Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Kotne funkcije, zveze

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Kotne funkcije kotov 30° in 60°

Začnimo s kotnimi funkcijami za kot, ki meri $30°$ . Za to potrebujemo pravokotni trikotnik, v katerem seveda drugi ostri kot meri $60°$ . Tako bomo lahko določili vrednosti kotnih funkcij tudi za ta kot.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Če trikotnik $ABC$ prezrcalimo čez daljico $AC$ , dobimo trikotnik $ABB’$ , v katerem vsi notranji koti merijo po $60°$ ; trikotnik je torej enakostraničen. Postopek zrcaljenja lahko prikažeš s spodnjimi tremi gumbki: s klikom na levega se vrneš na začetek, z desnim se premakneš na konec, s klikanjem na srednjega pa prikažeš zrcaljenje po posameznih korakih. Poskusi.

Dolžino daljice $AB$ označimo z $a$ .

Koliko potem merita daljici $BC$ in $AC$ ?

Ponovi o enakostraničnem trikotniku

Če je $|AB|= a$ , potem merita stranici $|BC|= \frac{a}{2}$ in $|AC|= \frac{a\sqrt3}{2}$ .

Zdaj vemo vse, kar potrebujemo za izračun vrednosti kotnih funkcij za kota $30°$ in $60°$ .

Ponovi o enakostraničnem trikotniku

Ker je $AC$ višina enakostraničnega trikotnika, razpolavlja osnovnico $BB’$ , zato je $|BC| = \frac{a}{2}$ . Z uporabo Pitagorovega izreka lahko izračunamo, da je $|AC|=\sqrt{|AB|^2-|BC|^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}$ .

Do istega rezultata pridemo, če uporabimo obrazec za višino enakostraničnega trikotnika.

Vrednosti kotnih funkcij za kota $30°$ in $60°$

Se spomniš definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota?

Ponovitev

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

$\sin\; 30°=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}=\cos\; 60°$

$\cos\; 30°=\frac{\frac{a\sqrt3}{2}}{a}=\frac{a\sqrt3}{2a}=\frac{\sqrt3}{2}=\sin\; 60°$

$tg 30° = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac{2a}{2a\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}= ctg 60°$ $ctg 30° =\frac{\frac{a\sqrt3}{2}}{\frac{a}{2}}=\frac{2a\sqrt3}{2a}=\sqrt3 = tg 60°$

V zadnjem koraku vsakega izračuna smo uporabili lastnosti kotnih funkcij komplementarnih kotov iz gradiva - Kontne funkcije na splošno.

Ponovitev

$sin α = \frac{\textrm{nasprotna kateta}}{\textrm{hipotenuza}}$ $cos α = \frac{\textrm{priležna kateta}}{\textrm{hipotenuza}}$ $tg α = \frac{\textrm{nasprotna kateta}}{\textrm{priležna kateta}}$ $ctg α =\frac{\textrm{priležna kateta}}{\textrm{nasprotna kateta}}$

Kotne funkcije kota $45°$

Zdaj pa še h kotu $45°$ . Tokrat potrebujemo pravokotni trikotnik, ki ima dva skladna ostra kota po $45°$ , torej gre za enakokraki pravokotni trikotnik, ki ga z zrcaljenjem preko stranice $AB$ dopolnimo v kvadrat. V njem $AB$ igra vlogo diagonale. Postopek zrcaljenja lahko tudi tokrat prikažeš s klikanjem na srednji gumbek.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Če dolžino $AC$ označimo z $a$ , tudi $BC$ meri $a$ , $AB$ , ki predstavlja diagonalo dobljenega kvadrata, pa meri $a\sqrt2$ . To lahko zlahka preveriš z uporabo Pitagorovega izreka ali pa uporabiš formulo za diagonalo kvadrata. Zdaj pa k izračunom:

$\sin\;45° =\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}=cos\;45°$ $tg 45°=\frac{a}{a}=1=ctg 45°$

Vrednosti kotnih funkcij, ki jih moraš znati na pamet

Povzemimo vse izračunane vrednosti kotnih funkcij, ki se jih moraš naučiti na pamet.

