Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Zakaj uporabljamo denar?

Denar je bil vpeljan kot nadomestno plačilno sredstvo namesto blagovne menjave. Pri tem so ljudje najprej plačevali in trgovali z različnimi kovinami, kasneje pa so se uveljavili posebni majhni ulitki iz plemenitih kovin– kovanci. Značilnost kovancev je bila, da so sami predstavljali vrednost (po teži in sestavi), ki je bila na njih odlita oz. vkovana.

Šele precej kasneje so se uveljavili bankovci: najprej kot denarno nakazilo, potrdilo o deponiranem denarju ali kot zadolžnica, počasi pa je plačevanje z njimi postalo enakovredno plačevanju s kovanci. Ker je kovanje denarja iz dragih kovin pri današnjih količinah denarja v obtoku neracionalno, danes plačujemo s plačilnimi karticami, s kovanci in z bankovci, ki več ne predstavljajo vrednosti, ki je na njih vkovana ali natisnjena, ampak pri vsaki nacionalni valuti za dejansko vrednost denarja v obtoku jamči državna banka z rezervami zlata (tudi srebra, dragih kamnov ali drugih dragocenih surovin).

Kakšne kovance uporabljamo v Sloveniji danes?

Izziv za radovedne

Če želiš izvedeti, kakšni motivi so na evrskih kovancih posamezni držav Evropske skupnosti, se sprehodi po spletnih straneh Evropske centralne banke (ECB).

Osnovni pojmi

Posojilo ali kredit je denarni znesek, ki ga posojilodajalec (običajno banka) posodi posojilojemalcu (občanu, podjetju ...) za določeno časovno obdobje – odplačilno dobo (običajno jo navajamo v mesecih).

Pri tem kreditojemalec odplača kreditodajalcu poleg samega kredita – glavnice G – tudi odškodnino za najeti kredit – obresti. Glavnica in obresti skupaj so dolg, ki ga mora kreditojemalec odplačati banki za najeti kredit.

Kapitalizacijsko obdobje je obdobje, po katerem ali pred katerim se pripisujejo obresti (npr. letna, mesečna, dnevna kapitalizacija).

Letna obrestna mera (v \%) nam pove, kolikšen odstotek od vplačanega ali prejetega zneska znašajo obresti na letni ravni.

Obrok ali anuiteta je znesek, ki ga plačujemo banki v določenih časovnih obdobjih pri odplačevanju kredita.

Stroški odobritve kredita so stroški, ki si jih zaračuna banka zaradi administrativnih postopkov pri odobritvi kredita.

Zavarovanje kredita je vrsta jamstva, s katerim si banka zagotovi, da bo dobila posojeni denar z obrestmi vred tudi v celoti povrnjen.

Dekurzivno obrestovanje (pri dekurzivni obrestni meri) je pripis obresti na koncu kapitalizacijskega obdobja (npr. pri varčevanju).

Anticipativno obrestovanje je način obrestovanja, pri katerem kreditodajalec na začetku kapitalizacijskega obdobja obračuna obresti in jih odšteje od nominalne (nazivne) vrednosti kredita.

Obresti so tudi $\dots$

Obresti so lahko tudi odškodnina, ki jo prejme varčevalec od finančne ustanove (banke, zavarovalnice, pokojninske družbe ...), ker ji je za določeno obdobje posodil svoj denar.

Več o zavarovanju kredita

Kredit lahko zavarujemo z:

• zavarovalnico, in sicer v primeru krajše odplačilne dobe ali manjšega zneska kredita: zavarovalnici plačamo večji znesek (zavarovalno premijo), s čimer si banka zagotovi zavarovanje kredita v primeru naše plačilne nezmožnosti (kar pa ne pomeni, da v tem primeru dolg namesto nas odplača zavarovalnica!);
• s poroki, v primeru srednjeročnih kreditov in manjših zneskov: porok je lahko oseba, ki prejema redne denarne prihodke in ki v primeru naše nezmožnosti odplačevanja kredita prevzame breme kredita;
• s hipoteko, v primeru odplačilnih dob nad $15$ let in velikih zneskov: hipoteka pomeni zastavo nepremičnine, ki se vpiše tudi v zemljiško knjigo (v primeru nezmožnosti odplačevanja kredita se hipoteka po sodni poti proda, z delom denarja od prodaje pa se najprej banki poplača preostali dolg kredita).

