Zaporedja - uvod

Namig

Pravilno

Napačno

3. naloga

Dano je zaporedje $1, 3, 5...$ Na podlagi prvih treh členov poskusi razbrati predpis za splošni člen danega zaporedja.

$a_n =2n -1$

$a_n=–n^3+6n^2–9n+5$

$a_n = n+3$

$a_n = n^2$

Zapomnimo si, da zaporedje z danimi nekaj začetnimi členi ni enolično določeno.

Narobe

Rešitve:

Pravilna odgovora sta:

$a_n =2n -1$ in $a_n=–n^3+6n^2–9n+5$

Narobe

Izbral si odgovor(a) preveč.

Nepopolno

Preveri še kakšno zaporedje.

Pravilno

Napačno

Graf zaporedja

Videli smo že, da je zaporedje pravzaprav funkcija, zato se ne moremo izogniti grafu zaporedja.

Najprej se spomnimo, kaj je graf realne funkcije in na podlagi tega sklepajmo kaj je graf zaporedja.

Graf zaporedja je množica točk $(x, y)$ v koordinatnem sistemu, katerih abscisa $x$ je enaka $n$ , ordinata $y$ pa $a_n$ .

$\Gamma_a=\{(n, a_n); n \in \mathbb{N} \}$

Graf zaporedja je diskretna funkcija!

Nariši graf zaporedja podanega s splošnim členom $a_n=n^2–6n+5$ in graf funkcije $f(x)=x^2–6x+5$

Prikaži grafa

Graf funkcije

Graf funkcije

Graf realne funkcije je množica točk $(x, y)$ v koordinatnem sistemu, katerih abscisa je enaka vrednosti neodvisne spremenljivke $x$ iz definicijskega območja, ordinata $y$ pa je enaka vrednost funkcije $f$ v točki $x$ $(y=f(x))$ .

$\Gamma_f = \{(x,f(x)); x \in D_f \}$

4. naloga

Oglej si graf zaporedja na sliki in odgovori na naslednja vprašanja:

1. Tretji člen zaporedja je enak:

$-3$

$-4$

$4$

Napačno

Ne bo držalo! Na grafu poglej vrednost zaporedja pri $n=3$ .

Pravilno

4. naloga

Oglej si graf zaporedja na sliki in odgovori na naslednja vprašanja:

2. Narisan je graf zaporedja podanega s predpisom:

$(-1)^n$

$n^2$

$(-1)^n \cdot n$

Napačno

Pravilno

4. naloga

Oglej si graf zaporedja na sliki in odgovori na naslednja vprašanja:

3. Petinštirideseti člen zaporedja je enak

$(-45)^n$

$45$

$-1$

Namig Preveri

Namig

Pomagaj si s splošnim členom, ki si ga uganil pri prejšnji nalogi.

Napačno

Pravilno

Primeri nekaj posebnih zaporedij

Konstantno zaporedje

Zapiši nekaj začetnih členov zaporedja $a_n=3$ in jih v koordinatnem sistemu postavi na pravo mesto.

Koordinatni sistem

Takemu zaporedju, pri katerem so členi neodvisni od n, pravimo konstantno zaporedje

Sklop - Primeri nekaj posebnih zaporedij:

Koordinatni sistem

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Geogebra datoteka

Primeri nekaj posebnih zaporedij

Rekurzivno zaporedje

Primer rekurzivno podanega zaporedja je Fibonaccijevo zaporedje:

$a_1=1, a_2=1, a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$

Iz zgornjega predpisa vidiš, da vsak člen (od tretjega naprej) dobimo tako, da seštejemo člena pred njim. Izračunaj še nekaj naslednjih členov tega zaporedja.

$a_3 =$

$a_5 =$

$a_6 =$

Zaporedju, pri katerem imamo podanih nekaj začetnih členov zaporedja in pravilo po katerem računamo člene s pomočjo prejšnjih, pravimo rekurzivno podano zaporedje.

Sklop - Primeri nekaj posebnih zaporedij:

Pravilno

Narobe

Pomoč:

$a_3=a_{1+2}=a_2 + a_2+1$

Narobe

Rešitev: $a_3=2, a_4=3, a_5=5, a_6=8, \dots$

Primeri nekaj posebnih zaporedij

5. Naloga

Zapiši prvih sedem členov zaporedja, če je $a_1=4, a_{n+1}=2a_n–7$ .

$a_1 =$

$a_2 =$

$a_3 =$

$a_4 =$

$a_5 =$

$a_6 =$

$a_7 =$

Sklop - Primeri nekaj posebnih zaporedij:

Narobe

Preberi si navodilo naloge!

Pravilno

Narobe

Rezultat: /7.
Poskusi ponovno.

Narobe

Pomoč:

Očitno je $a_2=2a_1–7$ . Zato je $a_2=1$ .

$a_3=2a_2–7 \Rightarrow a_3=–5$

$a_4=2a_3–7 \Rightarrow a_4=–17$

$a_5=2a_4–7 \Rightarrow a_5=–41$

$a_6=2a_5–7 \Rightarrow a_6=–89$

$a_7=2a_6–7 \Rightarrow a_7=–185$

Primeri nekaj posebnih zaporedij

Alternirajoče zaporedje

Kadar si pri zaporedju izmenično sledijo pozitivni in negativni členi govorimo o alternirajočem zaporedju.

Pri 4. nalogi gre za alternirajoče zaporedje. Takšno je tudi zaporedje podano s splošnim členom $a_n=(-1)^{n+1}$ . Zapiši nekaj členov in ji postavi na pravo mesto v spodnjem koordinatnem sistemu.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Geogebra datoteka

Sklop - Primeri nekaj posebnih zaporedij:

Kazalo po:

Primeri nekaj posebnih zaporedij

Dodatne naloge

1. naloga

Zapiši prvih pet členov zaporedja.

$a_n = 7n - 5$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$2$

$9$

$16$

$23$

$30$

$14$

Narobe

Rešitev:
$a_1 = 2, a_2 = 9, a_3= 16, a_4 = 23, a_5 = 30$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Dodatne naloge

2. naloga

Zapiši prvih pet členov zaporedja.

$a_n = \frac{4n + 3}{5n - 1}$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$\frac{7}{4}$

$\frac{11}{9}$

$\frac{15}{14}$

$1$

$\frac{23}{24}$

$\sqrt{2}$

Narobe

Rešitev:
$a_1 = \frac{7}{4}, a_2 = \frac{11}{9}, a_3= \frac{15}{14}, a_4 = 1, a_5 = \frac{23}{24}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Dodatne naloge

3. naloga

Zapiši prvih pet členov zaporedja.

$a_n = (-1)^n \sqrt{n}$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$-1$

$\sqrt{2}$

$- \sqrt{3}$

$2$

$-\sqrt{5}$

$-\sqrt{2}$

Narobe

Rešitev:
$a_1 = -1, a_2 = \sqrt{2}, a_3= -\sqrt{3}, a_4 = 2, a_5 = -\sqrt{5}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Dodatne naloge

4. naloga

Zapiši prvih pet členov zaporedja.

$a_n = \begin{cases} (-1)^n & 2 \not{\mid} n \\ n & 2 \mid n \end{cases}$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$-1$

$2$

$4$

$-\sqrt{2}$

$3$

$14$

$16$

Narobe

Rešitev:
$a_1 = -1, a_2 = 2, a_3= -1, a_4 = 4, a_5 = -1$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Dodatne naloge

5. naloga

Zapiši prvih pet členov zaporedja.

$a_n = \cos{\frac{n \pi}{4}}$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$0$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-1$

$-\sqrt{2}$

$3$

$2$

Narobe

Rešitev:
$a_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}, a_2 = 0, a_3= -\frac{\sqrt{2}}{2}, a_4 = -1, a_5 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Dodatne naloge

6. naloga

Zapiši prvih pet členov zaporedja.

$a_n = \log{10n}$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$1$

$1+ \log{2}$

$1+\log{3}$

$1+\log{4}$

$1+\log{5}$

$\log{3}$

Narobe

Rešitev:
$a_1 = 1, a_2 = 1+\log{2}, a_3= 1+\log{3}, a_4 = 1+\log{4}, a_5 = 1+\log{5}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Dodatne naloge

7. naloga

Zapiši prvih pet členov zaporedja.

$a_1 = 5; a_{n+1} = 2a_n + 3$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$5$

$13$

$29$

$61$

$125$

$\frac{2}{3}$

Narobe

Rešitev:
$a_1 = 5, a_2 = 13, a_3= 29, a_4 = 61, a_5 = 125$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Dodatne naloge

8. naloga

Zapiši prvih pet členov zaporedja.

$a_1 = 2; a_2 = 3; a_{n+2} = \frac{2a_n + 3}{a_{n+1}}$

$a_1$

$a_2$

$a_3$

$a_4$

$a_5$

$2$

$3$

$\frac{7}{3}$

$\frac{27}{7}$

$\frac{161}{81}$

$\frac{2}{3}$

Narobe

Rešitev:
$a_1 = 2, a_2 = 3, a_3= \frac{7}{3}, a_4 = \frac{27}{7}, a_5 = \frac{161}{81}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno