Imamo statistično populacijo in opazujemo vrednosti neke statistične spremenljivke na tej populaciji. Naboru vrednosti bi radi priredili neko število, ki bi najbolje povzelo celotni nabor in s tem podalo neko sežeto informacijo o populaciji.

Najbolj znana tovrstna sredina je aritmetična sredina.

Naloga:

1. Denimo, da imajo Primož, Veno, Tomi in Gregor v svojih denarnicah , , in evrov. Izračunaj aritmetično sredino tega nabora podatkov!
   Aritmetična sredina:
   Prikaži odgovor

2. Kateri odgovor o pomenu aritmetične sredine v zgornjem primeru se ti zdi najbliže resnice?
   

   To je znesek na sredini med največjim in najmanjšim podatkom.

   To je znesek, ki bi ga imel vsak od fantov, če bi denar združili in ga potem enakomerno razdelili.

   To je znesek, od katerega je polovica podatkov manjša in polovica večja.

Preveri

Aritmetične sredine ni težko izračunati. Nekaj več previdnosti je potrebne, če imamo veliko podatkov ali če so ti podani s pomočjo frekvenc.

V prvem primeru si lahko pomagamo tudi z računalnikom.

V raziskavi o porabi goriva modela Alfa Romeo so izbrali voznikov (označili smo jih s črkami , , , ...), ki so skozi cel mesec spremljali količino porabljenega bencina in število prevoženih kilometrov. V spodnji tabeli so podatki o povprečni porabi vsakega od voznikov v tem enomesečnem obdobju (v litrih na km). Izračunaj aritmetično sredino tega nabora podatkov!

Rezultat preveri pod spodnjim gumbom. Tam smo aritmetično sredino nabora izračunali z Microsoftovim programom Excel, kjer smo uporabili funkcijo AVERIGE, ki je angleška beseda za povprečje, torej za aritmetično sredino.

Rezultat

Pri določanju mediane je pomembno, ali je število podatkov v naboru liho ali sodo. Preprostejši je "lihi" primer, zato začnimo z njim.

Denimo, da imamo nabor naslednjih devetih podatkov: Podatke najprej uredimo od največjega do najmanjšega: Nato podčrtamo največje in najmanjše število v naboru in ostane nam le še števil. Postopek nadaljujemo, dokler nam ne ostane le še eno število. To število je potem mediana našega nabora:
Mediana

Mediana nabora je torej enaka . V urejenem naboru podatkov je to vrednost, ki nastopa točno na sredini: štiri števila v naboru so manjša in štiri so večja.

Če bi na podoben način postopali v primeru, ko bi v naboru imeli sodo mnogo podatkov, bi nam po zaporednem podčrtovanju v nekem trenutku ostali dve števili. Po dogovoru je mediana aritmetična sredina teh dveh.

Oglejmo si to na primeru nabora podatkov: .
Mediana

Mediana tega nabora podatkov je torej . Zapomnimo si:

Izpeljava lastnosti mediane

Manj pogumnim predlagam, da delo nadaljujejo v naslednjem poglavju z naslovom Nobena srednja vrednost ni brez napak.

Z bolj pogumnimi pa bomo na podlagi obravnavanih dveh primerov v splošnem izpeljali eno ključnih lastnosti mediane. Ločeno bomo obravnavali možnosti, ko imamo v naboru liho oz. sodo podatkov.

Če je v naboru liho, recimo podatkov, v postopku podčrtovanja podčrtamo najmanjših in največjih števil, ostane nam tisto na sredi, ki je mediana. V tem primeru v naboru je števil, ki so manjša ali enaka mediani (podčrtana manjša števila in mediana sama) in prav tako števil, ki so večja ali enaka mediani. Ob tem opazimo, da je podatkov več kot polovica vseh podatkov.

Če je v naboru sodo, recimo števil, podčrtujemo tako dolgo, da nam ostanete le še dve števili in mediana je aritmetična sredina preostalih dveh števil. V tem primeru je števil manjših ali enakih mediani in prav tako števil večjih ali enakih.

Na ta način pridemo do naslednjega sklepa:

Oglejmo si relativne frekvence in komulativo relativnih frekvenc v primeru ocen za film Babilon. Podatki so zbrani v naslednji tabeli: ocena rel. frek.

