Produkt dogodkov

Produkt dogodkov

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Več o projektu...

Motivacijski zgled

Veliko je že bilo govora o verjetnosti vsote dogodkov, nič pa še o verjetnosti produkta dogodkov. Na verjetnost vsote dogodkov vpliva združljivost dogodkov, na verjetnost produkta pa odvisnost dogodkov. Poglejmo si zadevo pobližje.

Najlažje je te pojme razložit preko preprostega zgleda. Mogoče poznaš igro Lingo. Poskus, ki ga bomo uporabljali je podoben delu te igre, kjer iz skrite žare na slepo vlečejo igralci oštevilčene kroglice raznih barv v želji, da ne potegnejo rdeče.

Mi bomo zadevo rahlo poenostavili. V naši žari naj se nahaja pet rdečih in deset belih kroglic. Dvakrat zapored bomo na slepo vlekli iz žare. Ločili pa bomo dva poskusa. Pri prvem bomo kroglice vračali v žaro, pri drugem pa ne.

Naprej

Žara

Žara

(zaragif2.gif)

Žara z desetimi belimi in petimi rdečimi kroglicami, ki se konstantno mešajo, da je izbor nepredvidljiv in vzorčni prostor simetričen.

Naprej

Prva naloga

Ugotovi, kolikšna je verjetnost, da smo dvakrat zapored izvlekli rdečo kroglico v primeru da kroglice vračamo?

Odgovor

Čemu to vprašanje? Ko bomo poskusili odgovoriti na drugo vprašanje bomo opazili bistveno razliko med poskusoma.

Nazaj Naprej

Odgovor

Kolikšna je verjetnost, da smo prvič izvlekli rdečo kroglico:

Ko prvič vlečemo iz žare je v njej kroglic, , od katerih jih je ugodnih za naš dogodek rdečih, . Po klasični definiciji verjetnosti je verjetnost dogodka , da prvič izvlečemo rdečo, enaka Potem izvlečeno kroglico vrnemo v žaro in ponovno vlečemo.

Kolikšna je verjetnost, da smo tudi drugič izvlekli rdečo kroglico:

Ker se okoliščine niso spremenile kot, ko smo prvič povlekli kroglico, lahko sklepamo popolnoma enako in zapišemo, da je verjetnost dogodka , da drugič tudi povlečemo rdečo kroglico, enaka .

Seveda bi sedaj pričakovali neko logično zvezo, s katero bi izračunali verjetnost dogodka , da dvakrat zapored povlečemo rdečo kroglico. To zvezo moramo šele oblikovati in končni odgovor na vprašanje bomo podali kasneje.

Naprej

Druga naloga

Kolikšna pa je verjetnost, da smo dvakrat zapored izvlekli rdečo kroglico, ko prve izvlečene kroglice ne vrnemo?

Odgovor

Nazaj Naprej

Odgovor

Kolikšna je verjetnost, da smo prvič izvlekli rdečo kroglico:

Pri prvi vleki je situacija enako kot pri prejšnji nalogi: v žari je kroglic, , od katerih jih je ugodnih za naš dogodek (rdečih),. In zopet je verjetnost dogodka , da prvič izvlečemo rdečo, enaka . Potem pa izvlečene kroglice ne vrnemo v žaro in ponovno vlečemo.

Kollikšna je verjetnost, da smo drugič izvlekli rdečo kroglico:

Sedaj pa so se okoliščine spremenile. V žari je le še kroglic. Če smo prvič potegnili rdečo, jih ugodnih za naš drugi dogodek ostaja le še . Da se zgodi dogodek , pa smo morali v prvo potegniti rdečo. Tako je res verjetnost

Tudi tokrat še ne bomo odgovorili na naše vprašanje (končen odgovor kasneje v gradivu). Vendar pa lahko sklepamo, da verjetnosti na prvi pogled enakih dogodkov ne bosta isti. Saj je verjetnost pri prvi nalogi drugačna kot pri drugi. Prav gotovo pa ta verjetnost vpliva na končno verjetnost produkta dogodkov.

Naprej

Ugotovitev

Dogodka sta sicer enaka, dvakrat zapored potegnemo rdečo kroglico, vendar poskusa sta različna. Pri prvem poskusu na verjetnost dogodka , da bomo drugič potegnili rdečo, ne vpliva to, kaj se je zgodilo pri prvem vlečenju iz žare. Pri drugem poskusu pa je verjetnost dogodka odvisna od tega, kar se je zgodilo pri prvem vlečenju. Zato se dogovorimo:

Dogodek je odvisen od dogodka , če je verjetnost dogodka odvisna od tega, ali se je zgodil dogodek .

