Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Računanje limit

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Primeri limit zaporedij

Do sedaj smo limito zaporedja samo določili z opazovanjem zaporedja, tukaj pa se bomo naučili limito zaporedij izračunati.

Najprej bomo opazovali primere zaporedij oblike $a_n=k^n$ . Poglejmo vse različne možne primere.

1. primer:

Opazuj konstantno zaporedje $a_n=3$ .

Ali zaporedje konvergira?

Ne.

Da.

Kolikšna je limita zaporedja?

Preveri

Zaporedje $a_n=3$

Pravilno

Zaporedje konvergira, saj imajo vsi členi vrednost $3$ .

Narobe

Zaporedje konvergira, saj imajo vsi členi vrednost $3$ .

Rešitev

Limita zaporeja je $3$ .

Pravilno

Narobe

Poskusi ponovno.

Primeri limit zaporedij

Poglejmo si člene zaporedje $a=3$ še malo drugače.

S klikom na gumb na desni strani, si oglej graf zaporeja.

Vsi členi neskončnega konstantnega zaporedja $a_n=c$ so enaki konstanti $c$ , zato so v poljubni $\epsilon$ -okolici vsi členi zaporedja, torej je zaporedje konvergentno.

Limita konstantnega zaporedja je konstanta.

$\lim_{n \to \infty}c=c$

Graf zaporedja $a_n=3$

Vrednosti členov nam predstavljajo ordinate točk.

Ali se vrednosti členov približujejo kakšni vrednosti?

Iz grafa lepo vidimo, da so vse vrednosti členov zaporedja enake 3, torej je limita 3.

Zaporedje $a_n=3$

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Primeri limit zaporedij

2. primer:

Opazuj zaporedje $a_n=\frac{1}{n}$ .

Zapišimo nekaj prvih členov: $a_1=\frac{1}{1}=1$ , $a_2=\frac{1}{2}=0.5$ , $a_3=\frac{1}{3}=0.33$ , $\dots$ , $a_{100}=\frac{1}{100}=0.01$ , $\dots$

Oglej si graf zaporedja s klikom na gumb na desni in opazuj vrednosti členov po ordinatni osi.

Ali zaporedje konvergira?

Ne.

Da.

Kolikšna je limita zaporedja?

Preveri

Graf zaporedja $a_n=\frac{1}{n}$

Primeri limit zaporedij

Limita zaporedja $a_n=\frac{1}{n}$ je enaka $0$

$\lim_{n \to \infty}=0$

Graf zaporedja $a_n=\frac{1}{n}$

Iz zgornjega grafa se lepo vidi, da se členi zaporedja približujejo vrednosti $0$ , limita zaporedja je $0$ . Zaporedje je padajoče. V vsaki poljubno majhni okolici št. $0$ so od nekega člena naprej vsi členi zaporedja.

Odgovora sta pravilna.

Oba odgovora sta napačna.

Narobe si določil limito zaporedja.

Oglej si graf zaporedja.

Zaporedje je konvergentno

Primeri limit zaporedij

3.a primer:

Opazuj zaporedje $a_n=2^n$ .

Zapišimo nekaj prvih členov: $a_1=2$ , $a_2=4$ , $a_3=8$ , $a_4=16$ , $\dots$

Oglej si graf zaporedja s klikom na gumb na desni in opazuj vrednosti členov po ordinatni osi, torej ordinate točk zaporedja.

Ali zaporedje konvergira?

Ne.

Da.

Preveri

Graf zaporedja $a_n=2^n$

Pravilno.

Zaporedje je divergentno, saj vrednosti poznih členov rastejo preko vseh mej. Zaporedje nima limite.

Narobe.

Oglej si graf zaporedja.

Primeri limit zaporedij

3.b primer:

Opazuj zaporedje $a_n=(\frac{1}{2})^n$ .

Zapišimo nekaj prvih členov: $a_1=(\frac{1}{2})^1 =0.5$ , $a_2=(\frac{1}{2})^2=0.25$ , $a_3=(\frac{1}{2})^3 =0.125$ , $a_4=(\frac{1}{2})^4=0.0625$ , $\dots$

Oglej si graf zaporedja s klikom na gumb na desni in opazuj vrednosti členov po ordinatni osi, torej ordinate točk zaporedja.

Ali zaporedje konvergira?

Ne.

Da.

Kolikšna je limita zaporedja?

Preveri

Graf zaporedja $a_n=(\frac{1}{2})^n$

Odgovora sta pravilna.

Oba odgovora sta napačna.

Narobe si določil limito zaporedja.

Oglej si graf zaporedja.

Zaporedje je konvergentno

Primeri limit zaporedij

3.c primer:

Opazuj zaporedje $a_n=(-\frac{1}{2})^n$ .

Zapišimo nekaj prvih členov: $a_1=(-\frac{1}{2})^1 =-0.5$ , $a_2=(-\frac{1}{2})^2=0.25$ , $a_3=(-\frac{1}{2})^3 =-0.125$ , $a_4=(-\frac{1}{2})^4=0.0625$ , $\dots$

Oglej si graf zaporedja s klikom na gumb na desni in opazuj vrednosti členov po ordinatni osi, torej ordinate točk zaporedja.

Ali se vrednosti členov zaporedja približujejo kakšni vrednosti?

Ne.

Da.

Kolikšna je limita zaporedja?

Preveri

Graf zaporedja $a_n=(-\frac{1}{2})^n$

Odgovora sta pravilna.

Oba odgovora sta napačna.

Narobe si določil limito zaporedja.

Oglej si graf zaporedja.

Vrednosti členov zaporedja se približujejo vrednosti 0.

Primeri limit zaporedij

3.d primer:

Opazuj zaporedje $a_n=1^n$ .

Zapišimo nekaj prvih členov: $a_1=1$ , $a_2=1$ , $a_3=1$ , $\dots$

Kakšno zaporedje je to?

Alternirajoče

Naraščujoče

Padajoče

Konstantno

Kolikšna je limita zaporedja?

Preveri

Odgovora sta pravilna.

Oba odgovora sta napačna.

Narobe si določil limito zaporedja.

Premisli, kakšna je limita konstantnega zaporedja.

Pogled nazaj

Namig: $1^n=1$

Primeri limit zaporedij

3.e primer:

Opazuj zaporedje $a_n=(-2)^n$ .

Zapišimo nekaj prvih členov: $a_1=(-2)^1 =-2$ , $a_2=(-2)^2=4$ , $a_3=(-2)^3 =-8$ , $a_4=(-2)^4=16$ , $\dots$

Oglej si graf zaporedja s klikom na gumb na desni in opazuj vrednosti členov po ordinatni osi, torej ordinate točk zaporedja.

Ali se vrednosti členov zaporedja približujejo kakšni vrednosti?

Ne.

Da.

Preveri

Graf zaporedja $a_n=(-2)^n$

Pravilno.

Vrednosti členov rastejo preko vseh mej za sode indekse in padajo preko vseh mej za lihe indekse, kar pomeni, da je zaporedje divergentno, torej nima limite.

Napačno.

Oglej si graf zaporedja.

Povzetek

Poglejmo vsak primer zaporedja posebej:

$k>1$ , je zaporedje $a_n=k^n$ naraščajoče , kjer členi hitro naraščajo in se ne približujejo nobeni vrednosti, vrednosti členov rastejo preko vseh mej.

$\mid k \mid <1$ , je zaporedje $a_n=k^n$ padajoče , kjer členi hitro padajo in se bližajo vrednosti $0$ , zato je limita tega zaporedja $0$ .

$k=1$ , je zaporedje $a_n=k^n$ konstantno, vsi členi imajo isto vrednost, to je $1$ , zato je tudi limita tega zaporedja $1$ .

$k \leq -1$ , je zaporedje $a_n=k^n$ alternirajoče, vrednosti lihih členov padajo preko vseh mej, vrednosti sodih členov pa rastejo preko vseh mej, zaporedje je divergentno.

Limita potenčnega zaporedja $a_n=k^n$ je odvisna od osnove potence in sicer:

$\lim_{n \to \infty}k^n \not \exists$

$\lim_{n \to \infty}k^n=0, \quad \mid k \mid < 1$

$\lim_{n \to \infty}k^n=1, \quad k=1$

$\lim_{n \to \infty}k^n$
ne obstaja, zaporedje je divergentno, ko je: $k \leq -1$

Lastnosti limit zaporedja

Tukaj bomo spoznali nekaj osnovnih lastnosti za računanje limit zaporedij.

Dani imamo dve konvergentni zaporedji $a_n$ in $b_n$ .

$\lim_{n \to \infty}k^n=a \quad in \quad \lim_{n \to \infty}k^n=b.$

Vsota zaporedij

Ali lahko zaporedji seštejemo?

Da. Ne.

Kako bi ju sešteli?

Tako, da bi seštevali člene z enakimi indeksi. Tako, da bi seštevali člene z enakimi vrednostmi. Tako, da bi sešteli vsak člen z vsakim.

Preveri

Primer

Dani sta zaporedji: $a_n=\frac{2n+1}{n}$ in $b_n=\frac{n}{n+3}$

Vsota zaporedij: $a_n+b_n=?$

$a_n+b_n=\frac{2n+1}{n}+\frac{n}{n+3}$ .

Zapišimo nekaj prvih členov zaporedij v tabele:

$a_1$	3
$a_2$	2.5
$a_3$	2.33
$a_4$	2.25

$b_1$	0.25
$b_2$	0.4
$b_3$	0.5
$b_4$	0.57

$a_1 + b_1$	3.25
$a_2 + b_2$	2.9
$a_3 + b_3$	2.83
$a_4 + b_4$	2.82

slika

Zaporedje $a_n=\frac{2n+1}{n}$

Zaporedje $b_n=\frac{n}{n+3}$

Vsota $a_n=\frac{2n+1}{n}$ + $b_n=\frac{n}{n+3}$

Pravilno!

Narobe.

Limita vsote

Vsa tri zaporedja so konvergentna, z naslednimi limitami:

$\lim_{n \to \infty} a_n = 2, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = 1, \quad \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 3$

To je lepo razvidno iz zgornjih slik.

Torej velja:

$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n = 2+1 = 3, \quad = 3$

V primeru smo imeli dve zaporedji, prvo z limito $2$ in drugo z limito $1$ . Vsota zaporedij je bilo zaporedje z limito $3$ .

Kaj misliš, kaj bi se zgodilo, če bi imeli dve zaporedji, prvo z limito $a$ in drugo z limito $b$ ?

Vsota je zaporedje, ki ni nujno konvergentno.

Vsota je zaporedje z limito $a_n \cdot b_n$ .

Vsota je zaporedje z limito $a_n + b_n$ .

Preveri

Limita vsote

Kadar se členi enega zaporedja bližajo številu $a$ , vrednosti drugega zaporedja pa številu $b$ , takrat se vrednosti vsote členov zaporedja bližajo številu $a+b$ .

Zapomnimo si:

Dani imamo dve konvergentni zaporedji $a_n$ in $b_n$ .

$\lim_{n \to \infty}a_n=a \quad \lim_{n \to \infty}b_n=b.$

Limita vsote je enaka vsoti limit:

$\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n) = \lim_{n \to \infty}a_n+\lim_{n \to \infty}b_n.$

Utemeljitev

Pravilno

Narobe

Utemeljitev

Naj bosta zaporedji $a_n$ in $b_n$ konvergentni. Limita zaporedja $a_n$ je $a$ , limita zaporedja $b_n$ pa $b$ . Zato za vsako pozitivno število (tudi za $\frac{\epsilon}{2}$ ) obstajata taki števili $N$ in $m$ , da je $\mid a_n-a \mid < \frac{\epsilon}{2}$ in $\mid a_n-a \mid < \frac{\epsilon}{2}$ za vsak $n>N$ in vsak $m>M$ .

Označimo z $N_1$ večjo od števil $N$ in $M$ .

Zdaj pa si oglejmo in ocenimo naslednjo neenakost:

$\mid (a_n+b_n)-(a+b) \mid = \mid a_n-a+b_n-b \mid < \mid a_n-a \mid + \mid b_n-b \mid < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$

to velja za vsak $n>N_1$ , kar pomeni, da je

$\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)=a+b$

Produkt zaporedij

Ali lahko zaporedji zmnožimo?

Da. Ne.

Kako bi ju zmnožili?

Tako, da bi zmnožili člene z enakimi indeksi. Tako, da bi zmnožili člene z enakimi vrednostmi. Tako, da bi zmnožili vsak člen z vsakim.

Preveri

Konkretni primer!

Dani sta zaporedji: $a_n=\frac{2n+1}{n}$ in $b_n=\frac{n}{n+3}$

Produkt zaporedij: $a_n \cdot b_n=?$

$a_n \cdot b_n=\frac{2n+1}{n} \cdot \frac{n}{n+3}$ .

Zapišimo nekaj prvih členov zaporedij v tabele:

$a_1$	3
$a_2$	2.5
$a_3$	2.33
$a_4$	2.25
$a_5$	2.2
$a_6$	2.17

$b_1$	0.25
$b_2$	0.4
$b_3$	0.5
$b_4$	0.57
$b_5$	0.63
$b_6$	0.67

$a_1 \cdot b_1$	0.24
$a_2 \cdot b_2$	0.4
$a_3 \cdot b_3$	0.5
$a_4 \cdot b_4$	0.57
$a_5 \cdot b_5$	0.63
$a_6 \cdot b_6$	0.67

slika

Zaporedje $a_n=\frac{2n+1}{n}$

Zaporedje $b_n=\frac{n}{n+3}$

Produkt $a_n \cdot b_n=\frac{2n+1}{n} \cdot \frac{n}{n+3}$

Pravilno!

Narobe.

Limita produkta

V primeru smo imeli dve zaporedji, prvo z limito $2$ in drugo z limito $1$ . Produkt zaporedij je bilo zaporedje z limito $2$ .

Torej velja:

$\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim_{n \to \infty}a_n \cdot \lim_{n \to \infty}b_n = 2 \cdot 1 = 2$

Kaj misliš, kaj bi se zgodilo, če bi imeli dve zaporedji, prvo z limito $a$ in drugo z limito $b$ ?

Produkt je zaporedje z limito $a_n \cdot b_n$ .

Produkt je zaporedje, ki ni nujno konvergentno.

Preveri

Kadar se členi enega zaporedja bližajo številu $a$ , vrednosti drugega zaporedja pa številu $b$ , takrat se vrednosti produkta členov zaporedja bližajo številu $ab$ .

Zapišimo pravilo še v splošnem:

Dani imamo dve konvergentni zaporedji $a_n$ in $b_n$ ,

$\lim_{n \to \infty}a_n=a \quad in \quad \lim_{n \to \infty}b_n=b.$

Limita produkta je enaka produktu limit:

$\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=a \cdot b$

Pravilno.

Napačno.

Kvocient zaporedji

Ali lahko delimo dve poljubni zaporedji?

Da Da, če je zaporedje s katerim delimo prvo zaporedje neničelno. Preveri

Konkretni primer!

Dani sta zaporedji: $a_n=\frac{2n+1}{n}$ in $b_n=\frac{n}{n+3}$

Produkt zaporedij: $\frac{a_n}{b_n}=?$

$\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{2n+1}{n}}{\frac{n}{n+3}}$ .