Spomnimo se, kaj komulativa relativnih frekvenc sploh pomeni. Podatek pri oceni pomeni, da je gledalcev filmu prisodilo oceno, manjšo od .

Premislimo, kako bi na podlagi te tabele takoj uganili, da je mediana tega nabora enaka .

Dopolni mankajoča polja

(Decimalna števila zaokroži na 3 decimalna mesta, odstotke pa na eno decimalno mesto)

Procent gledalcev, ki je filmu prisodil oceno, manjšo ali enako , je enak procentu gledalcev, ki je filmu prisodil oceno, strogo manjšo od naravnega števila . Ta delež znaša ali . To je manj več kot polovica vseh. Zato število ni mediana nabora. Število je za mediano premajhno preveliko .

Kaj pa število ? Procent gledalcev, ki je filmu prisodil oceno, manjšo ali enako , je enak procentu gledalcev, ki je filmu prisodil oceno, strogo manjšo od naravnega števila . Ta delež znaša . To je več manj kot polovica vseh. Procent gledalcev, ki so filmi prisodili oceno, večjo ali enako , je enak - procent gledalcev, ki so filmu prisodili oceno, strogo manjšo od , torej - = . Tudi to je več manj kot polovica vseh. Zato je mediana našega nabora.

Preveri Prikaži odgovore

Ključno pri tem, da je mediana , je bilo torej to, da je komulativa relativnih frekvenc pri vrednosti znašala manj kot , pri naslednji vrednosti pa že več kot . Prvi podatek zagotavlja, da je vsaj pol podatkov večjih ali enakih , drugi pa, da jih je vsaj pol manjših ali enakih .

Nabor podatkov skušamo povzeti z enim samim številom, zato ne smemo biti presenečeni, če to število ne bo uspelo sporočiti vsega. Nekaj informacije o naboru se zagotovo izgubi. Na spodnjih treh primerih bomo spoznali ključne pomanjkljivosti vsake od treh srednjih vrednosti.

Pri aritmetični sredini aktivno nastopajo vsi podatki iz nabora, zato en sam podatek lahko aritmatično sredino bistveno spremeni. To včasih zamegli situacijo.

Primer 1: Denimo, dnevni zaslužek v neki afriški vasici znaša 1 dolar za vsakega od 99 običajnih vaščanov, lokalni mogotec pa zasluži 1001 dolar dnevno. Kolikšen je povprečni dnevni dohodek? Poleg aritmetične sredine izračunaj tudi modus in mediano.

Aritmetična sredina:
Modus:
Mediana:

Prikaži odgovor Preveri

En sam visok podatek je izrazito dvignil povprečje in s tem zameglil informacijo o stanju v afriški vasici.

Primer 2: Na tekmovanju za Miss tropic člani žirije ocenjujejo dekleta z ocenami od do . Od šestih članov komisije sta dva podkupljena in želita doseči, da bi namesto dekleta zmagalo dekle . Ocene sodnikov za omenjeni dve dekleti so naslednje:

Izračunaj aritmetično sredino ocen za vsako od deklet. Določi tudi mediano in modus.
(Rezultat zaokroži na 2 decimalni mesti.)

Dekle A:

• aritmetična sredina =
• modus =
• mediana =

Dekle D:

• aritmetična sredina =
• modus =
• mediana =

Prikaži odgovor Preveri

Primer 2: Na tekmovanju za Miss tropic člani žirije ocenjujejo dekleta z ocenami od do . Od šestih članov komisije sta dva podkupljena in želita doseči, da bi namesto dekleta zmagalo dekle . Ocene sodnikov za omenjeni dve dekleti so naslednje:

Kakšen bi bil izid tekmovanja, če bi za kriterij končne ocene uporabili vsako od treh mer srednjih vrednosti?

Če bi bil kriterij aritmetična sredina:

Če bi bi kriterij mediana:

Če bi bi kriterij modus:

Prikaži odgovor Preveri

Če bi bil kriterij aritmetična sredina, bi bilo dekle D boljše od dekleta A. Pristranska sodnika sta bistveno vplivala na aritmetično sredino.

Če bi bi kriterij mediana ali modus, bi bilo boljše dekle A.

