Tokrat začnimo z vzpenjanjem po klancu. Vsako reševanje matematičnih problemov je po svoje premagovanje klanca matematične narave, po drugi strani pa je vsako pravo vzpenjanje po klancu z danim naklonom, problem, ki ga izrazimo v matematičnem jeziku. Če imate dovolj kondicije, boste ob koncu tega razdelka kos obojemu.

Problem, ki bi ga radi rešili, je naslednji: pod kolikšnim kotom se vzpenjamo po klancu, na katerega opozarja spodnji prometni znak?

[strmino klanca izražamo v odstotkih]

Pa gremo še korak dalje: kaj si predstavljate pod klancem strmine 100%? In - ali obstaja klanec s strmino, ki je večja od 100%?

O tem lahko razmišljate že sedaj, za odgovore, ki bodo podkrepljeni z matematičnimi izračuni, pa bomo potrebovali še nekaj novega matematičnega znanja, ki nas čaka na vrhu uspešno premagane matematične strmine. Ob koncu se bomo z njenega vrha z zadovoljstvom ozrli na vso prehojeno pot.

Pa lepo po vrsti...

Recimo, da v pravokotnem trikotniku poznamo hipotenuzo c = 10 cm in oster kot
= 60°. Naloga zahteva, naj izračunamo še drugi dve stranici tega trikotnika.

Kot smo že vajeni, najprej narišemo skico z vsemi v nalogi nastopajočimi količinami in na njej obkrožimo ali kako drugače poudarimo podatke.

Čeprav bi nalogo lahko rešili tudi z uporabo lastnosti polovice enakostraničnega trikotnika, jo rešimo z uporabo kotnih funkcij.

Recimo, da želimo najprej izračunati stranico b. Ker je b danemu kotu priležna kateta, poznamo pa tudi hipotenuzo, moramo izbrati funkcijo kosinus:

torej je

Pozor!
Stranico c pišemo pred kotno funkcijo zaradi jasnosti zapisa. Zapis bi lahko razumeli napačno, kot da funkcija kosinus deluje na celotnem produktu .

Zdaj vstavimo podatke:

(mersko enoto zapišemo samo v končnem rezultatu).

Zdaj bi stranico a lahko izračunali tudi z uporabo Pitagorovega izreka , a jo vseeno izračunajmo s kotno funkcijo:

torej je

Jasno je, da je v tem primeru treba poznati natančne vrednosti kotnih funkcij za kot 60°.

V začetku si mnogo dijakov zastavlja vprašanje: "Kako vem, katero kotno funkcijo v nalogi izbrati?" Izberemo jo tako, da premislimo, kako ležita dana in iskana stranica glede na dani kot. Če bi to bili npr. obe kateti trikotnika, bi zagotovo izbrali funkcijo tangens.

Zakaj v nalogah raje izberemo funkcijo tangens kot pa kontanges?

Pravzaprav bi bilo pri danih katetah čisto vseeno, katero od obeh funkcij bi pri računanju izbrali. Ker pa sta si tangens in kotangens pri istem kotu obratni vrednosti, eno kotno funkcijo zlahka dobimo iz druge. Na kalkulatorjih je na voljo le funkcija tangens, kotangens kota pa določimo s pritiskom na tipko "1/x", ki seveda povzroči določitev obratne vrednosti danega števila.

Sedaj pa k naslednji nalogi, k računanju ostrega kota.

Izračunaj oba ostra kota v pravokotnem trikotniku, če kateti merita a = 5 cm, b = 3 cm.

Ko sta dani kateti, uporabimo kotno funkcijo tangens in računamo kateregakoli od kotov:

tg , torej je tg (ulomek le okrajšamo).

Sedaj nastopi vprašanje: kateri ostri kot ima tangens enak ?

To zagotovo ni ne kot 30°, ne 45°, ne 60°, saj so njihovi tangensi po vrsti enaki , 1 in . Zato moramo uporabiti kalkulator in ustrezno tipko, ki je označena s ali arctg ali INVtg, pomeni pa inverzno funkcijo funkcije tangens, ki pa z obratno vrednostjo nima nobene zveze.

Poglejmo še nekaj nalog z znanimi geometrijskimi liki:

Izračunaj diagonali romba s stranico a = 3 cm in notranjim kotom pri oglišču A, ki meri 35°.

Pri geometrijskih nalogah si moramo v spomin priklicati potrebne lastnosti obravnavanega lika. V tem primeru nam koristi, če vemo, da se diagonali v rombu (kot v vsakem paralelogramu) razpolavljata, v rombu pa dodatno razpolavljata tudi vse njegove notranje kote, poleg tega pa sta druga na drugo tudi pravokotni.

Nato poiščemo pravokotni trikotnik z dovolj podatki:

Ker je =35°, je =17,5°. V trikotniku ABS a predstavlja hipotenuzo, pa kotu nasprotiležno kateto. Zato v tem primeru potrebujemo funkcijo sinus.

Dolžino bi lahko izračunali z uporabo Pitagorovega izreka kot , glede na število za to potrebnih računskih operacij pa izračunamo veliko hitreje z uporabo kotnih funkcij:

Dolžino bi lahko izračunali tudi z uporabo kotne funkcije tangens, pri čemer bi morali upoštevati prej izračunano dolžino . Ker pa bi pri tem izračunu lahko naredili napako, smo raje izbrali način, kjer smo uporabljali le v nalogi podano stranico a. Tako je pravilen izračun diagonale e bolj verjeten.

Za konec pa še h klasični nalogi, ki se odvija v splošnem(ne pravokotnem!) trikotniku, v katerem pa nas zanima še kaj več od stranic in kotov.

V trikotniku ABC poznamo stranico a=6 cm, b=4 cm in kot = 20°. Izračunati je treba še višino na stranico c, stranico c, kot in ploščino S trikotnika.

Rešitev:

Narišimo skico in označimo vse potrebne količine:

Poiščemo pravokotni trikotnik s tremi podatki, to je trikotnik AC`C. V njem lahko z uporabo kotnih funkcij izračunamo višino na c (v) in c1 (del stranice c).

(zaokroženo na dve decimalki)

Sedaj, ko smo izračunali v, imamo tri podatke tudi v trikotniku C`BC.

zato je β=13,18° (zaradi večje natančnosti smo računali s celotnim izrazom za v in ne s približkom na dve decimalki)

Za stranico c potrebujemo še :

(pri tem smo upoštevali natančno vrednost kota β, ne samo zaokrožene vrednosti na dve decimalki)

Sedaj pa še k stranici c in ploščini:

Naposled še po klancu navzgor!

Gotovo se spomnite uvodne slike prometnega znaka, ki je opozarjal na vzpon po 23% klancu. Kaj to sploh pomeni?

Razložimo: klanec ima strmino p%, če se medtem, ko se v vodoravni smeri premaknemo za razdaljo x, v navpični smeri dvignemo za p% · x.

Če gre za 23% klanec, se pri vodoravnem premiku za x dvignemo za 23%·x = 0,23x ali enostavneje: če se v vodoravni smeri premaknemo za 100 metrov, se medtem dvignemo za 23 metrov.

Pod kolikšnim kotom se pri tem vzpenjamo? Narišimo skico!

Ker poznamo kotu nasprotno in priležno kateto, ga bomo izračunali z uporabo funkcije tangens:

tg

iz česar z uporabo kalkulatorja sledi, da se vzpenjamo po klancu z naklonom 12,95°.

Kako vam je všeč na vrhu premaganega matematičnega klanca? Kolikšno strmino bi mu pripisali? Ker pa vam je zagotovo ostalo še nekaj neporabljene energije, vas, kot vedno, zato čakajo dodatne naloge za vajo.

V pravokotnem trikotniku izračunaj še ostale stranice, kote, višino na hipotenuzo in ploščino.

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

Dani podatki so:

a) c = 5 cm, = 20°
Rešitev:

= °

a = cm

b = cm

= cm

S =

V pravokotnem trikotniku izračunaj še ostale stranice, kote, višino na hipotenuzo in ploščino.

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

Dani podatki so:

b) a = 3 cm, b = 1 cm

b = cm

= °

= °

= cm

S =

Izračunaj višino na osnovnico in kot ob vrhu v enakokrakem trikotniku, v katerem krak meri 10 cm, osnovnica pa 6 cm.

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

= cm

= °

Izračunaj še drugo diagonalo, kote in ploščino romba, v katerem stranica meri 7 cm, diagonala e = AC pa 12 cm.

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

f = cm

= °

= °

= °

= °

Izračunaj kot med tangentama in dolžini tangentnih odsekov, ki nastaneta, ko narišemo tangenti na krožnico s polmerom 5 cm in sicer iz točke, ki je od središča krožnice oddaljena 15 cm.

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

= °

odsek = cm

Izračunaj še drugo diagonalo, kote in stranico b v deltoidu, v katerem je diagonala e = AC = 6 cm, kot pri oglišču D meri 70°, stranica a = AB pa 10 cm; simetrijska os deltoida je diagonala BD.

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

f = cm

b = cm

= °

= °

= °

Izračunaj še stranico c, kote, vse višine in ploščino trikotnika, v katerem je a = BC = 4 cm, kot  = 50° in b = AC = 7 cm.

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

c = cm

= cm

= cm

= cm

= °

= °

S =

Izračunaj polmera pravilnemu osemkotniku očrtanega in včrtanega kroga ter ploščino tega osemkotnika, če stranica osemkotnika meri 8 cm.

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

r = cm

R = cm

S =

V deltoidu merita diagonali e = AC = 4 cm in f = BD = 10 cm (BD je simetrijska os deltoida), kot pri oglišču A je pravi kot. Izračunaj še ostale kote in stranice tega deltoida (za reševanje boš verjetno potreboval znanje o kvadratni enačbi).

Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti natančno.

a = cm

b = cm

= °

= °

= °