	$\sin α$	$\cos α$	$tg α$	$ctg α$
$30°$	$\frac {1}{2}$	$\frac {\sqrt 3}{2}$	$\frac {\sqrt 3}{3}$	$\sqrt 3$
$45°$	$\frac {\sqrt 2}{2}$	$\frac {\sqrt 2}{2}$	$1$	$1$
$60°$	$\frac {\sqrt 3}{2}$	$\frac {1}{2}$	$\frac {\sqrt 3}{3}$	$\sqrt 3$

Kaj nam vrednosti kotnih funkcij povejo o trikotniku?

Kaj lahko poveš o razmerju katet v pravokotnem trikotniku z ostrim kotom $30°$ ?

Kotni funkciji, ki vključujeta razmerje katet, sta tangens in kotangens. Ker je $tg 30° = \frac{\sqrt 3}{3}$ , vemo, da je razmerje kotu nasprotne katete ter kotu priležne katete $\sqrt3:3$ oziroma v okrajšani obliki $1:\sqrt3$ .

Katet seveda ne moremo izračunati. Če pa poznamo dolžino ene od njiju, je iz razmerja možno izračunati še drugo kateto.

Zveze med kotnimi funkcijami: tangens in kontanges

Vzemimo pravokotni trikotnik z običajno označenimi stranicami in koti, kot ga prikazuje spodnja slika. V tem primeru se posamezne kotne funkcije kota $α$ izražajo kot:

$\sin\;\alpha=\frac{a}{c}$ $\cos\;\alpha=\frac{b}{c}$ $tg \alpha = \frac{a}{b}$ $ctg \alpha=\frac{b}{a}$

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Najlažje je opaziti zvezo med funkcijama tg in ctg istega kota.

Opisani sta z med seboj obratnima ulomkoma, zato velja:

$\rm{tg}\; \alpha = \frac{1}{\rm{ctg}\; \alpha}$ , oziroma $\rm{ctg}\; \alpha = \frac{1}{\rm{tg}\; \alpha}$ , kar pa, če zadnjo enakost pomnožimo s $tg α$ , lahko pišemo tudi v obliki $tg α \cdot ctg α = 1$ .

Še ene zveze ni posebno težko opaziti: če med seboj delimo izraza za sinus in kosinus istega kota, dobimo tangens tega kota.
Poglejmo izpeljavo:

$\frac{\sin\;\alpha}{\cos\;\alpha}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}= tg α.$

Povzemimo:

Ker je kotangens je obratna vrednost funkcije tangens, velja:

$tg α = \frac{\sin\;\alpha}{\cos\;\alpha}$ $ctg \alpha = \frac{\cos\;\alpha}{\sin\;\alpha}$

Zveze med kotnimi funkcijami: sinus in kosinus

Zdaj pa še k zelo pomembni zvezi med funkcijama sinus in kosinus:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$

V predzadnjem koraku smo seveda uporabili Pitagorov izrek, saj se pri kotnih funkcijah ostrih kotov ves čas sprehajamo po stranicah pravokotnega trikotnika, zato res ni dvoma, da smemo izraz $a^2+b^2$ zamenjati s $c^2$ .

Povzemimo:

$sin^2 α + cos^2 α = 1$

Zgledi uporabe zvez med kotnimi funkcijami

Pokažimo, kako nam koristijo izpeljane zveze med kotnimi funkcijami.

Ne da bi nam bilo treba vedeti, koliko meri kot, o katerem je v nalogi govora, lahko iz ene od vrednosti njegovih kotnih funkcij izračunamo ostale tri.

Naj bo kot $α$ oster kot, za katerega je $\sin\;\alpha=\frac{1}{3}$ .
Potem izračunamo

$\cos^2\;\alpha=1-sin^2\;\alpha=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.$

Zato je

$\cos\;\alpha=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt8}{3}=\frac{2\sqrt2}{3}.$

Iz sinusa in kosinusa zlahka izračunamo

$tg α =\frac{\sin\;\alpha}{\cos\;\alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt2}{3}}=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.$

Nazadnje pa še $ctg α = \frac{1}{tg α} = 2\sqrt 2$ . (Lažje je poiskati obratno vrednost predzadnjega ulomka za $tg α$ .)

Če bi bila podana vrednost funkcij tangens ali kotangens, bi nam koristili še dve drugi zvezi, ki ju bomo izpeljali za radovednejše med vami, nalogo pa lahko rešimo tudi s sistemom dveh enačb z dvema neznankama.