Spletni izziv

1. Na internetu poišči podatke o letni obrestni meri, ki jo je za tekoče leto določila Evropska centralna banka (ECB) (npr. na tem e-naslovu
2. Na internetu poišči podatke o tem, kaj pomeni in kako se natančno izračuna efektivna obrestna mera (EOM).

Prav imaš, zgornje dejstvo lahko zapišemo kot $Z + p \%$ od $Z$, kar pa je enako zapisu $K=Z+\frac{p}{100} \cdot Z=Z(1+\frac{p}{100})$

Še enkrat premisli, katera vrednost se je povečala za $p \%$.

Ali znak − res ponazarja povečanje vrednosti?

Pravilno

Nalogo si rešil pravilno.

Naprej

Narobe

Poglej si rešitev naloge s klikom na gumb Rešitev.

Časovni trak

Označevanje vlog

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Časovni trak

Narobe

Poglej si rešitev s klikom na gumb Rešitev.

Pravilno

Naprej

Tako je

Ker eno vlogo opravimo na začetku meseca, drugo pa na sredini, ne moremo uporabiti niti četrtletnih niti mesečnih obrestovalnih razmerij, ampak dnevne. Obresti k vlogi $a$ bi tako znašale

$$\frac{p}{100} \cdot a \cdot \frac{d_1}{365},$$

obresti k vlogi $b$ pa

$$\frac{p}{100} \cdot b \cdot \frac{d_2}{365}.$$

kjer je $d_1$ število dni obrestovanja vloge $a$, $d_2$ pa število dni obrestovanja vloge $b$. Pri tem je dobro vedeti, da se prvi dan (dan vloge) ne šteje kot obrestovalni dan. Na žepnem koledarčku lahko preveriš, da je v našem primeru $d_1=152$ dni in $d_2=77$ dni.

Nalogo takšne vrste boš za vajo našel med dodatnimi nalogami.

Ni res

Ker eno vlogo opravimo na začetku meseca, drugo pa na sredini, ne moremo uporabiti niti četrtletnih niti mesečnih obrestovalnih razmerij, ampak dnevne. Obresti k vlogi $a$ bi tako znašale

$$\frac{p}{100} \cdot a \cdot \frac{d_1}{365},$$

obresti k vlogi $b$ pa

$$\frac{p}{100} \cdot b \cdot \frac{d_2}{365}.$$

kjer je $d_1$ število dni obrestovanja vloge $a$, $d_2$ pa število dni obrestovanja vloge $b$. Pri tem je dobro vedeti, da se prvi dan (dan vloge) ne šteje kot obrestovalni dan. Na žepnem koledarčku lahko preveriš, da je v našem primeru $d_1=152$ dni in $d_2=77$ dni.

Nalogo takšne vrste boš za vajo našel med dodatnimi nalogami.

Rešitev

Spomni se: pri anticipativnem obrestovanju se obresti odračunajo od zneska na začetku, torej bo prejeti znesek kredita manjši, kot pa ga bo moralo podjetje dejansko odplačati. Če neto prejeti kredit označimo z $G_k$, nominalni kredit (tj. tisti, ki ga bo moralo potem dejansko odplačati) pa z $G_o$, se naš izračun glasi:

$$G_k=G_0-o=G_0 - \frac{p}{100} \cdot G_0 \frac{90}{365} = 300000(1- \frac{12}{100} \cdot \frac{90}{365})=291123,29.$$

Podjetje bo torej prejelo $291.123,29 €$, odplačati pa bo moralo $300.000 €$.

Pravilno

Naprej

Pravilno

Naprej

Narobe

Poglej si postopek reševanja naloge s klikom na gumb Rešitev.

