Verjetnost, uvodni pojmi

Verjetnost, uvodni pojmi

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Več o projektu...

Poskus

Da lahko razpravljamo o tako vsakdanji zadevi, kot je verjetnost, v matematiki potrebujemo nekaj temeljnih pojmov in dejstev, ki si jih bomo skupaj ogledali.

Življenje je nenehno dogajanje, vrstenje novih dogodkov, presenečenj, ponavljanje vsakdanjosti, pričakovanega. Veliko našega življenja je planiranega, hočemo, da se tako zgodi, nekaj pa je prepuščeno tudi naključjem, presenečenjem.

Pri verjetnosti bomo opazovali predvsem tista dejanja, ki jih planiramo, za katera hočemo, da se odvijajo, pa vendar ni nujno, da se zgodijo. Zato se dogovorimo:

Dejanje, ki ga planirano opravimo v točno določenih pogojih (točno določenem okolju), imenujemo poskus.

To je prvi od pojmov, potreben za matematično razpravo o verjetnosti. Poglejmo nekaj primerov poskusov, ki jih pogosteje srečamo pri matematični obravnavi verjetnosti:

  1. Z lokom streljamo na tarčo.
  2. Na ravno površino vržemo običajen kovanec.
  3. Po ravni podlagi zakotalimo pošteno igralno kocko.
  4. Iz žare s petimi belimi in tremi rdečimi kroglicami potegnemo eno kroglico.
  5. Izbiramo karto iz kompleta kart. (Naš običajni komplet kart vsebuje kart – src, kar, pikov, križev. Med osmimi kartami pa so: as, kralj, dama, fant, desetka, devetka, osmica, sedmica.)

Zakaj ta tako preprosta dejanja?

Da je neko dejanje poskus, morajo biti okoliščine vedno enake, tudi pri večkratni ponovitvi. Ti poskusi so relativno preprosti, da lahko kontroliramo okoliščine in zagotavljamo ob vsaki ponovitvi enake pogoje izvedbe poskusa. Temu skupku pogojev, ki se ne smejo spremeniti, rečemo kompleks pogojev.

Naprej

Poskusi

Poskusi

(lokThumbnail.png)
1. Lokostrelstvo
(2-evraThumbnail.png)
2. Metanje kovanca
(IMG_0360.JPG)
3. Metanje igralne kocke
(lotoThumbnail.png)
4. Vlečemo iz žare
(karteThumbnail.png)
5. Vlečenje kart

Dogodek

Neki pojav, ki se v poskusu zgodi ali se ne zgodi, imenujemo dogodek.

Glede na prej omenjene poskuse se lahko po vrsti zgodijo, ali pa tudi ne, naslednji dogodki, torej so možni dogodki.

  1. „Zadeli smo 2 cm od centra tarče.” ali „Tarčo smo zgrešili.”
  2. „Kovanec je padel tako, da zgoraj vidimo cifro – padla je cifra.” ali „Padel je grb.”
  3. „Na zgornji ploskvi je šest pik – padla je šestica.” ali „Padlo je liho število pik.”
  4. „Potegnili smo rdečo kroglico.” ali „Potegnili smo belo kroglico.”
  5. „Izbrana karta je srčev as.” ali „Izbrana karta je pik.” ali „Izbrana karta je kralj.”

Nazaj Naprej

Dogodki

Vrste dogodkov

Pri opazovanju določenega dogodka ob ponavljanju nekega poskusa lahko naletimo na tri možnosti.

  1. Dogodek se pri vsaki ponovitvi poskusa zgodi; takemu dogodku rečemo gotovi dogodek in ga običajno označimo z .
  2. Dogodek se nikoli ne zgodi, čeprav poskus večkrat ponovimo; to je nemogoči dogodek, ki ga označimo z .
  3. Dogodek se v nekaterih ponovitvah poskusa zgodi, v preostalih pa sene zgodi. Tak dogodek je za verjetnostni račun zanimivejši in mu rečemo slučajni dogodek.

Pomembno

Pri verjetnosti opazujemo dogodke, ki se zgodijo v nekem poskusu. Če se kakšen pogoj poskusa spremeni, se spremeni celoten poskus in ne opazujemo več istega dogodka, čeprav bi ga lahko enako opisali.

Dogodke za lažje zapisovanje označujemo z velikimi tiskanimi črkami: , ... (kot množice). Včasih jih označimo z isto črko, ki ji dodamo indeks: , , ... To storimo še posebej tedaj, ko so dogodki povezani s števili (indeksi) ali ko je dogodkov zelo veliko.

