Osnovni srednješolski primer "uporabe" kompleksnih števil je izračun vseh rešitev kvadratne enačbe (ker znamo izračunati kvadratni koren poljubnega realnega števila), kasneje pa še rešitev nekaterih polinomskih enačb. Ostali primeri uporabe zahtevajo poznavanje dodatne teorije in v tem poglavju bomo zato spoznali še drugačen zapis kompleksnih števil - polarni zapis, ki nam omogoča geometrijsko razlago množenja in deljenja, pa tudi dokaj enostavno računanje potenc in korenov poljubnega kompleksnega števila (teh ne bomo posebej obravnavali). S tem seznamom lastnosti smo komaj malenkost odškrnili vrata v kraljestvo kompleknih števil, njegov ogled pa bo prihranjen posameznikom na nekaterih naravoslovno-tehniških študijih.

Preden pa zaplujemo na bolj odprto morje, moramo ponoviti osnove jadranja v plitvinah. Preizkusiš se lahko z naslednjim testom (ki pa ga lahko po lastni presoji tudi preskočiš).

V nadaljevanju se boš preizkusil v reševanju enačb, pri katerih je potrebno osnovno znanje o kompleksnih številih. Pri vseh nalogah je treba poiskati vse rešitve - tudi kompleksne.

1. Izračunaj rešitve enačbe .

Reši enačbo .

Poišči vsa kompleksna števila , za katera velja .

Izračunaj kompleksno število , za katero velja:

in .

V kompleksni ravnini nariši naslednje množice točk:

Kompleksno število , zapisano v obliki dvočlenika, smo zapisali tudi v obliki urejenega para kot . S koordinatama in je lega točke v ravnini natančno (in enolično) določena: koordinata nam pove razdaljo in lego točke glede na imaginarno os, koordinata pa razdaljo in lego točke glede na realno os.

Kartezične koordinate

Podobno kot lahko mesto človeka v naravi opišemo z biološkega, kemijskega, sociološkega ali teološkega stališča, lahko tudi lego točke v (kompleksni) ravnini opišemo še na kak drug način kot zgolj s pravokotnima kartezičnima koordinatama. Poglejmo si še en zanimiv pristop, ki je običajen v matematiki.

Pri definiciji si zaradi večje nazornosti pomagajmo s središčnim kotom v poljubni krožnici.

radian je velikost središčnega kota v krožnici, pri katerem je dolžina pripadajočega krožnega loka enaka polmeru krožnice.

Zanima nas, koliko meri kot velikosti radian v kotnih stopinjah. S črko označimo njegovo velikost v kotnih stopinjah, z pa polmer krožnice. Po formuli za dolžino krožnega loka in po zgornji definiciji lahko zapišemo:

Pri preračunavanju med kotnimi stopinjami in radiani pa si lahko (poleg žepnega računala) vedno pomagamo s sklepnim računom in nastavkom:

kjer je kot v stopinjah, pa isti kot v radianih.

Na spodnji sliki je prikazana točka , katere lego lahko natančno opišemo z njenima kartezičnima koordinatama in , lahko pa tudi s polarnima koordinatama in (glej sliko), kjer je razdalja od točke do koordinatnega izhodišča (torej ), pa kot, ki ga oklepa krajevni vektor točke s pozitivnim poltrakom realne osi, merjen v pozitivni smeri (nasprotna smer urnega kazalca). Kot običajno merimo v radianih (lahko pa bi ga tudi v kotnih stopinjah, le vse kasnejše pogoje in formule moramo temu ustrezno prilagoditi).

Premikaj točko in opazuj spreminjanje njenih kartezičnih in polarnih koordinat.

S pomočjo zgornje slike poiščimo še zvezo med polarnimi in kartezičnimi koordinatami.

Ob upoštevanju zgornjih zvez lahko sedaj kompleksno število zapišemo še drugače:

Povzemimo našo ugotovitev.

Poleg zgornjih zapisov uporabljamo še zapis:

na matematično-tehniških študijih pa tudi Eulerjev zapis kompleksnega števila:

kjer je in .

Kompleksno število zapiši v polarni obliki.