Tudi modus ni brezhiben. Že zgoraj smo omenili, da včasih modus sploh ni en sam. Zlahka tudi najdemo primer, ko nam modus ne prinaša kakega zelo informativnega podatka o naboru.

Primer 3: Določi modus nabora . Določi tudi aritmetično sredino in mediano tega nabora. (Rezultat zaokroži na 2 decimalni mesti.)

Modus =

Aritmetična sredina =

Mediana =

Prikaži odgovor Preveri

Dejstvo, da se je podatek kot edini dvakrat ponovil, nam o naboru kor celoti ne sporoča kaj prida.

Tudi mediana nam včasih sporoči rezultat, ki utegne biti zavajajoč.

Primer 4: Določi mediano nabora podatkov, v katerem krat nastopa število in krat število . Absolutna frekvenca vrednosti je torej enaka , absolutna frekvenca vrednosti pa . Določi tudi aritmetično sredino in mediano.
(Rezultat zaokroži na 2 decimalni mesti.)

Prikaži odgovor Preveri

Mediana =

Aritmetična sredina =

Modus =

Povzemimo:

1. Naloga

Komisija na gledališkem festivalu je sestavljena iz osmih članov. Vsak od njih je ocenil gledališko predstavo z oceno v razponu od do . Ocene so naslednje: . Izračunaj modus, aritmetično sredino in mediano tega nabora podatkov.
(Rezultat zaokroži na eno decimalno mesto.)

Mediana =

Aritmetična sredina =

Modus =

Preveri

Kateri od teh se ti zdi najbolj smiselna končna ocena celotne komisije?

Prikaži odgovor

2. Naloga

Spodnji niz podatkov prinaša informacijo s spletne strani IMDB o tem, kako so filmski gledalci ocenili film Večno sonce brezmadežnega uma. števila zaporedoma pomenijo koliko od gledalcev, ki so do ocenili film, je filmu namenilo posamezno oceno:

a) Izračunaj:
(Rezultat zaokroži na eno decimalno mesto.)

• Aritmetična sredina =
• Modus =
• Mediana =

Preveri

Nalogi, označeni z (*) sta zahtevnejši in namenjeni samo bolj ”pogumnim”.

2. Naloga

Spodnji niz podatkov prinaša informacijo s spletne strani IMDB o tem, kako so filmski gledalci ocenili film Večno sonce brezmadežnega uma. števila zaporedoma pomenijo koliko od gledalcev, ki so do ocenili film, je filmu namenilo posamezno oceno:

b) Izračunaj: relativne frekvence vsake od ocen v procentih.
(Rezultat zaokroži na eno decimalno mesto.)

Preveri

Nalogi, označeni z (*) sta zahtevnejši in namenjeni samo bolj ”pogumnim”.

2. Naloga

Spodnji niz podatkov prinaša informacijo s spletne strani IMDB o tem, kako so filmski gledalci ocenili film Večno sonce brezmadežnega uma. števila zaporedoma pomenijo koliko od gledalcev, ki so do ocenili film, je filmu namenilo posamezno oceno:

c) Aritmetično sredino izračunaj tudi s pomočjo relativnih frekvenc. (*)

Aritmetična sredina =

Preveri

Nalogi, označeni z (*) sta zahtevnejši in namenjeni samo bolj ”pogumnim”.

2. Naloga

Spodnji niz podatkov prinaša informacijo s spletne strani IMDB o tem, kako so filmski gledalci ocenili film Večno sonce brezmadežnega uma. števila zaporedoma pomenijo koliko od gledalcev, ki so do ocenili film, je filmu namenilo posamezno oceno:

d) Izračunaj komulativo relativnih frekvenc.
(Rezultat zaokroži na 3 decimalna mesta.)

Preveri

Po vzoru primera iz gradiva na tej podlagi znova določi mediano.(*)

Odgovor

Nalogi, označeni z (*) sta zahtevnejši in namenjeni samo bolj ”pogumnim”.

3. Naloga

Naboru dodaj eno število tako, da bo:

a) modus novega nabora enak 7;
Dodano število =

b) aritmetična sredina novega nabora enaka 5; Dodano število =

c) mediana novega nabora enaka 5; Dodano število =

d) modus novega nabora en sam in bo enak mediani novega nabora. Dodano število =

Preveri