Zapišimo nekaj prvih členov zaporedij v tabele:

$a_1$	3
$a_2$	2.5
$a_3$	2.33
$a_4$	2.25
$a_5$	2.2
$a_6$	2.17

$b_1$	0.25
$b_2$	0.4
$b_3$	0.5
$b_4$	0.57
$b_5$	0.63
$b_6$	0.67

$\frac{a_1}{b_1}$	12
$\frac{a_2}{b_2}$	6.25
$\frac{a_3}{b_3}$	4.66
$\frac{a_4}{b_4}$	3.9
$\frac{a_5}{b_5}$	3.45
$\frac{a_6}{b_6}$	3.24

Slika

Zaporedje $a_n=\frac{2n+1}{n}$

Zaporedje $b_n=\frac{n}{n+3}$

Kvocient $\frac{a_n}{ b_n}=\frac{\frac{2n+1}{n}}{\frac{n}{n+3}}$

Pravilno!

Narobe.

Limita kvocienta

V primeru smo imeli dve zaporedji, prvo z limito $2$ in drugo z limito $1$ . Kvocient zaporedij je bilo zaporedje z limito $2$ .
Limita kvocienta je enaka kvocientu limit.

Torej velja:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to \infty}a_n}{\lim_{n \to \infty}b_n} = \frac{2}{1} = 2$

Kadar se členi enega zaporedja bližajo številu $a$ , vrednosti drugega zaporedja pa številu $b$ , takrat se vrednosti kvocienta členov zaporedja bližajo številu \frac{a}{b}.

Zapišimo pravilo še v splošnem:

Dani imamo dve konvergentni zaporedji $a_n$ in $b_n \neq 0$ , za vsak $n \in \mathbb{N}$ ,

$\lim_{n \to \infty}a_n=a \quad in \quad \lim_{n \to \infty}b_n=b.$

Limita količnika je enaka količniku limit:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}= \frac{a}{b}$

Naloge

Izračunajmo limite naslednjih zaporedij:

a)

$\lim_{n \to \infty}\frac{2n-3}{4-n}$

Preveri

Pravilno

Zaporedje je kvocient dveh zaporedij: $a_n = 2n-3$ in $b_n=4-n$ , ki pa nista konvergentni, saj vrednosti za velike $n$ -je rastejo preko vseh mej, pri obeh zaporedjih, torej števec in imenovalec ulomka gresta proti neskončno, zato pravila kvocienta ne moremo uporabiti.

Najprej izpostavimo v števcu in imenovalcu največjo potenco števila $n$ , nato $n$ pokrajšamo in vidimo, da sta števec in imenovalec konvergentna, zdaj lahko uporabimo zgornja pravila in lastnosti.

$\lim_{n \to \infty}\frac{2n-3}{4-n}= \lim_{n \to \infty}\frac{n(2-\frac{3}{n})}{n(\frac{4}{n}-1)}= \lim_{n \to \infty}\frac{2-\frac{3}{n}}{\frac{4}{n}-1}= \frac{\lim_{n \to \infty}2-\lim_{n \to \infty}\frac{3}{n}}{\lim_{n \to \infty}\frac{4}{n}-\lim_{n \to \infty}1}=$ $= \frac{\lim_{n \to \infty}2-3 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{4\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}-\lim_{n \to \infty}1}=\frac{2-3 \cdot 0}{4 \cdot 0 -1}=-2$

Limita zaporedja, ki imak enak predpis kot racionalna funkcija je enaka asimptoti racionalne funkcije, saj se pozni členi zaporedja obnašajo enako kot graf racionalne funkcije v neskončnosti.

Napačno

Zaporedje je kvocient dveh zaporedij: $a_n = 2n-3$ in $b_n=4-n$ , ki pa nista konvergentni, saj vrednosti za velike $n$ -je rastejo preko vseh mej, pri obeh zaporedjih, torej števec in imenovalec ulomka gresta proti neskončno, zato pravila kvocienta ne moremo uporabiti.