Nazaj Naprej

Dogodki

(1-evroThumbnail.png)
2. Padel je grb
(IMG_0331aThumbnail.png)
3. Padlo je 6 pik
(karte2Thumbnail.png)
5. Izbrana karta je srčev as

Primeri različnih dogodkov - preizkusi se

Navedeni poskusi v spodnjih vprašanjih so pošteno zastavljeni – brez goljufivih kock in podobnega.

  1. Kateri od spodaj navedenih dogodkov je gotovi dogodek?

  2. Kateri od naslednjih dogodkov je nemogoči dogodek?

  3. Kakšne vrste je dogodek, ko pri metu kovanca pade grb?

  4. Kakšne vrste je dogodek, ko na lotu zadenemo glavni dobitek – sedmico?

  5. Kakšne vrste je dogodek, da pade na Zemlji kozarec na tla, če ga izpustimo iz rok?

Preveri

Nazaj Naprej

Pravilno

Naprej

Napačno

Pravilno si odgovoril le na % od vseh vprašanj.

Odnosi med dogodki in operacije z dogodki

V nadaljevanju si bomo ogledali nekatere odnose med dogodki. Obravnavali bomo tudi operacije (operatorje) z dogodki, s katerimi lahko tvorimo nove dogodke iz že znanih dogodkov. Računanje z dogodki je zelo podobno računanju z množicami, iz teorije množic pa si lahko izposodimo tudi nekatera pravila za računanje. Za grafično ponazarjanje odnosov in operacij z dogodki lahko uporabimo že znane Vennove diagrame (oblačke).

Nazaj Naprej

Primer za nadaljnjo uporabo

Podrobneje si oglejmo poskus meta igralne kocke in opazujmo, kaj se zgodi pri posameznem metu ene poštene igralne kocke. Ta poskus je dovolj preprost, da ga lahko obvladujemo, in dovolj obsežen, da lahko na njem razložimo nove pojme.

Poglejmo nekaj dogodkov, ki se lahko zgodijo pri metu igralne kocke.

  • – „pade sodo mnogo pik”;
  • – „padejo več kot tri pike”;
  • – „pade število pik, deljivo s tri”;
  • – „pade ena pika”;
  • – „pade šest pik”;
  • – „pade n pik”;
  • – „pade manj kot sedem pik”;
  • – „pade sedem pik”...

Te dogodke bomo obravnavali v nadaljevanju, zato si jih poskusimo dobro zapomniti.

Dogodek je način dogodka , če se vedno, ko se zgodi dogodek , zgodi tudi dogodek . Zapis: .

Nazaj Naprej

Dogodki iz primera

Nekateri dogodki iz primera

(dogodek AThumbnail.png)
Dogodek A
(dogodek BThumbnail.png)
Dogodek B
(dogodek CThumbnail.png)
Dogodek C
(dogodek GThumbnail.png)
Dogodek G

Način dogodka

Dogodek je način dogodka , če se vedno, ko se zgodi dogodek , zgodi tudi dogodek . Zapis: .

1. Zgled

V primeru meta kocke so dogodki , , načini dogodka . Vsak od navedenih dogodkov , , , ... pa je način dogodka – gotovega dogodka.

Dogodka sta enaka, če se eden zgodi natanko tedaj, ko se zgodi drugi. Zapis: .

Nazaj Naprej

Vsota dogodkov

Vsota (unija) dogodkov in je dogodek, ki se zgodi, če se zgodi vsaj eden od dogodkov ali . Zapis: ali .

2. Zgled

Če seštejemo dogodka in pri metu kocke, dobimo dogodek , ki se zgodi, če padeta dve piki ali padejo štiri pike ali pade pet ali šest pik.

(v.gif)
Vsota dogodkov A in B

Nazaj Naprej

Produkt dogodkov

Produkt (presek) dogodkov in je dogodek, ki se zgodi, če se zgodita dogodka in hkrati. Zapis: ali .

3. Zgled

Če vzamemo ista dogodka kot v prejšnjem primeru, se zgodi dogodek , ko se zgodita oba hkrati, torej: če padejo štiri pike ali pa če pade šest pik.

(p.gif)
Produkt dogodkov A in B

Nazaj Naprej

Negacija dogodkov

To pa nista edini operaciji z dogodki. Dogodke še negiramo in odštevamo. Razliko med operacijami pri dogodkih zelo redko srečamo. Negacija pa je pogosta operacija, zato začnimo z njo.

Pri negaciji dogodka dobimo nasprotni dogodek , ki se zgodi, če se dogodek ne zgodi.

4. Zgled

Nasprotni dogodek dogodka pri metu igralne kocke je dogodek „padlo ni sodo mnogo pik” oz. „padlo je liho mnogo pik”.

(nasprotni.JPG)

Nazaj Naprej

Odnos med dogodki

Zanimivo. Če seštejemo dogodka , dobimo dogodek, ki se zgodi ob vsakem metu. Vsako število pik je bodisi sodo bodisi liho. Tako je gotovi dogodek: . Kaj pa dogodek ? Zgodi se, če se zgodita oba hkrati. Torej bi moralo pri metu pasti sodo in liho število pik hkrati. To pa je nemogoči dogodek, torej

Na tem mestu bi bilo dobro govoriti še o enem odnosu med dogodki. To je združljivost ali pogosteje uporabljena nezdružljivost dogodkov. Zapišemo takole.

Dogodka sta združljiva, če se lahko zgodita oba hkrati. Če pa se oba hkrati ne moreta zgoditi, rečemo, da sta nezdružljiva. Tako je produkt nezdružljivih dogodkov očitno nemogoči dogodek:

5. Zgled

Z dogodkom iz meta kocke so nezdružljivi dogodki , , . Dogodka in pa sta združljiva, saj se v primeru, da pri metu pade šest pik, zgodita oba dogodka in .

Ni pa težko razumeti, da sta dogodka in vedno nezdružljiva.

Za dogodek in njemu nasprotni dogodek velja in

Nazaj Naprej

Razlika dogodkov

Še zadnja operacija – operator z dogodki je razlika dogodkov.

Razlika dogodkov in je dogodek, ki se zgodi, če se zgodi dogodek in se pri tem ne zgodi dogodek Oznaka:

Nazaj Naprej

Razmislek

Če met igralne kocke še podrobnejše preučimo, lahko dogodke, ki se pri tem zgodijo, razvrstimo tudi takole.

Dogodkov , , , , , se ne da opredeliti drugače, kot so, medtem ko dogodek – „pade sodo mnogo pik” lahko opišemo z dogodki , , – z njihovo vsoto.

Tako pridemo do naslednjih pomembnih pojmov.

Sestavljeni dogodek je vsak dogodek, ki ga lahko zapišemo kot vsoto vsaj dveh nezdružljivih, pa vendar možnih dogodkov. Dogodek, ki ni sestavljen, je elementarni dogodek ali izid.


Vsem elementarnim dogodkom, ki tvorijo neki sestavljeni dogodek, rečemo, da so za sestavljeni dogodek ugodni.


6. Zgled

Dogodki , , , , , so elementarni dogodki meta igralne kocke. Vsi ostali (razen nemogočega dogodka) pa so sestavljeni. Tako je:

, , in . Te iste dogodke lahko zapišemo tudi takole: , , in .


Vsi elementarni dogodki sestavljajo tako imenovani vzorčni prostor poskusa.


Vsota vseh elementarnih dogodkov je gotovi dogodek: Poljubna dva elementarna dogodka pa sta medsebojno nezdružljiva:

Nazaj Naprej

Predstavitev vzorčnega prostora

Vzorčni prostor lahko predstavimo s pravokotnikom, v katerem so točke posamezni elementarni dogodki.

(slika1.png)

Na levi strani je narisan prazen vzorčni prostor, na desni pa je v isti vzorčni prostor vrisanih že nekaj sestavljenih dogodkov, ki si jih lahko predstavljamo tudi kot podmnožice vzorčnega prostora. Vsota elementarnih dogodkov v posamezni podmnožici je namreč sestavljeni dogodek.

Koliko je vseh poskusov, če ima poskus natanko n elementarnih dogodkov? Odgovor

Nazaj Naprej

Odgovor

O tem smo govorili že pri kombinatoriki. Na dogodke lahko gledamo kot na podmnožice vzorčnega prostora. Gotovi dogodek je podmnožica vseh elementarnih dogodkov – celoten vzorčni prostor. Vse podmnožice vzorčnega prostora, ki vsebujejo vsaj dva in manj kot n elementarnih dogodkov, predstavljajo sestavljene dogodke. Podmnožice z enim elementarnim dogodkom so elementarni dogodki. Med podmnožicami je tudi prazna množica, ki predstavlja nemogoči dogodek. Tako so zajeti vsi možni dogodki poskusa in vse podmnožice množice z elementi. Iz kombinatorike pa vemo, da je takih podmnožic natanko . Vseh dogodkov je torej in vsem dogodkom nekega poskusa včasih rečemo algebra dogodkov.

Nazaj Naprej

Še zadnji pojem

Med vsemi možnimi dogodki nekega poskusa najdemo skupino dogodkov, ki jih povezujeta dve bistveni lastnosti.

Če množico dogodkov sestavljajo dogodki, ki so paroma medsebojno nezdružljivi, vsota vseh pa je gotovi dogodek, ti dogodki sestavljajo popolni sistem dogodkov.

7. Zgled

Če se po zgled vrnemo k našemu metu kocke, najdemo takih popolnih sistemov več. Navedimo tri preprostejše.

  1. Dogodek in njemu nasprotni dogodek sestavljata popolni sistem dogodkov, saj je in To velja za neki dogodek in njemu nasprotni dogodek tudi v katerem koli drugem poskusu.
  2. Dogodki , , sestavljajo popolni sistem dogodkov, saj se ob metu kocke nikoli ne zgodita dva dogodka hkrati in ob vsakem metu se zgodi natanko eden od teh, torej so nezdružljivi in skupaj tvorijo gotovi dogodek.
  3. Dogodki , , , , , sestavljajo popolni sistem dogodkov zaradi že znanih lastnosti elementarnih dogodkov, ki sestavljajo vzorčni prostor. Tudi splošno je vsak vzorčni prostor (elementarnih dogodkov) popolni sistem dogodkov.

Nazaj Naprej

Test za razumevanje

Naj bosta dogodka in pri metu igralne kocke opredeljena takole: – „pade liho število pik” in – „padejo manj kot štiri pike”. Odgovori na naslednja vprašanja.

  1. Kateri od spodnjih opisov je dogodek ?

  2. Kateri od spodnjih opisov je dogodek ?

  3. Kateri od spodnjih opisov je dogodek – nasprotni dogodek?

  4. Ali sta dogodka in združljiva?

  5. Ali dogodka A in B sestavljata popolni sistem dogodkov?

Preveri

Nazaj Naprej

Pravilno

Naprej

Napačno

Pravilno si odgovoril le na % od vseh vprašanj.

Dodatne naloge

Reši spodnjih 7 nalog in nato preveri rezultat.


1. Naloga: Kaj od spodaj naštetega je poskus:


2. Naloga: Kaj od spodaj navedenega je dogodek:


3. Naloga:
Pri vlečenju kart iz običajnega kupa imamo dogodka in . Dogodek : ,,Izvlečena karta je rdeča.,, Dogodek :,,Izvlečena karta je pik.,, Zapiši opisno vsoto in produkt dogodkov in .

Vsota ()je:

Produkt ()je:


4. Naloga Ali sta dogodka in iz prejšnje naloge združljiva?


5. Naloga Dogodkom iz levega stolpca, dodaj nasprotne dogodke iz desnega stolpca.

: prim metu običajnega kovanca pade grb
: pri metu igralne kocke pade liho število pik
: pri vleki kart iz običajnega kupa kart je izvlečena karta srce
: izvlečena kroglica je bele barve (v žari sta bela in rdeča kroglica)
pri metu običajnega kovanca pade cifra
pri metu igralne kocke pade sodo mnogo pik
pri vleki kart iz običajnega kupa kart je izvlečena karta pik ali križ ali karo
izvlečena kroglica je rdeče barve (v žari sta bela in rdeča kroglica)
Nemogoč dogodek.
Izvlečena karta je modra.


6. Naloga Zapiši elementarne dogodke vzorčnega prostora poskusa meta dveh kovancev hkrati.

( pomeni − na enem kovancu je padla cifra, na drugem pa grb.)


7. Naloga Imamo poskus, pri katerem iz običajnega kupa kart vlečemo karto. Ddogodki tega poskusa so definirani takole: − izvlečena karta je srce, − izvlečena karta je kara, − izvlečena karta je krž, − izvlečena karta je pik. Ali ti dogodki sestavljajo popoln sistem dogodkov?

Nazaj Preveri

Konec

Čestitam vse naloge si rešil pravilno.

Rezultat: %

0%
0%