Pravilno

Narobe

Vloga $a$ se poveča na vrednost $a + p \%$ od $a$.

Pravilno

Narobe

Vloga $a$ se poveča na vrednost $a + p \%$ od $a$.

Pravilno

Konec leta $2009$ moramo pripisati obresti k stanju, kot je bilo konec leta $2008$, torej:

$$a(1 + \frac{p}{100}) + \frac{p}{100} a (1 + \frac{p}{100}) = a (1 + \frac{p}{100}) (1 + \frac{p}{100}) = a (1 + \frac{p}{100})^2.$$

Narobe

Konec leta $2009$ moramo pripisati obresti k stanju, kot je bilo konec leta $2008$, torej:

$$a(1 + \frac{p}{100}) + \frac{p}{100} a (1 + \frac{p}{100}) = a (1 + \frac{p}{100}) (1 + \frac{p}{100}) = a (1 + \frac{p}{100})^2.$$

Pravilno

Stanje vloge konec leta $2010$ dobimo na enak način in znaša

$$a(1 + \frac{p}{100})^3.$$

Narobe

Stanje vloge konec leta $2010$ dobimo na enak način in znaša

$$a(1 + \frac{p}{100})^3.$$

Pravilno

Po petih letih obrestovanja (to je konec leta $2012$) bo stanje naših prihrankov torej

$$a(1 + \frac{p}{100})^5,$$

kar znaša

$$G_k = a(1 + \frac{p}{100})^5 = 100000 (1 + \frac{3}{100})^5 = 115927,41 ,$$

torej bomo imeli tedaj na računu $115.927, 41 €$.

Narobe

Po petih letih obrestovanja (to je konec leta $2012$) bo stanje naših prihrankov torej

$$a(1 + \frac{p}{100})^5,$$

kar znaša

$$G_k = a(1 + \frac{p}{100})^5 = 100000 (1 + \frac{3}{100})^5 = 115927,41 ,$$

torej bomo imeli tedaj na računu $115.927, 41 €$.

Označitev vlog in dvigov pri obrestnem obrestovanju

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Pravilno

Naprej

Narobe

Oglej si potek reševanja naloge s klikom na gumb Rešitev.

Vloge in dviga

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Pravilno

Poglej spodnjo sliko:

Nastavimo račun po načelu ekvivalence glavnic:

$$ar^5+ar^4+ar^3+ar^2+ar+a=br^{-3}+br^{-4}.$$

Ali smo sedaj dobili drugačen rezultat kot prej?

Narobe

Poglej spodnjo sliko:

Nastavimo račun po načelu ekvivalence glavnic:

$$ar^5+ar^4+ar^3+ar^2+ar+a=br^{-3}+br^{-4}.$$

Ali smo sedaj dobili drugačen rezultat kot prej?

Pravilno

Seveda smo dobili enak račun kot prej; če namreč zgornjo enačbo pomnožimo z $r^4$, dobimo popolnoma enako enačbo kot pri reduciranju na termin konec leta $2017$!

V resnici je torej popolnoma vseeno, na kateri termin reduciramo vse vloge in dvige.

Narobe

Seveda smo dobili enak račun kot prej; če namreč zgornjo enačbo pomnožimo z $r^4$, dobimo popolnoma enako enačbo kot pri reduciranju na termin konec leta $2017$!

V resnici je torej popolnoma vseeno, na kateri termin reduciramo vse vloge in dvige.

Pravilno

Narobe

Pravilno si vstavil od enajstih odgovorov.

Poskusi ponovno

Obrestno obrestovanje

Rešitve

Naj bo letna obrestna mera enaka $p=4 \%$.

(a) Pri polletni kapitalizaciji je polletna relativna obrestna mera $p′=$ 2 %, polletni relativni obrestovalni faktor je enak $r′=$ 1,02, konformnega pa izračunamo kot √1,04.