Najprej izpostavimo v števcu in imenovalcu največjo potenco števila $n$ , nato $n$ pokrajšamo in vidimo, da sta števec in imenovalec konvergentna, zdaj lahko uporabimo zgornja pravila in lastnosti.

$\lim_{n \to \infty}\frac{2n-3}{4-n}= \lim_{n \to \infty}\frac{n(2-\frac{3}{n})}{n(\frac{4}{n}-1)}= \lim_{n \to \infty}\frac{2-\frac{3}{n}}{\frac{4}{n}-1}= \frac{\lim_{n \to \infty}2-\lim_{n \to \infty}\frac{3}{n}}{\lim_{n \to \infty}\frac{4}{n}-\lim_{n \to \infty}1}=$ $= \frac{\lim_{n \to \infty}2-3 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{4\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}-\lim_{n \to \infty}1}=\frac{2-3 \cdot 0}{4 \cdot 0 -1}=-2$

Limita zaporedja, ki imak enak predpis kot racionalna funkcija je enaka asimptoti racionalne funkcije, saj se pozni členi zaporedja obnašajo enako kot graf racionalne funkcije v neskončnosti.

Naloge

Izračunajmo limite naslednjih zaporedij:

b)

$\lim_{n \to \infty}\frac{2^n+3 \cdot 5^n}{5^n}$

Preveri

Napačno

Zaporedje je kvocient dveh zaporedij: $a_n = 2^n+3 \cdot 5^n$ in $b_n=5^n$ , ki pa nista konvergentni, saj sta obe zaporedji potenčni z osnovo večjo od $1$ , torej v tem primeru gresta prav tako imenovalec in števec proti neskončno, zato pravila kvocienta ne moremo uporabiti.

Najprej izpostavimo v števcu in imenovalcu potenco z večjo osnovo, nato upoštevamo zgornja pravila in lastnosti,

$\lim_{n \to \infty}\frac{2^n+3 \cdot 5^n}{5^n}= \lim_{n \to \infty}\frac{5^n(\frac{2^n}{5^n}+3)}{5^n}= \lim_{n \to \infty}\frac{2}{5}^n + \lim_{n \to \infty}3= 0+3$

uporabili smo limito potence z osnovo $\frac{2}{5}<1$ in zato je njena limita 0.

Pri reševanju smo uporabljali pravila in lastnosti, ki smo se jih zgoraj naučili.

Katero lastnost smo uporabili pri prvem enačaju?

Zaporedje v števcu smo zapisali kot produkt dveh zaporedij. Uporabili smo pravilo kvocienta. Uporabili smo pravilo vsote dveh konvergentnih zaporedij.

Katero lastnost smo uporabili pri drugem enačaju?

Zaporedje v števcu smo zapisali kot produkt dveh zaporedij. Uporabili smo pravilo kvocienta. Uporabili smo pravilo vsote dveh konvergentnih zaporedij.

Preveri

Pravilno.

Naprej

Napačno.

Pravilno

Zaporedje je kvocient dveh zaporedij: $a_n = 2^n+3 \cdot 5^n$ in $b_n=5^n$ , ki pa nista konvergentni, saj sta obe zaporedji potenčni z osnovo večjo od $1$ , torej v tem primeru gresta prav tako imenovalec in števec proti neskončno, zato pravila kvocienta ne moremo uporabiti.

Najprej izpostavimo v števcu in imenovalcu potenco z večjo osnovo, nato upoštevamo zgornja pravila in lastnosti,

$\lim_{n \to \infty}\frac{2^n+3 \cdot 5^n}{5^n}= \lim_{n \to \infty}\frac{5^n(\frac{2^n}{5^n}+3)}{5^n}= \lim_{n \to \infty}\frac{2}{5}^n + \lim_{n \to \infty}3= 0+3$

uporabili smo limito potence z osnovo $\frac{2}{5}<1$ in zato je njena limita 0.