Bi rad izvedel še več o tem?

Zvezi, ki v tem primeru koristita, sta

$1+tg^2 α = \frac{1}{cos^2\;\alpha}$

in

$1+ctg^2 α = \frac{1}{sin^2\;\alpha}.$

Izpeljali bomo samo prvo in to s pomočjo prej spoznanih formul:

$1+tg^2 α = 1+\frac{\sin^2\;\alpha}{cos^2\;\alpha}=\frac{cos^2\;\alpha+\sin^2\;\alpha}{\cos^2\;\alpha}=\frac{1}{cos^2\;\alpha}.$

Drugo zvezo izpelji sam.

Naloga 1

Izpolni tabelo z ustreznimi vrednostmi kotnih funkcij za dane kote. Pomagaj si z izpeljanimi vrednostmi, s kotomerno krožnico in pravili o kotnih funkcijah suplementarnih kotov.

	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$
sin	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$
cos	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$-\frac {\sqrt 3}{2}$ $-\frac {\sqrt 2}{2}$ $-\frac {1}{2}$ $-1$
tg	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\sqrt 3$ $\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\sqrt 3$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\sqrt 3$ $\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\sqrt 3$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\sqrt 3$ $\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\sqrt 3$
ctg	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\sqrt 3$ $\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\sqrt 3$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\sqrt 3$ $\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\sqrt 3$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\sqrt 3$ $\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\sqrt 3$

	135°	150°	180°	270°	360°
sin	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$	$\frac {\sqrt 3}{2}$ $\frac {\sqrt 2}{2}$ $\frac {1}{2}$ $1$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$0$ $-1$ $1$ $/$
cos	$-\frac {\sqrt 3}{2}$ $-\frac {\sqrt 2}{2}$ $-\frac {1}{2}$ -1	$-\frac {\sqrt 3}{2}$ $-\frac {\sqrt 2}{2}$ $-\frac {1}{2}$ $-1$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$0$ $-1$ $1$ $/$
tg	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\sqrt 3$ $\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\sqrt 3$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$0$ $-1$ $1$ $/$
ctg	$0$ $-1$ $1$ $/$	$\sqrt 3$ $\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\frac {\sqrt 3}{3}$ $-\sqrt 3$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$0$ $-1$ $1$ $/$	$0$ $-1$ $1$ $/$

Preveri

Pravilno

Bravo. Vsi tvoji odgovori so pravilni.

Napačno

Mogoče je, da je kateri od tvojih odgovorov pravilen, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 2

Iz ene dane vrednosti kotne funkcije izračunaj še ostale tri vrednosti kotnih funkcij istega kota. Uporabljaj le ustrezne formule in ne kalkulatorja.

cos $\alpha = \frac {3}{4}$ in $\alpha$ je oster kot

$sin \alpha = \frac {5}{4}$ , $tg \alpha = \frac {5}{3}$ ,
$ctg \alpha = \frac {3}{5}$

$sin \alpha = \frac {\sqrt 7}{4}$ , $tg \alpha = \frac {3 \sqrt 7}{7}$ ,
$ctg \alpha = \frac {\sqrt 7}{3}$

$sin \alpha = \frac {\sqrt 7}{4}$ , $tg \alpha = \frac {\sqrt 7}{3}$ ,
$ctg \alpha = \frac {3 \sqrt 7}{7}$

$sin \alpha = \frac {5}{4}$ , $tg \alpha = \frac {\sqrt 7}{3}$ ,
$ctg \alpha = \frac {3 \sqrt 7}{7}$

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloga 3

Iz ene dane vrednosti kotne funkcije izračunaj še ostale tri vrednosti kotnih funkcij istega kota. Uporabljaj le ustrezne formule in ne kalkulatorja.

