Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Dokaz

Vsak dokaz očitne trditve običajno temelji na zvezi, ki nam nikakor ne pride na misel, vendar je zelo uporabna za dokaz.

Dogodka , sta nezdružljiva in zato po tretjem aksiomu Kolmogorova lahko zapišemo:

Po drugi strani pa vemo: . Tako je

Če to združimo, dobimo zvezo:

Ko pa na obeh straneh enačbe odštejemo , dobimo ugotovitev: .

Nazaj Naprej

Dokaz

Pri definiciji nasprotnega dogodka smo ugotovili, da je z osnovnim nezdružljiv: , velja pa tudi . Tako lahko po drugem in tretjem aksiomu Kolmogorova zapišemo:

Če pa ti enakosti združimo, dobimo:

Ko z leve strani na desno premaknemo , dobimo našo trditev.

Nazaj Naprej

Dokaz

Ko je , lahko dogodek zapišemo kot vsoto dogodkov in , ki sta nezdružljiva. Zato lahko zapišemo:

Ker pa je verjetnost vsakega dogodka nenegativno število, postane leva stran večja ali enaka desni, če z desne odstranimo . S tem pa izpeljemo dano trditev.

Nazaj Naprej

Dokaz

Trditvi ni težko verjeti, če se spomnimo, da je vsak dogodek način gotovega dogodka: . Če pa upoštevamo prejšnjo lastnost in drugi aksiom Kolmogorova, ugotovimo:

Splošna ugotovitev: Za verjetnost poljubnega dogodka velja:

Nazaj Naprej

Dokaz

Dogodka in sta nezdružljiva. Njuna vsota pa je dogodek : Če poleg tega upoštevamo še tretji aksiom Kolmogorova, dobimo naslednjo zvezo:

Če premaknemo z desne strani enakosti na levo , dobimo našo trditev.

Nazaj Naprej

Dokaz

Za poljubna dogodka in sta dogodka in nezdružljiva, njuna vsota pa je enaka vsoti dogodkov in : . Tako lahko zapišemo po tretjem aksiomu Kolmogorova:

Če pa sedaj upoštevamo še peto lastnost, lahko nadomestimo ) s in dobimo:

Z ureditvijo vrstnega reda členov pridemo do naše zadnje, verjetno najpomembnejše, trditve.

Nazaj Naprej

Rešitev

Najprej se moramo vprašati, koliko je vseh elementarnih dogodkov in ali so enako verjetni. Vsi elementarni dogodki so vsa možna trimestna števila z lihimi števkami, ki se ne ponavljajo (variacije). Tako jih je: Vsi pa so enako verjetni, saj je izbiranje in razvrščanje naključno.

Za dogodek je ugodnih , saj mora biti prva cifra nujno , ostali pa poljubni iz množice .

Verjetnost dogodka po klasični definiciji verjetnosti je torej .

Za dogodek mora biti seštevek cifer deljiv s tri. To se zgodi samo, če je trimestno število sestavljeno iz cifer: , , ali . Z vrstnim redom le-teh pa določimo različna trimestna števila, ki so ugodna za ta dogodek. Tako je za dogodek ugodnih elementarnih dogodkov.

Verjetnost dogodka je .

Verjetnost dogodka izračunamo s formulo , saj dogodka in nista nezdružljiva. Torej moramo izračunati še verjetnost dogodka , ko se dogodka in zgodita hkrati. To pa se zgodi samo, če otroci sestavijo ravno eno izmed naslednjih števil: , , ali Ugodni so torej štirje elementarni dogodki, zato je

Verjetnost vsote dogodkov lahko sedaj izračunamo:

Nazaj Naprej

Rešitev

Vseh vstopnic je . Tako so lahko otroci razdelili vstopnice na načinov (permutacije). To je ravno število vseh enako verjetnih elementarnih dogodkov .

Za dogodek pa je od teh ugodnih ravno . Verjetnost dogodka je torej:

Za dogodek je ugodnih . Verjetnost dogodka pa je tako:

Za izračun verjetnosti dogodka moramo uporabiti formulo , saj sta dogodka združljiva. Lahko se namreč dogodka in zgodita hkrati: starši sedijo skupaj na sredini, tako da so na eni strani starši prve družine in njihovi otroci, na drugi strani pa starši druge družine (ob starših prve družine) in otroci druge družine. To pa je ravno dogodek AB. Poiščimo njegovo verjetnost. Za ta dogodek je ugodnih razvrstitev. Verjetnost produkta je torej =

Sedaj lahko izračunamo :

Nazaj Naprej

Pravilno

Naprej

Napačno

Na prvo vprašanje si odgovoril napačno.

Napačno

Na drugo vprašanje si odgovoril napačno.

Napačno

Na obe vprašanji si odgovoril napačno.

Odgovor

Za verjetnosti dogodkov in najprej izračunaš verjetnosti nasprotnih dogodkov. Vseh enako verjetnih elementarnih dogodkov je . Za nasprotni dogodek je ugodnih . Tako je verjetnost . Za nasprotni dogodek pa je ugodnih . Zato je . Verjetnosti dogodkov in pa sta tako:

Za verjetnost produkta dogodkov in je ugodnih elementarnih dogodkov, zato je:

Dogodka in sta združljiva, zato moramo za izračun vsote dogodkov uporabiti formulo: . Torej je:

Drugi način: Nasprotni dogodek vsote je dogodek (računanje z množicami) – izvlečena karta je as in srce hkrati, srčev as. Za slednji dogodek je ugoden samo en elementarni dogodek. Zato verjetnost vsote izračunamo takole:

Rezultat je seveda enak. Pogosto se je treba znajti med možnimi potmi in poiskati čim lažjo.

Nazaj Konec