| Funkcija je zvezna povsod razen v točki . Zanima nas vprašanje, kako se funkcija obnaša v bližini oz. kakšna je limita te funkcije, ko se z bližamo k . |
Limita sinx/x
Limita sinx/x
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Predstavitev problematike
Izračunajmo limiti števca in imenovalca funkcije , ko gre proti .
| Zaradi zveznosti velja | in |
Ker je limita imenovalca enaka , pravila kvocienta ne smemo uporabiti. Limita je torej tipičen primer limite, ki ji matematiki pravimo limita tipa (tako števec kot imenovalec ulomka gresta proti , ko gre proti ). Take limite od nas zahtevajo nekaj več dela in pazljivosti.
Pa začnimo.
Najprej opazimo, da je funkcija soda–sam preveri, da velja . Zato zadošča, da funkcijo opazujemo samo pri pozitivnih kotih, saj se pri negativnih obnaša enako. Pomagamo si z enotsko krožnico in se zaradi pravkar povedanega omejimo le na prvi kvadrant.
Limita na enotski krožnici
Dinamična slika, ki ponazarja opazovano limito na enotski krožnici
Oglej si spodnjo sliko enotske krožnice v prvem kvadrantu. Točka nastane z rotacijo točke okoli izhodišča za kot v radianih in ima po definiciji koordinate . Točka pa je pravokotna projekcija točke na os . Dolžina daljice je tako ravno , ordinata točke . Ker je kot v radianih, je dolžina loka na enotski krožnici znotraj kota, loka , enaka . Vsekakor je (dolžina daljice dolžina loka ). Vendar pa se razlika med njima, ko gre proti , vedno bolj manjša.
Če z miško zagrabiš točko na drsniku in jo premikaš, spreminjaš velikost kota . Seveda moraš imeti vključeno ikono za premikanje točk in ne ikone za animacijo. Če vklopiš animacijo in trikrat zapored pritisneš na točko na drsniku, se zgodi animacija tako, da se približuje . Na sliki se sproti izpisujejo tudi vrednosti za , in .
Kaj ugotoviš, če na sliki z drsnikom manjšaš (proti )?
Hitro postane jasno, da je za majhne , torej ko gre proti , vrednost količnika vse bolj enaka , saj sta dolžini daljice in loka praktično enaki.
Limita sinx/x
Ugotovitev
Graf funkcije .
Ugotovitev se vidi tudi na grafu funkcije. V točki funkcija ni definirana, vendar se vrednosti funkcije, ko se z z leve in desne strani približujemo , približujejo . To je na grafu zabeleženo s puščicama pri točki . V preostalih točkah je funkcija zvezna, graf nepretrgan, zaradi sodosti pa simetričen glede na os .
To lahko tudi dokažemo. Zgornjo sliko dopolnimo s pravokotnico na os v točki . Ta pravokotnica seka krak kota recimo v točki . Dolžina daljice je enaka . Jasno je tudi, da je ploščina krožnega izseka manjša od ploščine pravkar nastalega trikotnika . Ploščina izseka meri , v radianih. Ploščina trikotnika pa meri . Tako je oz. . Že prej smo opazili, da je . Na ta način dobimo . Če to neenakost delimo s , dobimo . Če vrednostim v neenakosti poiščemo njihove obratne vrednosti, dobimo naslednjo ugotovitev . Kot opaziš, sta se znaka neenakosti obrnila, kar je lastnost obratnih vrednosti. Slednjo neenakost še malo preuredimo: .
| Vemo tudi, da je | saj je funkcija kosinus zvezna. |
Torej, ko gre proti , je vrednost ulomka ujeta v neposredno bližino števila . S spodnje strani jo omejuje limita kosinusa, z zgornje pa kar število glede na zadnjo neenakost.
| Torej drži, da je |
Primeri
Ta limita ima tudi naslednji uporabni pomen: če je kot dovolj majhen, je v radianih dober približek za .
Primer 1: Približno izračunajmo vrednost .
radianov, zato (z računalnikom izračunana vrednost ).
| Primer 2: Izračunajmo |
Če namesto vpeljemo spremenljivko in se zavedamo, da ko gre proti , gre tudi proti , lahko zapišemo:
Primeri
| Primer 3: Izračunajmo |
Upoštevamo pravili produkta in količnika za računanje limit ter dejstvo, da je funkcija kosinus zvezna in dobimo:
Limita tanx/x
Na ta način smo izpeljali ugotovitev:
Za potrditev ugotovitve si lahko pomagamo tudi z grafom funkcije na zgornji sliki. Opaziš lahko, da je v okolici točke graf opremljen z dvema puščicama, ki ponazarjata nezveznost funkcije v tej točki. Vendar obe puščici kažeta v isto točko. Tako je ugotovitev potrjena tudi geometrijsko.
Za dodatno vajo si naloži priložene naloge.
Dodatne naloge
Izračunaj vrednosti limit in poveži.
Pravilno
Odlično, vsi odgovori so pravilni.
Napačno
Nekje si se zmotil, poskusi še enkrat.
Rešitve
Dodatne naloge
Izračunaj vrednosti limit in poveži.
Pravilno
Odlično, vsi odgovori so pravilni.
Napačno
Nekje si se zmotil, poskusi še enkrat.
Rešitve
Dodatne naloge
Izračunaj vrednosti limit in poveži.
Pravilno
Odlično, vsi odgovori so pravilni.
Napačno
Nekje si se zmotil, poskusi še enkrat.
Rešitve