(b) Vrednost glavnice $G_o$ bo pri letni kapitalizaciji z letnim obrestovalnim faktorjem $r=1+\frac{p}{100}$ po enem letu znašala $G_o·r$, po dveh letih $G_o· r$^ 2 in po $n$ letih $G_o· r$^ n.

(c) Vrednost glavnice $G_o$ bo pri polletni kapitalizaciji s polletnim konformnim obrestovalnim faktorjem $r′=\sqrt{r}$ po polovici leta znašala $G_o·r′=G_o·\sqrt{r}$, po enem letu $G_o·r′^2=G_o$· r , po dveh letih $G_o·r′$^ 4 $= G_o·r$^ 2 in po n letih $G_o·r′^{2n}=G_o·r$^ n.

(č) Iz točk (b) in (c) sledi: letna kapitalizacija glavnice z letno obrestno mero $p$ in polletna kapitalizacija glavnice s polletno konformno obrestno mero (izpeljano iz $p$) data v enakem obdobju enake (manjše/enake/večje) obresti.

Podoben sklep bi lahko izpeljali za mesečno ali dnevno konformno obrestno mero pri mesečni ali dnevni kapitalizaciji glavnice v primerjavi z letno kapitalizacijo glavnice.

Nazaj na nalogo

Narobe

Oba primera si rešil narobe.

Poglej si postopka reševanja s klikom na gumba Rešitev, ki se nahajata pod vprašanjem a) in b).

Pravilno

Narobe

Narobe si rešil le a) primer naloge.

Poglej si postopek reševanja s klikom na gumb Rešitev, ki se nahaja pod vprašanjem a).

Narobe

Narobe si rešil le b) primer naloge.

Poglej si postopek reševanja s klikom na gumb Rešitev, ki se nahaja pod vprašanjem b).

Pravilno

Narobe

Rešitev

Narišimo časovni trak, na katerem so zaradi polletne kapitalizacije oštevilčena polletja.

a) Polletni relativni obrestovalni faktor je

$$r'=1+\frac{\frac{p}{2}}{100}=1+\frac{5}{100}=1,05$$

in po načelu ekvivalence glavnic lahko zapišemo:

$$20000 \cdot r'^7=ar'^5 + ar'^4 +ar^3+ar'^2 + ar'+a$$ $$20000r'^7=a(r'^5 + r'^4 + r'^3 + r'^2 + r' +1)$$ $$20000r'^7 = a \frac{r'^6-1}{r'-1},$$

od koder dobimo

$$a=\frac{20000r'^7}{r'^6-1}(r'-1) = \frac{20000 \cdot 1,05^7}{1,05^6-1} \cdot (1,05-1) = 4137,37.$$

Pri relativni obrestni meri bi torej znašal obrok $4.137,37 €.$

Rešitev

Narišimo časovni trak, na katerem so zaradi polletne kapitalizacije oštevilčena polletja.

b) Polletni konformni obrestovalni faktor je

$$r' = \sqrt{r} = \sqrt{1+\frac{10}{100}} = \sqrt{1,1}$$

in po načelu ekvivalence glavnic lahko zapišemo:

$$20000 \cdot r'^7=ar'^5 + ar'^4 +ar^3+ar'^2 + ar'+a$$ $$20000r'^7=a(r'^5 + r'^4 + r'^3 + r'^2 + r' +1)$$ $$20000r'^7 = a \frac{r'^6-1}{r'-1},$$

od koder dobimo

$$a=\frac{20000r'^7}{r'^6-1} \cdot (r'-1) = \frac{20000 \sqrt{1,1}^7}{\sqrt{1,1}^6-1}(\sqrt{1,1}-1)=4116,94.$$

Pri konformni obrestni meri bi znašal obrok $4.116,94 €,$ torej je konformno obrestovanje za kreditojemalca ugodnejše.

