Računanje limit

Računanje limit

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Spoznali bomo tri pravila, ki olajšajo računanje limit funkcij.


Vemo že, da pri zveznih funkcijah računanje limit ni težavno, saj je limita funkcije, ko gre x proti točki a, kar funkcijska vrednost funkcije v tej točki, torej . Sicer pa je ugotavljanje limit in njihovo dokazovanje na podlagi definicije limite lahko kar zapleteno. Delo nam bodo bistveno olajšala naslednja tri pravila, ki govorijo o limiti vsote, produkta in kvocienta dveh funkcij.


Tudi ta pravila pa so uporabna le, če poznamo limito funkcij, ki kot vsota, produkt, kvocient sestavljajo preučevano funkcijo. Oglejmo si ta pravila.

Limita vsote in produkta

Limita vsote



Limita produkta


Ne pozabi, da lahko pravili limite vsote in limite produkta uporabiš le, če za funkciji in poznaš limiti

in

Limita količnika

Limita količnika


Pri pravilu limita količnika pa ni dovolj zgolj poznavanje limit funkcij in , ampak mora biti limita imenovalca različna

od :

V nasprotnem primeru imamo na desni strani pravila število v imenovalcu ulomka, kar pa zdaj že dobro veš, da ne sme biti.


Zakaj verjamemo tem pravilom?

Pravila so na prvi pogled zelo enostavna in delujejo dokaj očitno. Tako jih v srednji šoli tudi obravnavamo, kot očitna. O njihovi pravilnosti se študentje prepričajo na fakulteti pri predmetih, kot so analiza 1, matematika 1 in podobno. Kdor bi rad bil že sedaj prepričan v njihovo pravilnost, lahko pobrska po kakšnem obsežnejšem matematičnem priročniku, univerzitetnem učbeniku ali pa si odpre knjigo Višja matematika 1, ki je prvič izšla že leta 1949, njen avtor pa je eden najbolj znanih in najpomembnejših slovenskih matematikov Ivan Vidav.

Primeri

1. primer

Izračunajmo

Če dobro pogledamo funkcijo, ki ji računamo limito, vidimo, da jo sestavljajo eksponentna funkcija , potenčna funkcija , logaritemska funkcija in polinom . Vse te funkcije so zvezne, zato imajo limito, ko gre proti . Vrednost limite dobimo tako, da izračunamo vrednost funkcije za . Tako lahko uporabimo pravila za računanje.


Izračun


Do te iste ugotovitve bi prišli že na začetku, če bi v predpis funkcije vstavili vrednost . Dobili bi namreč vrednost limite. Vendar, ali smemo to narediti? Ali je res tako preprosto?

Če malo pomislimo, lahko razumemo ugotovitev tudi takole: funkcija je zvezna. Pomislek je seveda upravičen, če pomisliš, da so vse posamezne funkcije, ki jo sestavljajo, zvezne. Ne vemo pa še, ali je tudi tako zgrajena funkcija zvezna. Več o tem v poglavju Zveznost funkcij. Ko bomo torej spoznali vse zvezne funkcije, osnovne in sestavljene, bomo limite funkcij računali še lažje. Do tedaj pa nam računanje limit funkcij omogočajo in olajšajo ta tri preprosta pravila.

(primer1.gif)

Primeri

2. primer

Izračunajmo na videz preprostejšo limito

V števcu in imenovalcu funkcije sta kvadratni funkciji, za katere vemo, da so zvezne. Po zgledu prejšnjega primera torej zadostuje, da uporabimo pravilo za limito količnika in v funkcijo vstavimo vrednost . Pa poskusimo.


Izračun


Če imamo predpis funkcije v obliki količnika in limita imenovalca ni nič, uporabimo pravilo limite količnika in problema ni. Če pa je limita imenovalca enaka nič, potem imamo dve možnosti.


  • Ko je tudi limita števca enaka nič, imamo limito, ki ji matematiki rečemo limita tipa , za izračun katere moramo uporabiti kakšen trik, podoben tistemu v primeru .
  • Ko pa je limita števca različna od nič, limita funkcije ne obstaja, saj vrednosti funkcije v okolici opazovane okolice točke , kateri se bliža, rastejo v ali padajo v .

(primer2a.gif)

Primeri

3. primer

Izračunajmo zahtevnejši primer

Takoj vidimo, da je limita imenovalca enaka , kar pomeni, da ne smemo uporabiti pravila limite količnika.

Limita je tipa , zato si bomo pomagali s trikom, neke vrste racionalizacijo števca. Pri tem pa bomo stremeli k temu, da se bo ulomek (funkcija na okolici točke ) tako spremenil, da bo v točki definiran in zvezen.
Razširimo v ta namen ulomek s .


Izračun


Včasih je treba uporabiti kakšen trik, s čimer ste se že srečali pri računanju z izrazi.

Sicer pa je najboljši način, da se naučiš računati limite funkcij, narediti čim več nalog.

(primer3a.gif)

Preizkusi se

1. Limita funkcije , ko gre proti , je:


Preveri Pomoč za vaji 3 in 4

Pravilno

Vse primere si rešil pravilno.

Napačno

Pravilno si rešil od 4 primerov.

Pri vaji 3 je za izračun limite
treba najprej razcepiti števec in imenovalec funkcije.

Ko to narediš, je ulomek mogoče okrajšati. Okrajšani ulomek pa za v imenovalcu ni več enak , zato lahko uporabiš pravilo količnika.

Namig k vaji 4: razširi ulomek s . Nato ulomek okrajšaj, ...

Dodatne naloge 1

Izračunaj.

a)
=


Namig a)



b)


Namig b)

c)
=


Namig c)

d)
=


Namig d)


Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno. Nekje si se zmotil.

Namig: funkcija je v točki zvezna.

Namig: kvadratni funkciji v števcu in imenovalcu razstaviš in ulomek okrajšaš.

Namig: zmnožiš števec in urediš ter okrajšaš ulomek.

Namig: zmnožiš števec in urediš ter okrajšaš ulomek.

Dodatne naloge 1

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno. Nekje si se zmotil.

Namig: razstaviš števec in imenovalec ter ulomek okrajšaš.

Namig: in .

Namig: v števcu zapišeš kot vsoto in nato po eno enko pridružiš k vsakemu členu v števcu. Tako dobimo v števcu izraze oblike , kjer preteče vse vrednosti naravnih števil do vključno . Nato te izraze razstaviš in v števcu izpostaviš skupni faktor , ki pa ga lahko potem okrajšaš z imenovalcem,...)

Namig: razstavi in okrajšaj ulomek.

Dodatne naloge 2

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

1: razširiš ulomek tako, da racionaliziraš števec, nato pa urediš in okrajšaš ulomek.


2: racionaliziraš števec in imenovalec tako, da razširiš ulomek s .


3: ulomek razširiš s .

0%
0%