V enačbo vstavimo , in dobimo

= (ko vpišeš številko, pritisni enter za izpis te številke v naslednjem rezultatu)

Polarni zapis kompleksnega števila je v našem primeru torej

Število zapiši v obliki s kartezičnimi koordinatami oziroma v obliki dvočlenika.

Poveži naslednja števila z njihovimi zapisi v polarni obliki.

Polarni zapis nam najlepše razkriva geometrijsko naravo množenja in deljenja kompleksnih števil. V nadaljevanju bomo izpeljali formulo za množenje v polarnem zapisu, pri izpeljavi pa bomo privzeli veljavnost dveh zvez (ker ju morda še nisi spoznal):

Tema zvezama rečemo adicijska izreka in ju izpeljemo pri obravnavi kotnih funkcij (njuno izpeljavo si lahko ogledaš kar tam).

Pa si poglejmo: naj bosta dani kompleksni števili v polarnem zapisu in . Tedaj velja:

Dobljen rezultat lahko strnemo v naslednjo ugotovitev.

Zgornjo ugotovitev lahko še enkrat preizkusiš tudi na spodnji konstrukciji s premikanjem točk in in opazovanjem zvez med polarnimi koordinatami števil , in . Pri tem moramo morebitne kote, večje od radianov, zmanjšati za vrednost , da bodo ležali med in , kot smo na začetku definirali.

Za nekaj trenutkov se vrni k formuli za množenje kompleksnih števil v polarnem zapisu in poskusi odgovoriti: kaj bi dobil, če bi izračunal produkt dveh enakih kompleksnih števil ? In kaj v primeru produkta treh enakih števil ?

Produkta in lahko zapišemo krajše v obliki potenc in . Ugotovimo lahko torej, kako izračunati potence kompleksnega števila v polarnem zapisu:

- v primeru seštejemo argument števila (dobimo ) in zmnožimo absolutno vrednost števila (dobimo );

- v primeru trikrat seštejemo argument števila (dobimo ) in trikrat zmnožimo absolutno vrednost števila (dobimo );

- v primeru -krat seštejemo argument števila (dobimo ) in -krat zmnožimo absolutno vrednost števila (dobimo ).

Zapišimo to ugotovitev na kratko.

Zgled 1
Naloga

Izračunaj , če je

Zgled 2
Potence kompleksnih števil z lastnostjo ali imajo zanimive geometrijske upodobitve.

Na spodnji animaciji so prikazane potence števila

Potence števila se v kompleksni ravnini ciklično ponavljajo na šestih točkah in vse ležijo na enotski krožnici. Za vajo izračunaj približke njihovih vrednosti.

Poveži.

V prejšnjem primeru je bil argument števila približno . Sedaj pa argument samo malo spremenimo na in opazujmo spremembo leg potenc novega števila

Tokrat se potence števila ne ponavljajo ciklično, ampak pokrijejo celotno enotsko krožnico (ko naraste čez vse meje). Takšnemu pojavu, ko majhna sprememba vhodnih podatkov povzroči veliko spremembo izhodnih vrednosti, pravimo kaotična odvisnost. S preučevanjem takšnih pojavov se posebej ukvarja ena najmlajših vej matematike, ki zajema teorijo dinamičnih sistemov in teorijo kaosa.

Za konec si bomo ogledali še potence števila

Ker je absolutna vrednost števila z večja od , bomo pri potenciranju dobili vrednosti, ki bodo naraščale čez vse meje, torej se bodo potence oddaljevale od izhodišča. Hkrati se bodo spreminjali tudi argumenti števila . Ali lahko predvidiš, kakšno sliko bomo dobili?

Izziv
S formulo za računanje potenc kompleksnega števila izpelji pravilo za deljenje kompleksnih števil v polarnem zapisu.

Poišči vse rešitve enačbe

Kaj predstavlja množica kompleksnih Števil z lastnostjo ?

To je točka . krog s središčem v točki in radijem . notranjost kroga s središčem v točki in radijem . zunanjost kroga s središčem v točki in radijem . krožnica s središčem v točki in radijem .

Kaj je značilno za kvadratne enačbe, ki imajo za rešitvi kompleksni števili in , ki nista konjugirani par in ni hkrati ? Zapiši primer kvadratne enačbe z rešitvama in .

Kakšen je geometrijski pomen množenja kompleksnih števil z imaginarno enoto ? Utemelji.