Mere variabilnosti

To pa ne bo držalo! Zneske, ki jih imajo v denarnici Primož, Veno in Luka označimo s P, V in L. Vemo, da je (P+V+L)/3=8, zato je skupni znesek res enak 24.

Odlično! Zneske, ki jih imajo v denarnici Primož, Veno in Luka označimo s P, V in L. Vemo, da je , zato je skupni znesek res enak .

Uvod

Fantje gredo na pico

Primož, Luka in Veno želijo oditi na pico in ugotovijo, da imajo v denarnicah povprečno evrov.

Ugotovi pravilnost naslednjih izjav!

2. Zneski, ki jih imajo v denarnicah trije fantje, so najbolj razpršeni v primeru, ko ima eden v denarnici evrov, drugi evrov , tretji pa nič.

Pravilno

Napačno

To pa ne bo držalo!
Največja bo razpršenost podatkov v primeru, ko ima eden ves denar, druga dva pa nič.

Odlično!
Največja bo razpršenost podatkov v primeru, ko ima eden ves denar, druga dva pa nič.

Uvod

Fantje gredo na pico

Primož, Luka in Veno želijo oditi na pico in ugotovijo, da imajo v denarnicah povprečno evrov.

Ugotovi pravilnost naslednjih izjav!

3. Zneski v denarnici so najmanj razpršeni, če imajo vsi v denarnici enak znesek, torej evrov.

Pravilno

Napačno

To pa ne bo držalo!
V opisanem primeru lahko upravičeno pričakujemo, da bo razpršenost enaka .

Odlično!
V opisanem primeru lahko upravičeno pričakujemo, da bo razpršenost enaka .

Uvod

Fantje gredo na pico

Primož, Luka in Veno želijo oditi na pico in ugotovijo, da imajo v denarnicah povprečno evrov.

Ugotovi pravilnost naslednjih izjav!

4. Glede na dane podake je čisto možno, da imajo fantje v denarnicah , oz. evrov.

Pravilno

Napačno

To pa ne bo držalo!
Aritmetična sredina tega nabora je , kar ustreza edinemu podatku, ki ga imamo.

Odlično!
Aritmetična sredina tega nabora je , kar ustreza edinemu podatku, ki ga imamo.

Uvod

Fantje gredo na pico

Primož, Luka in Veno želijo oditi na pico in ugotovijo, da imajo v denarnicah povprečno evrov.

Ugotovi pravilnost naslednjih izjav!

5. Nabori zneskov v denarnicah: , , ; , , in , , imajo enako razpršenost, pa različno aritmetično sredino.

Pravilno

Napačno

To pa ne bo držalo!
Velja ravno obratno: Aritmetična sredina je v vseh treh primerih enaka , razlika je v razpršenosti.

Odlično!
Velja ravno obratno: Aritmetična sredina je v vseh treh primerih enaka , razlika je v razpršenosti.

Kazalo po Uvodu

Uvod

Videli smo torej, da imata nabora , , in , , isto aritmetično sredino, razlikujeta pa se v razpršenosti. O tem smo se strinjali, čeprav še ni čisto jasno, kako bomo to razpršenost sploh merili. V nadaljevanju se bomo temu posvetili natančneje.

Varianca

Uvod

Če v obravnavanem primeru treh naborov podatkov izračunamo odklon, ki ga ima vsak od podatkov v naboru (označimo ga z ) od aritmetične sredine (oznaka , v našem primeru ), dobimo naslednje tri tabele:


0	-8
0	-8
24	16


8	0
8	0
8	0


5	-3
8	0
11	3

To so odmiki od srednje vrednosti. Prva misel bi bila, da bi razpršenost izmerili tako, da bi te odmike sešteli. Kolikšno vsoto dobimo v vsakem od primerov, če to zares storimo?

Preveri odgovor

Varianca

Odgovor

Vsakič dobimo vsoto odmikov enako .