Obrestno obrestovanje

Uvod

5. zgled

Letni obrestovalni faktor

Označitev vlog in dvigov pri obrestnem obrestovanju

6. zgled

Za radovednejše - redukcija na poljuben termin

Relativna in konformna obrestna mera

Preveri svoje razumevanje

7. zgled

Izpeljava formule za naravno rast - za radovedne

Naj bo $G_o$ stanje glavnice na začetku in $G_n$ stanje glavnice po $n$ letih. Če bi imeli k kapitalizacijskih obdobij v enem letu in letno obrestno mero $p$, bi lahko zapisali

$$G_n=G_0 \left(1+\frac{\frac{p}{k}}{100} \right)^{n \cdot k}.$$

Dejansko pa imamo v gozdu razmere, ko število kapitalizacijskih obdobij raste čez vsako mejo (rast je neprekinjena), kar lahko zapišemo z matematičnimi simboli kot $k \to \infty$. Stanje glavnice $G_n$ po $n$ letih pri neprekinjenem obrestovanju lahko tedaj izračunamo kot

$$G_n=\lim_{k \to \infty} \left( G_0 \left( 1+\frac{\frac{p}{k}}{100} \right)^{n \cdot k} \right) .$$

Ta zapis nas spomni na že znano limito

$$\lim_{u \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{u} \right)^u = e.$$

Če našo prejšnjo limito primerjamo s to znano limito za $e$, jo seveda znamo izračunati z vpeljavo nove spremenljivke:

$$\frac{p}{100} = \frac{1}{u} \Rightarrow u=\frac{100k}{p}$$ $$k \to \infty \Rightarrow u \to \infty$$

od tod pa dobimo

$$\Large{G_0 \cdot \lim_{u \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{u} \right)^{n \cdot \frac{u \cdot p}{100}}= G_0 \cdot \lim_{u \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{u} \right)^u \right)^{ \frac{n \cdot p}{100}}= G_0 \cdot e^{\frac{p \cdot n}{100}}.}$$

Narobe

Poskusi ponovno ali pa si poglej postopek reševanja s klikom na gumb Rešitev.

Pravilno

Naprej

Rešitev

Izpišimo si podatke:

$$G_0=2 \cdot 10^6$$ $$G_n=10^6$$ $$p=-0,1\%$$

Ker velja

$$G_n = G_0 \cdot e^{\frac{p}{100} \cdot n},$$

lahko pišemo

$$10^6 = 2 \cdot 10^6 \cdot e^{\frac{-0,1}{100} \cdot n}$$ $$1=2 \cdot e^{\frac{-1}{1000} \cdot n},$$

od koder z logaritmiranjem dobimo

$$ln(0,5)=-\frac{1}{1000} \cdot n$$ $$n=-1000 \cdot ln(0,5)$$ $$n=693,147 \dots$$

V tej državi se bo prebivalstvo ob nespremenjenih pogojih prepolovilo čez približno $693$ let.

Naravna rast - zvezno obrestovanje

Kazalo po sklopu: Naravna rast - zvezno obrestovanje

Definicija

8. zgled

Izziv za radovedne

Napačno

Rešitev

Podjetje mora na začetku vsakega meseca vložiti po $a =7987,22 €.$

Pravilno

Naprej

Rešitev

Podjetje mora konec vsakega meseca vložiti po $a = 8038, 59 €$. Varčevalcu se v takem primeru bolj splača vlagati vloge na začetku meseca.

Napačno

Pravilno

Naprej

Rešitev

Prva vloga se obrestuje $152$ dni (prvega dne ne štejemo), druga vloga pa $77$ dni. Druga vloga mora znašati $58.263,10 €.$

Napačno

Pravilno

Naprej

Rešitev

Letni obrestovalni faktor je $r = 1,06$. Konec leta $2011$ bomo lahko dvignili še $29.542,10 €$.

Napačno

Pravilno

Naprej

Rešitev

Letni obrestovalni faktor je $r =1,08$, mesečni konformni obrestovalni faktor pa $r'=\sqrt[12]{r}=\sqrt[12]{1,08}$. Ob koncu šestega leta bomo privarčevali $7928,71 €$.

Napačno

Pravilno

Naprej

Pravilno

Napačno

Rešitev

Čez $5$ let bo v gozdu $1161,8 m^3$ lesa.