirajmo vsak primer posebej.

  1. , potem parabola leži pod abscisno osjo (in kvadratna funkcija nima realnih ničel). Nadomestimo zapis za : in ker je , iz te neenakosti sledi pogoj . Glej sliko 4.

  2. , potem se parabola dotika abscisne osi (in kvadratna funkcija ima eno realno ničlo). Znova si oglejmo: in ker je , iz enakosti sledi pogoj . Glej sliko 5.

  3. , potem parabola seka abscisno os v dveh točkah (in kvadratna funkcija ima dve različni realni ničli): in ker je , iz neenakosti sledi pogoj . Glej sliko 6.





Utrjevanje - Naloga 1

Koliko ničel ima kvadratna funkcija ?

Namig

Nobene ničle.
Dve ničli.
Eno ničlo.

Izračunaj njeno diskriminanto:

Odgovor je pravilen, saj je diskriminanta pozitivna.

Ne bo držalo.

Utrjevanje - Naloga 2

Katera od naslednjih funkcij nima realnih ničel?

Namig

Izračunaj diskriminanto vsake od funkcij.

Odgovor je pravilen, saj je

Odgovor je napačen.

Utrjevanje - Naloga 3

Za katero vrednost koeficienta se bo parabola dotikala abscisne osi?

Namig

Nastavi in nato preoblikuj pogoj za dotikališče parabole z abscisno osjo: .

Odgovor je pravilen.

Odgovor ni pravilen.

Zgled uporabe diskriminante

Zdaj, ko razumemo pomen diskriminante , se lahko lotimo tudi kakšnega zahtevnejšega zgleda.

Naloga

Iz družine parabol določi tisto parabolo, ki se dotika abscisne osi.

Da si boš lažje predstavljal, kaj naloga pričakuje od tebe, si s naslednjo konstrukcijo oglej geometrijsko predstavitev naloge.

Družina parabol v odvisnosti od

Na spodnji sliki si lahko ogledaš parabole iz naše izbrane družine za različne vrednosti parametra . S premikanjem drsnika za poskusi ugotoviti:

  1. za katere parabole ne sekajo abscisne osi;

  2. za katere se parabole dotikajo abscisne osi;

  3. za katere parabole sekajo abscisno os v dveh točkah.

    Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
    		Riš datoteka



    Odgovor

    Sedaj izpelji rešitvi naloge še računsko.

    Rešitev z razlago

Parabole iz družine ne sekajo abscisne osi za ali , dotikajo se je za ali , dve presečišči z abscisno osjo pa imajo za in .

Preden se lotimo reševanja, poglejmo morebitne določilne pogoje, če v navodilu naloge še niso podani. Vodilni koeficient parabole mora biti različen od , torej mora pri nas veljati oziroma . Sedaj se lahko lotimo našega problema. Od česa je odvisno število presečišč parabole z abscisno osjo? Odgovor nam je že znan, zato si izpišimo koeficiente, ki jih bomo vstavili v enačbo za diskriminanto:

Od tod dobimo: . Ker želimo, da se naša parabola dotika osi , bomo dobljeni izraz enačili z :

Od tod pa dobimo dve možnosti za parameter : in . Ko vsako od dobljenih števil vstavimo v enačbo družine parabol, dobimo kot rešitev dve paraboli: in .

Naloge

Naloga 1

Naj bosta in realni števili. Določi tako, da bo imela kvadratna funkcija vsaj eno realno ničlo.

Odgovor

Naloga 2

Določi pogoje, pri katerih parabole iz družine

a) sekajo abscisno os v dveh točkah,

Odgovor

b) se abscisne osi dotikajo,

Odgovor

c) nimajo presečišč z abscisno osjo.

Odgovor

Naloge

Naloga 3

Trenutna višina ob času pri navpičnem metu je podana s funkcijskim predpisom , pri čemer je začetna hitrost, pa težni pospešek, ki pri nas znaša približno . Določi diskriminanto te kvadratne funkcije. Kakšen je njen predznak?

Odgovor

Pogoj za obstoj vsaj ene realne ničle je . Od tod pa dobimo pogoj za , ki se glasi .

in

za

Naloge

Naloga 4

Določi pogoje, pri katerih bo soda konveksna kvadratna funkcija z dvema različnima realnima ničlama. Zapiši še konkreten primer takšne funkcije in nariši njen graf.

Odgovor

Sodost nam da pogoj , konveksnost , pozitivna diskriminanta pa , od koder sledi . Primer takšne funkcije je , njen graf pa je:

(1.png)



Graf funkcije

Naloge

Naloga 5

Brez pomoči računalnika nariši graf funkcije . Ali ima funkcija kakšno realno ničlo? Ali znaš natančno izračunati ničle funkcije ?

Odgovor

Namig: Pomagaj si z vzporednim premikom grafa posredne funkcije, ki ima . Funkcija ima dve različni realni ničli, saj je , ki sta in , vendar ju z obstoječim znanjem še ne znamo natančno izračunati, zato bomo v naslednjem poglavju spoznali splošni postopek za iskanje ničel poljubne kvadratne funkcije. Graf funkcije je:

(2.png)



Graf funkcije

0%
0%