Ko želimo opisati odnos med dvema količinama, zapišemo to s funkcijskim predpisom. Včasih zadostujejo zgolj elementarne funkcije, včasih je treba elementarne funkcije seštevati, množiti ali deliti. To pa vedno ne reši vsake take naloge. Nove funkcije lahko tvorimo tudi tako, da jih sestavimo (komponiramo) iz ustreznih elementarnih funkcij. Pri tem moramo biti pozorni na definicijska območja in zaloge vrednosti uporabljenih funkcij.

Imejmo dani funkciji $f:A \to B$ in $g:B \to C$, za kateri velja:

• definicijsko območje funkcije $f$ je (zelena) množica $A$;
  
• zaloga vrednosti funkcije $f$ je (rdeča) množica $f(A)$, ki je del (modre) množice $B$;
  
• množica $B$ je definicijsko območje funkcije $g$;
  
• element $f(x)$ iz $B$ torej lahko preslikamo s funkcijo $g$. Slika leži v (rumeni) množici $C$.

Kompozitum točko $x$ preslika v točko $g(f(x))$ ali drugače označeno $(g \circ f)(x)$.

Animacija sestavljene funkcije

Riš datoteka

Animacija kaže, da pri sestavljeni funkciji $g \circ f$ najprej element $x$ iz zelene množice $A$ zagrabi funkcija $f$ in ga preslika v $f(x)$ v rdeči množici $f(A)$. Nato ta element, $f(x)$, ki je hkrati v modri množici $B$, zagrabi še funkcija $g$ in ga preslika v končni element $g(f(x))$ rumene množice $C$. Torej, najprej deluje funkcija $f$, nato funkcija $g$, čeprav je v zapisu $g \circ f$ funkcija $g$ zapisana na prvem mestu.

Ko imamo predpis sestavljene funkcije, seveda ni treba razmišljati o vmesni vrednosti $f(x)$, ampak po predpisu kar izračunamo vrednost $g(f(x))$. To prikazuje spodnji del animirane slike.

Matematična formulacija sestavljene funkcije pa se glasi takole:

1. primer

Za realni funkciji $f(x)=\sin{x}$ in $g(x)=2x–\pi$ tvorimo sestavljeni funkciji $g \circ f$ in $f \circ g$.

V primeru funkcije $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\sin{x})$ najprej deluje funkcija $f$, nato pa še v predpis funkcije $g$ uvrstimo $f(x)$ oz. $\sin{x}$ in dobimo: $(g \circ f)(x)=2\sin{x}–\pi$.

Pri funkciji $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f{(2x–\pi)}$ pa najprej deluje funkcija $g$, nato pa funkcija $f$ in tako dobimo: $(f \circ g)(x)=\sin{(2x–\pi)}$.

Opazimo lahko, da $g \circ f \neq f \circ g$.

2. primer

Zapišimo $g \circ f$ in $f \circ g$ za funkciji $f(x)=–2x+1$ in $g(x)=x^2$.

• $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(–2x+1)=(–2x+1)^2=4x^2–4x+1$
  

• $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=–2x^2+1$.

Tudi tokrat lahko opazimo, da $g \circ f \neq f \circ g$. Zapišemo lahko:

3. primer

Kaj pa se zgodi, če komponiramo funkciji $f(x)=e^x,f:\mathbb{R}\to (0,\infty)$ in $g(x)=\ln{x},g:(0,\infty)\to\mathbb{R}?$

Poiščimo oba kompozituma, če sploh obstajata.

• $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(e^x)=ln{(e^x)}=x$, pri čemer je lahko $x$ poljubno realno število.
  

• $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(ln x)=e^{ln{x}}=x$, vendar pa je tu $x$ lahko le pozitivno realno število.

Ali pa tokrat le velja $g \circ f = f \circ g$?

Ugotovitev: Res sta predpisa obeh kompozitumov identiteti–identični preslikavi, kar je posledica zveze med tema funkcijama. Funkciji sta si namreč inverzni. Kljub temu pa kompozituma nista enaka: $g \circ f \neq f \circ g$, saj definicijski območji posameznih kompozitumov nista enaki: prvi ima definicijsko območje $\mathbb{R}$, drugi pa zgolj $(0,\infty)$. Dve funkciji, recimo $f_1:U \to V$ in $f_2:W \to Z$, sta namreč enaki ne le, če imata isti predpis, pač pa se morata ujemati tudi v domeni (definicijskem območju) in kodomeni: $U=W$ in $V=Z$.

Lahko pa trdimo, da je kompozitum inverznih funkcij identiteta, funkcija, pri kateri se $x$ preslika v $x$.

Poglejmo izpeljavo tega dejstva. Spomnimo se, kaj že vemo o inverznih funkcijah.

Vsaka funkcija $f$ nima inverzne. Da obstaja inverzna funkcija $f^{-1}$, mora biti funkcija $f: A \to B$ vsaj injektivna (zaželeno bijektivna). Funkcija $f$ mora torej različne elemente preslikati v različne slike.

Če torej inverzna funkcija $f^{-1}$ obstaja, le-ta slika iz zaloge vrednosti funkcije $f(A)$ nazaj v množico $A$. Slikam funkcije $f$ priredi nazaj originale. Konkretno, če funkcija $f$ preslika $x$ v $y$, potem mora $f^{-1}$ preslikati $y$ nazaj v $x$ (glej spodnjo sliko).

3. primer

Kaj se zgodi, če iz teh funkcij tvorimo sestavljeno funkcijo?

$(f^{-1} \circ f)(x)=f ^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x$: torej, kar smo vstavili, smo tudi dobili – identiteta.

$(f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y$: spet dobimo, kar smo vstavili – identiteta.

Torej je res:

Poudariti moramo, da gre pri $f^{-1} \circ f$ za identiteto iz $A$ v $A$, pri $f \circ f^{-1}$ pa za identiteto iz $B$ v $B$.

Pokaži, da je funkcija $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},f(x)=2x+1$ inverzna funkcija funkcije $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},g(x)=\frac{1}{2}x–\frac{1}{2}$.

Odgovor: Da bi bilo to res, mora biti njun kompozitum identiteta. Izračunajmo: $g \circ f$ ali $f \circ g$.

$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+1)=\frac{1}{2}\cdot(2x+1)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \cdot 2x+\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}=x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=x$;

$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(\frac{1}{2}x–\frac{1}{2}) = 2\cdot(\frac{1}{2}x–\frac{1}{2})+1 = 2 \cdot \frac{1}{2}x–2 \cdot \frac{1}{2}+1 = x–1+1 = x$.

S tem je potrjena resničnost izjave.

Grafična predstavitev primera

Drugi razpoznavni znak inverznih funkcij je, da so njihovi grafi medsebojno zrcalni glede na simetralo lihih kvadrantov. Graf funkcije $f(x)$ je premica v modri barvi in če ga prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov, dobimo rdeč graf, ki je graf funkcije $g(x)$. Torej sta premici grafa inverznih funkcij.

Ne verjamete?
Naj bosta $f:A \to B$ in $g:B \to C$ zvezni funkciji, in sicer funkcija $f$ v točki $a \in A$, funkcija $g$ pa v točki $f(a) \in B$.

Za vsako okolico $U$ točke $(g \circ f)(a)=g(f(a))$ moramo torej poiskati okolico $W$ točke $a$, da je za $x \in W:$ $(g \circ f)(x) \in U$ oz. mora veljati: $(g \circ f)(W) \subset U$.

Ker je funkcija $g$ zvezna v točki $f(a) \in B$, obstaja okolica $V \subset B$ točke $f(a)$, da je $g(V) \subset U$.

Ker je funkcija $f$ zvezna v točki $a \in A$, obstaja okolica $W \subset A$ točke $a$, da je $f(W) \subset V$.

Ko to združimo, ugotovimo: $(g \circ f)(W)=g(f(W))=g(f(W) \subset V) \subset g(V) \subset U$, kar smo iskali že na začetku, da bi potrdili zveznost sestavljene funkcije (iz) zveznih funkcij.

Odgovor: Funkcija $h(x)=e^{\sin{x}}$ je sestavljena funkcija funkcij $f(x)=e^{x}$ in $g(x)=\sin{x}$. Funkciji $f$ in $g$ sta v vsaki točki realne osi zvezni, zato je tudi njun kompozitum zvezna funkcija v vsaki točki. To sledi iz pravkar obravnavane lastnosti, vidiš pa lahko tudi na spodnji sliki, ki predstavlja graf te funkcije. Graf je namreč nepretrgan, kar pomeni, da je funkcija zvezna. To pomeni, da je limita te funkcije vrednost funkcije v točki, ki se ji $x$ približuje.

Graf funkcije iz primera

1. Kateri od spodaj zapisanih predpisov je kompozitum $g \circ f$ funkcij $f(x)=2x$ in $g(x)=2^x$?

2. Funkcija $h(x)=\ln{(x^2–2x–2)}$ je kompozitum $f \circ g$ funkcij $f$ in $g$:

3. S sestavljanjem funkcij smo se naučili preverjati inverznost funkcij. Ali sta funkciji $f(x)=x^2+1$ in $g(x)=\sqrt{x-1}$ za $x \in [1,\infty)$ inverzni?

4. Katera od spodnjih funkcij je inverzna funkcija funkciji $f(x)=x^2–4x+4$, katere definicijsko območje je množica $[2,\infty)$?

6. Ali je funkcija $f(x)=(\sin{x}+\cos{x})^2$ zvezna?

Preveri

1. naloga

Zapiši kompozitum $f \circ g$ funkcij $f(x)=2^x$ in $g(x)=x^2−3x+4$.

Preveri

2. naloga

Zapiši kompozitum $g \circ f$ funkcij $f(x)=\sin{3x}$ in $g(x)=2x+1$.

Preveri

3. naloga

Kompozitum katerih funkcij je funkcija $h(x)=e^{2\cos{x}}$ ?

Preveri

4. naloga

Ali je funkcija $h(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ sestavljena funkcija? Če je, iz katerih funkcij in kako je sestavljena?

Preveri

5. naloga

Zapiši sestavljeno funkcijo $g \circ (f \circ h)$ funkcij $h(x)=x^2$, $f(x)=\frac{2x+1}{1-x}$ in $g(x)=\sqrt[3]{x+1}$.

Preveri

7. naloga

Ali je funkcija $h(x)=\sqrt{\frac{x-3}{2}}$ zvezna funkcija, kjer je definirana? Utemelji odgovor.

Preveri

8. naloga

Določi naslednje limite.

Preveri