To ni slučaj, radovedni bralec lahko pod naslednjim gumbom preveri, da je pri vsakem naboru zneskov v denarnici , , ta vsota vedno enaka .

Utemeljitev

Izkaže se, da ta lastnost ne velja le za naše nabore treh podatkov z aritmetično sredino , pač pa tudi splošneje, za vsak nabor podatkov. Vsota vseh odmikov od aritmetične sredine je vedno enaka .

To se zgodi zato, ker imamo pozitivne in negativne odmike, katerih vpliv se na koncu izniči.

Vsota je vedno enaka .

Varianca

Definicija

Da bi odštevanje pozitivnih in negativnih odmikov preprečili, te odmike kvadriramo. Zdaj so vsi prispevki pozitivni, zato do izničenja ne pride več. Povprečen kvadrat odmika imenujemo varianca in to bo naša mera za razpršenost podatkov.

Imejmo nabor podatkov . Aritmetično sredino tega nabora označimo z .

Varianca tega nabora podatkov je število:

To je povprečen kvadrat odmika od aritmetične sredine.

Varianca

1. Naloga

Izračunaj varianco naborov podatkov , , ; , , in , , .
(Rezultate zaokroži na dve decimalki.)

Nabor (, , ) =
Nabor (, , ) =
Nabor (, , ) =

Prikaži izračun Preveri

Pravilno si odgovoril na od treh vprašanj.

Prikaži izračun Naprej

Namig


0	-8
0	-8
24	16


8	0
8	0
8	0


5	-3
8	0
11	3

Varianca je povprečen kvadrat odmika, torej povprečna vrednost zadnjega stolpca.

Varianca

2. Naloga

Na testu iz matematike so dijaki od možnih dosegli naslednje število točk:

Izračunaj aritmetično sredino in varianco tega nabora podatkov.
(Rezultate zaokroži na dve decimalki.)
Aritmetična sredina:
Varianca:

Rešitev Preveri

Za radovedne

Glede na naše formule uporabimo v Excelu za izračuna obeh vrednosti funkciji AVERAGE (za aritmetično sredino) in VARP (za varianco).

Rešitev

Aritmetična sredina nabora je enaka , varianca pa .

Pravilno si odgovoril na od dveh vprašanj.

Kazalo po Varianci

Standardni odklon

Še bolj kot varianca nas bo zanimal kvadratni koren iz variance, ki ga imenujemo standardni odklon.

Kvadratni koren iz variance označimo z malo grško črko sigma ()in imenujemo standardni odklon ali s tujko standardna deviacija.

Za nabor podatkov z aritmetično sredino je torej standardni odklon enak:

Izračunaj standardne odklone iz 1. in 2. naloge.
(Rezultate zaokroži na dve decimalki.)

Naloga:
1. Nabor:
2. Nabor:
3. Nabor:
  Prikaži 1. Nalogo
Naloga:
Prikaži 2. Nalogo

Računanje z računalnikom

Če imamo veliko podatkov, je računanje standardnega odklona zamudno. V tem primeru si pomagamo s katerim od računalniških programov. Na sliki pod spodnjim gumbom vidimo, kako je s standardnim odklonom pri 2. nalogi opravil program Excel. V tem programu standardni odklon po naši formuli izračunamo z ukazom STDEVP (standardna deviacija na populaciji), v oklepaju pa navedemo, v katerih poljih so zapisani podatki iz našega nabora.

Pravilno si odgovoril na od štirih vprašanj.

1. Naloga

Izračunaj varianco naborov podatkov , , ; , , in , , .
(Rezultat zaokroži na dve decimalki.)

2. Naloga

Na testu iz matematike so dijaki od možnih dosegli naslednje število točk:

Izračunaj aritmetično sredino in varianco tega nabora podatkov.
(Rezultat zaokroži na dve decimalki.)

Pomen standardnega odklona

Kot vidimo, z uporabo računalnika standardnega odklona nabora podatkov ni težko izračunati, tudi če je nabor kar zajeten. Zato se v nadaljevanju ne bomo več ukvarjali z računanjem, pač pa bomo poskusili zaslutiti, kaj na ta podatek sporoča.

Pomen standardnega odklona

Temperature v šestih mestih sveta

V spodnji tabeli so vpisani podatki o povprečnih najvišjih dnevnih temperaturah v mesecih januarju, aprilu, juliju in oktobru v petih različnih krajih na svetu. Podatki so pridobljeni s spletnih strani Agencije za okolje RS in spletne strani infoplease.com.

Za vsak kraj posebej izračunamo aritmetično sredino nabora štirih podatkov in standardni odklon tega nabora. Večina podatkov je že vnešenih, manjkajoče pa izračunaj in vstavi (pomagaš si lahko npr. z Excelom). Rezultate zaokroži na dve decimalki.

	jan	apr	jul	okt	ar. sredina	st. odklon
Ljubljana	3	16	28	16		8,84
Atene	12	19	32	23	21,50
Moskva	-6	8	24	8	8,50
Nairobi	25	24	21	25	23,75
Alcapulco	31	31	32	32
Vancouver	6	13	22	14		5,67

Prikaži odgovor Preveri

Tvoj rezultat je

Odgovor

	jan	apr	jul	okt	ar. sredina	st. odklon
Ljubljana	3	16	28	16	15,75	8,84
Atene	12	19	32	23	21,50	7,23
Moskva	-6	8	24	8	8,50	10,62
Nairobi	25	24	21	25	23,75	1,64
Alcapulco	31	31	32	32	31,50	0,50
Vancouver	6	13	22	14	13,75	5,67

Poskusi ponovno

Pomen standardnega odklona

Preizkusi svoje razumevanje podatkov

Ugotovi pravilnost naslednjih izjav.

Najmanjši standardni odklon opazimo pri Acapulcu, drugi najmanjši pa pri Nairobiju.

Pravilno

Napačno
Zgornje dejstvo pomeni, da so temperature v Acapulcu in Nairobiju med vsemi navedenimi mesti v povprečju najnižje.

Pravilno

Napačno
Standardi odklon za Ljubljano je manjši od tistega v Moskvi, kar kaže na to, da temperature v Moskvi skozi leto bolj nihajo kot temperature v Ljubljani.

Pravilno

Napačno

Temperature v 6. mestih sveta

Temperature v 6. mestih sveta

	jan	apr	jul	okt	ar. sredina	st. odklon
Ljubljana	3	16	28	16	15,75	8,84
Atene	12	19	32	23	21,50	7,23
Moskva	-6	8	24	8	8,50	10,62
Nairobi	25	24	21	25	23,75	1,64
Alcapulco	31	31	32	32	31,50	0,50
Vancouver	6	13	22	14	13,75	5,67

Pravilno!

Ponovno preveri 1. izjavo.

Ponovno preveri 2. izjavo.

Ponovno preveri 3. izjavo.

Ponovno preveri 1. in 2. izjavo.

Ponovno preveri 1. in 3. izjavo.

Ponovno preveri 2. in 3. izjavo.

Ponovno preveri vse tri izjave.

Pomen standardnega odklona

Povzetek

Na podlagi izkušnje s tem primerom, pa tudi razmislekov v teku same vpeljave standardnega odklona, lahko zaključimo naslednje:

Standardni odklon je mera za razpršenost podatkov. Majhen standardni odklon pomeni, da so podatki blizu skupaj, velik pa, da so bolj razmetani.

Če imamo podana dva podatka: aritmetično sredino in standardni odklon, je slika o naboru podatkov jasnejša, kot če bi imeli samo prvi podatek.

Tako npr. podatka iz zgornjega primera za Atene in Nairobi sporočata, da sta povprečni temperaturi v mestih sorazmerno podobni, da pa v Atenah lahko pričakujemo tudi bistveno drugačne temperature od povprečne; v Nairobiju pa bi bila bistveno drugačna temperatura večje presenečenje.