Pri reševanju smo uporabljali pravila in lastnosti, ki smo se jih zgoraj naučili.

Katero lastnost smo uporabili pri prvem enačaju?

Zaporedje v števcu smo zapisali kot produkt dveh zaporedij. Uporabili smo pravilo kvocienta. Uporabili smo pravilo vsote dveh konvergentnih zaporedij.

Katero lastnost smo uporabili pri drugem enačaju?

Zaporedje v števcu smo zapisali kot produkt dveh zaporedij. Uporabili smo pravilo kvocienta. Uporabili smo pravilo vsote dveh konvergentnih zaporedij.

Preveri

Naloge

Izračunajmo limite naslednjih zaporedij:

c)

$\lim_{n \to \infty}\frac{2^n+3 \cdot 5^n}{5^n}$

Preveri

Pravilno

Najprej vidimo, da gre za razliko dveh zaporedij, ki vsako zase ni konvergentno, zato pravilo vsote ne moremo uporabiti. Zaporedje $a_n$ si zapišimo kot ulomek, ter števec in imenovalec pomnožimo z $\sqrt{n^2-n}+n$ (spomnimo se racionalizacije):

$\lim_{n \to \infty}\frac{(\sqrt{n^2-n}-n)(\sqrt{n^2-n}+n)}{\sqrt{n^2-n}+n}= \lim_{n \to \infty}\frac{n^2-n-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n}= \lim_{n \to \infty}\frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n},$

števec in imenovalec še vedno gresta proti neskončno, zato ju delimo z največjo potenco št. $n$ , uporabimo pravila limit in izračunamo:

$\lim_{n \to \infty}\frac{-\frac{n}{n}}{\sqrt{(\frac{n}{n})^2-\frac{n}{n^2}}+\frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{-1}{\sqrt{1-n}+1}= \frac{-1}{\sqrt{1-\lim_{n \to \infty}n}+1}= -\frac{1}{2}$

Narobe

Najprej vidimo, da gre za razliko dveh zaporedij, ki vsako zase ni konvergentno, zato pravilo vsote ne moremo uporabiti. Zaporedje $a_n$ si zapišimo kot ulomek, ter števec in imenovalec pomnožimo z $\sqrt{n^2-n}+n$ (spomnimo se racionalizacije):

$\lim_{n \to \infty}\frac{(\sqrt{n^2-n}-n)(\sqrt{n^2-n}+n)}{\sqrt{n^2-n}+n}= \lim_{n \to \infty}\frac{n^2-n-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n}= \lim_{n \to \infty}\frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n},$

števec in imenovalec še vedno gresta proti neskončno, zato ju delimo z največjo potenco št. $n$ , uporabimo pravila limit in izračunamo:

$\lim_{n \to \infty}\frac{-\frac{n}{n}}{\sqrt{(\frac{n}{n})^2-\frac{n}{n^2}}+\frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{-1}{\sqrt{1-n}+1}= \frac{-1}{\sqrt{1-\lim_{n \to \infty}n}+1}= -\frac{1}{2}$

Dodatne naloge

1. Naloga

Ugotovi ali je dano zaporedje konvergentno oz. divergentno in izračunaj njegovo limito:

$a_n=\frac{n^2-3n}{4n^2+3}$

$a_n=\frac{3n^2-2}{6-5n+n^2}$

$a_n=\frac{5n}{3-6n}$

$a_n=\frac{2-n}{1-n}$

$a_n=\frac{2n(n-1)}{(n-2)(3-n)}$

$a_n=\frac{n^3}{n-2n^3}$

Počisti

$\frac{1}{4}$

$3$

$-\frac{5}{6}$

$1$

$2$

$-\frac{1}{2}$

Preveri

Pravilno

Napačno

% od vseh primerov si rešil pravilno.

Dodatne naloge

2. Naloga

Ugotovi ali je dano zaporedje konvergentno oz. divergentno in izračunaj njegovo limito:

$a_n=3\frac{2}{5^n}$

$a_n=4-2n$

$a_n=\frac{(-1)^n \cdot n}{2}$

$a_n=(\frac{1}{3})^n+2$

$a_n=2^{-n}-1$

$a_n=(-0.8)^{n^2}+1$

$a_n=5(-1.2)^n$

$a_n=2^n+3^{n+2}$

$a_n=2^{-n}+3^{-n}$

$a_n=\frac{2^n+5^{n+1}}{5^n}$

Počisti

$0$

ne obstaja

$2$

$-1$

$1$

$5$

Preveri

Pravilno

Naprej

Napačno

% od vseh primerov si rešil pravilno.

Dodatne naloge

3. Naloga

a) $a_n = \frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{2n-1}+1}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

zaporedje je divergentno

$0.5$

b) $a\sin{\frac{n \pi}{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

zaporedje je divergentno

$0.5$

Preveri

Pravilno

Konec

Narobe

b) primer si odgovoril narobe.

Pravilno

a) primer si odgovoril narobe.

Napačno

Na oba odgovora si odgovoril narobe.

Računanje limit

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Računanje limit

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

1. primer:

Pravilno

Narobe

Rešitev

Pravilno

Narobe

Graf zaporedja a_n=3

Zaporedje a_n=3

2. primer:

Graf zaporedja a_n=\frac{1}{n}

3.a primer:

Graf zaporedja a_n=2^n

3.b primer:

Graf zaporedja a_n=(\frac{1}{2})^n

3.c primer:

Graf zaporedja a_n=(-\frac{1}{2})^n

3.d primer:

3.e primer:

Graf zaporedja a_n=(-2)^n

Primer

Zaporedje a_n=\frac{2n+1}{n}

Zaporedje b_n=\frac{n}{n+3}

Vsota a_n=\frac{2n+1}{n} + b_n=\frac{n}{n+3}

Pravilno!

Narobe.

Pravilno

Narobe

Utemeljitev

Konkretni primer!

Zaporedje a_n=\frac{2n+1}{n}

Zaporedje b_n=\frac{n}{n+3}

Produkt a_n \cdot b_n=\frac{2n+1}{n} \cdot \frac{n}{n+3}

Pravilno!

Narobe.

Pravilno.

Napačno.

Konkretni primer!

Zaporedje a_n=\frac{2n+1}{n}

Zaporedje b_n=\frac{n}{n+3}

Kvocient \frac{a_n}{ b_n}=\frac{\frac{2n+1}{n}}{\frac{n}{n+3}}

Pravilno!

Narobe.

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno.

Napačno.

Pravilno

Pravilno

Narobe

1. Naloga

Pravilno

Napačno

2. Naloga

Pravilno

Napačno

3. Naloga

Pravilno

Narobe

Pravilno

Napačno

Graf zaporedja $a_n=3$

Zaporedje $a_n=3$

Graf zaporedja $a_n=\frac{1}{n}$

Graf zaporedja $a_n=2^n$

Graf zaporedja $a_n=(\frac{1}{2})^n$

Graf zaporedja $a_n=(-\frac{1}{2})^n$

Graf zaporedja $a_n=(-2)^n$

Zaporedje $a_n=\frac{2n+1}{n}$

Zaporedje $b_n=\frac{n}{n+3}$

Vsota $a_n=\frac{2n+1}{n}$ + $b_n=\frac{n}{n+3}$

Zaporedje $a_n=\frac{2n+1}{n}$

Zaporedje $b_n=\frac{n}{n+3}$

Produkt $a_n \cdot b_n=\frac{2n+1}{n} \cdot \frac{n}{n+3}$

Zaporedje $a_n=\frac{2n+1}{n}$

Zaporedje $b_n=\frac{n}{n+3}$

Kvocient $\frac{a_n}{ b_n}=\frac{\frac{2n+1}{n}}{\frac{n}{n+3}}$