Nazaj Naprej

Povzetek ugotovitev pri prvi in drugi nalogi

Dogodek je v prvem poskusu neodvisen od dogodka , saj na verjetnost dogodka ne vpliva, ali se je zgodil dogodek .

Pri drugem poskusu pa je verjetnost dogodka odvisna od tega, ali se je zgodil dogodek . Dogodek je torej odvisen od dogodka .

Nazaj Naprej

Kako je torej z verjetnostjo produkta dogodkov?

Na to vprašanje bomo znali odgovoriti, ko bomo raziskali verjetnost odvisnega dogodka.

Pri drugem poskusu našega motivacijskega primera je bil dogodek odvisen od dogodka . Verjetnost dogodka zapišemo v tem primeru takole: in ji rečemo pogojna verjetnost - verjetnost dogodka pri pogoju, da se je zgodil dogodek .

Raziščimo pogojno verjetnost splošno.

Nazaj Naprej

Pogojna verjetnost

Vzemimo za začetek preprostejšo splošno okoliščino - simetrični vzorčni prostor. V njem pa naj bosta dogodka in povezana kot kaže slika. Slika

Če želimo ugotoviti pogojno verjetnost dogodka pri pogoju, da se je zgodil dogodek ), moramo preučiti zgolj del vzorčnega prostora, ki pripada dogodku . Ta dogodek pa sestavlja ugodnih elementarnih dogodkov. Da se zgodi dogodek ob pogoju, da se je zgodil dogodek , pa je ugodnih zgolj od ugodnih elementarnih dogodkov dogodka . Pri tem je število elementarnih dogodkov ugodnih za produkt (presek) dogodkov in . Po klasični definiciji verjetnosti lahko tako zapišemo:

Če ta ulomek razširimo z , kjer je število vseh elementarnih dogodkov, pa dobimo zelo zanimivo zvezo:

Nazaj Naprej

Slika

(slika1.png)

Verjetnost produkta odvisnih dogodkov

Iz prejšnje ugotovitve pa ni težko priti do zaključka o verjetnosti produkta dogodkov, ki so odvisni:

Verjetnost produkta odvisnih dogodkov izračunamo tako, da zmnožimo verjetnost enega od dogodkov in pogojno verjetnostjo drugega od dogodkov pri pogoju, da se je prvi zgodil:

Končni odgovor na 2. nalogo

Nazaj Naprej

Končni odgovor na 2. nalogo

Verjetnost, da prvikrat izvlečemo rdečo kroglico je . Verjetnost, da je tudi drugič izvlečena rdeča kroglica, pri pogoju da smo jo že prvič (pa je nismo vrnili v žaro), pa je pogojna verjetnost Zato je verjetnost dogodka, da obakrat potegnemo rdečo, enaka:

Naprej

Očitno velja

Če sta dogodka in neodvisna, velja: (saj izid dogodka B ne vpliva na verjetnost dogodka ) ali (saj izid dogodka ne vpliva na verjetnost dogodka ). Kar včasih poimenujemo kar brezpogojna verjetnost.

Tako je zveza za produkt neodvisnih dogodkov zelo preprosta:

Če sta dogodka in sta neodvisna, je verjetnost produkta dogodkov enaka produktu verjetnosti posameznih dogodkov: .

Končni odgovor na 1. nalogo

Nazaj Naprej

Končni odgovor na 1. nalogo

Če sedaj upoštevamo, da sta dogodka pri prvem poskusu neodvisna in da poznamo posamezni verjetnosti dogodkov, lahko izračunamo verjetnost dogodka, da obakrat izvlečemo rdeči kroglici, torej produkt dogodkov in :

Kar pa potrjuje, da sta dogodka iz motivacijskega primera pri prvem in drugem poskusu na videz sicer enaka, po verjetnosti pa popolnoma drugačna.

Naprej

1. Primer

Na šoli se angleški jezik uči učencev, od teh pa se jih uči tudi francoski jezik. Naključno izberemo učenca na šoli. Kolikšna je verjetnost, da se uči angleški in francoski jezik?

(Knjiga.jpg)

Odgovor

Nazaj Naprej

Namig

Namig:

Zapiši dogodke. Podatke preoblikuj v verjetnosti konkretnih dogodkov. Ugotovi, katero verjetnost sploh računaš.

Odgovor

Z označimo dogodek, da je bil izbran učenec, ki se uči angleški jezik. Z pa označimo, da je bil izbran učenec, ki se uči francoski jezik. Iz podatkov lahko preberemo: in . Izračunati pa moramo verjetnost dogodka . Uporabimo formulo za izračun produkta odvisnih dogodkov in dobimo:

Naprej

2. Primer

Tovarna izdeluje računalniške čipe. jih je kvalitetnih, preostali pa so neuporabnih. Na koncu jih stroj testira, vendar stroj je zmotljiv. Ko preverja kvaliteten čip, ga v prepozna za zanesljivega. Ko pa preverja neuporaben čip, se v zmoti in ga prepozna za uporabnega. Naključno izberemo čip. Kolikšna je verjetnost, da je ta čip neuporaben, po testiranju pa je bil označen ta uporabnega. Kolikšna je verjetnost, da je čip dejansko v redu, stroj pa ga je pri testiranju označil za neuporabnega?

(cip.jpg)

Odgovor

Nazaj Dodatne naloge

Konec

Namig

Namig

Označi dogodke. Preoblikuj podatke, da zapišeš verjetnosti določenih dogodkov. Ugotovi, kateri verjetnosti sploh računaš.

Odgovor

Označimo dogodke:

- čip je kvaliteten; - čip je neuporaben; - test je pokazal OK; - test je čip zavrnil.

Prepoznamo verjetnosti:

Katere verjetnosti računamo?

Prvič: ; drugič: . Izračunamo:

majhna verjetnost, vendar lahko naletimo ravno na takega, ki naj bi po testiranju delal, pa vendar je neuporaben.

tudi mala verjetnost, vendar pa je to dobra verjetnost, če namreč naletiš na tak čip, ki kljub vsemu dela, redkost.

Dodatne naloge

Dodatne naloge

1. Naloga

Hkrati vržemo rdečo in belo igralno kocko. Kocki sta pošteni, na ploskvah pa imata običajno razporeditev pik. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov: a) Kolikšna je verjetnost, da na obeh kockah pade šest pik (vsaki zase)?

b) Izračunaj verjetnost, da je vsota pik na kockah .

c) Kolikšna je verjetnost, da je na eni od kock šest pik, če je vsota pik enaka


Preveri

Pogled nazaj

Preskoči to nalogo

Pravilno

Naprej

Napačno

Pravilno si odgovoril na od treh vprašanj.

Dodatne naloge

2. Naloga

V žari imamo 6 rdečih, 5 modrih in 3 bele kroglice. Opazujmo dva različna poskusa, katerih skupno je, da iz žare potegnemo zapored tri kroglice. Vendar pri prvem poskusu povlečeno kroglico vrnemo, pri drugem pa povlečenih kroglic ne vračamo. Za oba poskusa izračunaj verjetnosti dogodkov:

a) Vse tri so rdeče:

  • Povlečeno kroglico vrnemo

  • Kroglic ne vračamo

b) prva je rdeča, druga je modra in tretja je bela

  • Povlečeno kroglico vrnemo

  • Kroglic ne vračamo

c) vse tri so iste barve

  • Povlečeno kroglico vrnemo

  • Kroglic ne vračamo



Preveri

Konec

Pogled nazaj

Preskoči to nalogo

Predhodna naloga

Pravilno

Naprej

Napačno

Pravilno si odgovoril na od šestih vprašanj.

Dodatne naloge

Dva amaterska lokostrelca streljata vsak po enkrat v deset centimetrsko tarčo z razdalje dvajset metrov. Verjetnost, da prvi strelec zadene je . Drugi strelec je malo slabši in njegova verjetnost zadetka tarče je . Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:
(Rezultat zaokroži na 3 decimalke natančno)

a) A - tarča ni bila zadeta, če je drugi zgrešil;

b) B - oba strelca zadeneta, pri pogoju, da je bila tarča vsaj enkrat zadeta;

c) C - prvi je zgrešil, če tarča ni bila zadeta;

d) D - drugi je zadel, pri pogoju, da je tarča zadeta natanko enkrat.


Pomoč Preveri

Konec

Pogled nazaj

Predhodna naloga

Pravilno

Konec

Napačno

Vsaj na eno vprašanje si odgovoril napačno.

Pomoč

Vzorčni prostor poskusa sestavljajo štirje elementarni dogodki: in .

Pri tem pomeni: - zadene prvi, - ne zadene prvi, - zadene drugi, - ne zadene drugi.

Verjetnosti so: in .

Dogodki so medsebojno neodvisni zato je: in - nesimetrični vzorčni prostor.

Ko imamo vse pripravljeno, lahko začnemo računati verjetnosti dogodkov , , in .

a)
b) ;
c)
d)

0%
0%