$\sin \beta = \frac {2}{3}$ in $\beta$ je topi kot

$sin \beta = \frac {\sqrt 5}{3}$ , $tg \beta = \frac {2 \sqrt 5}{5}$ ,
$ctg \beta = \frac {\sqrt 5}{2}$

$sin \beta = \frac {\sqrt 13}{3}$ , $tg \beta = \frac {2 \sqrt13}{ 13}$ ,
$ctg \beta = \frac {\sqrt 13}{2}$

$sin \beta = -\frac {\sqrt 5}{3}$ , $tg \beta = -\frac {2 \sqrt 5}{5}$ ,
$ctg \beta = -\frac {\sqrt 5}{2}$

$sin \beta = -\frac {\sqrt 13}{3}$ , $tg \beta = -\frac {2 \sqrt13}{ 13}$ ,
$ctg \beta = -\frac {\sqrt 13}{2}$

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloga 4

Iz ene dane vrednosti kotne funkcije izračunaj še ostale tri vrednosti kotnih funkcij istega kota. Uporabljaj le ustrezne formule in ne kalkulatorja.

tan $\gamma$ = 2 in $\gamma$ je oster kot

$sin \gamma = \frac {\sqrt 5}{5}$ , $cos \gamma = \frac {2 \sqrt 5}{5}$ ,
$ctg \gamma = \frac {1}{2}$

$sin \gamma = \frac {2 \sqrt 5}{5}$ , $cos \gamma = \frac {\sqrt 5}{5}$ ,
$ctg \gamma = -\frac {1}{2}$

$sin \gamma = \frac {2 \sqrt 5}{5}$ , $cos \gamma = \frac {\sqrt 5}{5}$ ,
$ctg \gamma = \frac {1}{2}$

$sin \gamma = -\frac {2 \sqrt 5}{5}$ , $cos \gamma = -\frac {\sqrt 5}{5}$ ,
$ctg \gamma = -\frac {1}{2}$

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloga 5

Izračunaj natančno vrednost izraza.

$\frac {sin 60° \cdot 2 ctg 30°}{(cos 45°)^2}$

$\frac{1}{6}$

$-6$

$6$

$-\frac{1}{6}$

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloga 6

Izračunaj natančno vrednost izraza.

$\Bigg( \frac {\sqrt 2 sin 30° + \sqrt3 cos 60°}{tan 30° \cdot cos 0° \cdot 2 sin 60°} \Bigg) ^{-2}$

$- 20 + 8 \sqrt 6$

$- 20 - 8 \sqrt 6$

$20 - 8 \sqrt 6$

$20 + 8 \sqrt 6$

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloga 7

Izračunaj natančno vrednost izraza.

$\Bigg( \frac {sin 45° + cos 60°}{cos \frac {\pi}{6} sin \frac{3 \pi}{2}}\Bigg) ^{tg 135°}$

$1$

$- \sqrt 6 - \sqrt 3$

$\sqrt 6 + \sqrt 3$

$\sqrt 6 - \sqrt 3$

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloga 8

Pravilno

Bravo. Vsi tvoji odgovori so pravilni.

Napačno

Mogoče je, da je kateri od tvojih odgovorov pravilen, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

In še za konec

V gradivu Kotne funkcije, uporaba, bomo kotne funkcije uporabljali v geometrijskih nalogah. V pomoč nam bodo tam, kjer nam v pravokotnih trikotnikih samo Pitagorov izrek ne more pomagati.

$(\sin x + \cos x)^2 - 2 \sin x \cos x =$ $0$ $-1$ $1$											$\frac {\sin^2 x +1 - \cos^2 x}{4 tg^2 x}=$ $\frac {\cos x}{2}$ $-\frac {\cos^2 x}{2}$ $\frac {\cos^2 x}{2}$
$\frac {1 + \cos ^2 x - \sin ^2 x}{1-\sin ^2 x}=$ $0$ $-2$ $2$											$tg x \cdot (tg x + ctg x ) =$ $\frac {1}{\cos x}$ $-\frac {1}{\cos ^2 x}$ $\frac {1}{\cos ^2 x}$
$\frac {2 \sin ^3 x +2 \sin x \cos ^2 x}{tg x \cdot ctg x}=$ $2$ $\sin x$ $2 \sin x$											$(\frac {1 + ctg^2 x}{1+ tg^2 x}) ^{-1}=$ $tg x$ $ctg ^2 x$ $tg ^2 x$
$\frac{tg x}{ctgx})\cdot (1- \sin ^2 x)=$ $\cos ^2 x$ $\sin x$ $\sin ^2 x$

Kotne funkcije, zveze

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Kotne funkcije, zveze

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Ponovi o enakostraničnem trikotniku

Ponovitev

Bi rad izvedel še več o tem?

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno