Povsem vsakdanje je, da slišimo izjavo, kot je na primer: „Zelo verjetno je, da bom danes vprašana matematiko.” ali „Malo verjetno je, da bom zadel sedmico na lotu.” Te izjave govorijo o verjetnosti slučajnega dogodka, za katerega ne vemo, ali se bo naslednjič zgodil ali ne. O verjetnosti nemogočega in gotovega dogodka ne ugibamo, saj je izid ob vsaki ponovitvi poskusa jasen.

Tako domače sklepanje o verjetnosti teh dogodkov temelji na izkušnjah. Dogodki so bolj ali manj pričakovani. Vse to pa so preohlapni opisi verjetnosti dogodkov. Znotraj enega opisa verjetnosti nekega dogodka je namreč še velik razpon verjetnosti dogodka. Zato poskusimo verjetnost dogodka opisati bolj matematično, natančneje. Tako bomo izid nekega poskusa lažje predvideli oz. bomo manj presenečeni ob dogodku. Če namreč veš, kolikšna je verjetnost, da ravno tvoja kombinacija števil zadene sedmico na lotu, se lažje sprijazniš, ko ne zadeneš. Upanje pa še vedno obstaja, saj se dogodek nekomu slej ko prej pri žrebanju zgodi.

Naprej

Vzamemo si za primer poskus metanja kovanca. Nekateri ste se že igrali z običajnim kovancem in šteli, kolikokrat se zgodi dogodek, da pade grb oz. da pade cifra. Seveda se v enem poskusu zgodi samo eden od teh dogodkov, saj sta dogodka nezdružljiva.

Če poskus nekajkrat ponovimo in pri tem štejemo, kolikokrat je padel grb – dogodek , se nam hitro porodi ideja, da bi to število primerjali s številom vseh poskusov. Tako dobimo iz statistike znano relativno frekvenco dogodka :

kjer je število poskusov, kjer se je zgodil dogodek – pade grb, in število vseh ponovitev poskusa. Z vsako ponovitvijo poskusa se sicer to število spreminja, vendar se izkaže, da se relativna frekvenca pri vse večjem številu ponovitev poskusa ne spreminja kaj dosti. Tako se relativna frekvenca dogodka z večanjem števila – števila poskusov – približuje nekemu konkretnemu številu. To pa je temelj, da lahko postavimo statistično definicijo verjetnosti dogodka :

Vendar pa matematiki s tako definicijo še vedno nismo najbolj zadovoljni. Dovolj velikega števila ponovitev poskusa vedno le ne moremo doseči. Včasih je tak način skrajno neracionalen.

Nazaj Naprej

Če bi namreč hoteli na škatlico vžigalic zapisati verjetnost, da bo vžigalica zagorela, bi morali ponavljati poskus vžiganja vžigalic in pri tem šteti, kolikokrat je zagorela. Ta poskus bi morali opraviti kar se da velikokrat. Tovarna vžigalic bi pri takem početju kmalu propadla.

Pri majhnem številu ponovitev poskusa pa podatek ni zanesljiv.

Nazaj Naprej

Že pri poskusu meta kovanca, kar je preprost poskus, verjetno ne bi bili zadovoljni, če bi nam nekdo rekel, da moramo poskus ponoviti –krat. Za to bi potrebovali kar nekaj časa in volje.

Zanimivo: Časa je imel dovolj avstrijski matematik John Kerrick, ki je med drugo svetovno vojno v zaporu kovanec vrgel kar – krat. Pri tem je naštel grbov. Relativna frekvenca tega dogodka je , kar pa še ni število , saj število poskusov ni dovolj veliko.

Nazaj Naprej

Ni pa težko o poskusu meta kovanca razmisliti teoretično. Če vemo, da obstajata samo dve opciji za izid poskusa, grb ali cifra, in ni nobenega razloga, da bi se kateri od možnih elementarnih dogodkov zgodil večkrat kot drugi, lahko pričakujemo, da se bo z naraščanjem števila poskusov relativna frekvenca dogodka bližala . S tem pa je verjetnost . Podobno razmišljamo, da zapišemo klasično definicijo verjetnosti dogodka :

Tudi ta definicija verjetnosti dogodka je omejena. Kakor hitro elementarni dogodki niso enako verjetni, definicija nima smisla.

Zagotavljanje simetričnosti vzorčnega prostora včasih ni mogoče. Da pa se ga zagotoviti z uporabo kovanca, ki je bil narejen iz homogene kovine, z uporabo poštene igralne kocke, ki ni obtežena, da se katero od števil pojavi večkrat, z uporabo običajnega kompleta kart, ki ni označen, kjer so hrbtne strani enake in ni moč videti čeznje. Pri vleki karte iz kupa ali pri vleki kroglice iz žare morajo biti izbire narejene na slepo.

Vsak od s posamezno kocko predstavljenih elementarnih dogodkov je enako verjeten, ker je kocka iz homogene mase brez magnetnih zmožnosti, kar sicer omogoča delno kontrolo kocke.

Nazaj Naprej

Tako pri statistični kot pri klasični definiciji verjetnosti dogodka pa se da ugotoviti tri trditve, ki jim rečemo kar aksiomi verjetnosti:

Nazaj Naprej

Če upoštevamo aksiome verjetnosti in lastnost vzorčnega prostora, lahko izpeljemo verjetnost elementarnega dogodka v simetričnem vzorčnem prostoru.

Za elementarne dogodke velja . Ker pa so elementarni dogodki paroma nezdružljivi, lahko zapišemo:

Vsi elementarni dogodki simetričnega vzorčnega prostora so enakovredni:

Tako ugotovimo:

Nazaj Naprej

Ob misli na prejšnjo nalogo odgovori na vprašanje.

Kolikšna je verjetnost, da pri metu poštene igralne kocke pade sodo mnogo pik?

Kolikšna pa je verjetnost, da je pri metu poštene kocke padlo število pik, ki je deljivo s tri?

Dogodka iz prejšnjih dveh vprašanj seštejemo. Kolikšna je verjetnost vsote dogodkov?

Preveri

Nazaj Naprej

Res pa se zgodi, da ni vedno vsaka igralna kocka poštena. In prav zaradi podobnih težav, izzivov, se je okrepila želja po spoznanju zakonitosti verjetnosti. Tako lahko verjetnost definiramo na različne načine. Mi smo spoznali dva: statistično in klasično definicijo. Obstajajo tudi še druge. Vsem tem pa so skupne lastnosti, ki jih imenujemo kar aksiomi Kolmogorova. Ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov je namreč v tridesetih letih 20. stoletja postavil aksiomatično definicijo verjetnosti:

[Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903 – 1987)]

Če pri delu uporabljamo te lastnosti, aksiome verjetnosti, nam niti ni treba navajati, katero definicijo imamo v mislih, saj te lastnosti veljajo za vse.

Ti aksiomi veljajo tudi za računanje verjetnosti dogodkov, ko vzorčni prostor ni simetričen. Takrat so verjetnosti elementarnih dogodkov različne. Seveda za izračun verjetnosti dogodka, ki je sestavljen iz takih elementarnih dogodkov, moramo poznati verjetnosti posameznih elementarnih dogodkov: . Pri tem mora za elementarne dogodke tudi takega (nesimetričnega) vzorčnega prostora veljati: .

Nazaj Konec