V naravi včasih naletimo na pojave, kjer se število stvari s časom izjemno hitro povečuje ali manjša. Vzemimo na primer rast populacije glodavcev. Ob zadostni količini hrane in brez naravnih sovražnikov bi se njihovo število hitro povečalo čez vse meje. Nasprotno pa se dogaja pri radioaktivnem razpadu, kjer se po preteku razpolovnega časa količina radioaktivnega elementa razpolovi. V matematiki takšno rast ali padanje opišemo z eksponentno funkcijo.

Eksplozija atomske bombe

Do eksplozije atomske bombe pride zaradi razpada atomov radioaktivnega elementa ob izpolnitvi določenih pogojev.

Bakterije se v ugodnih razmerah zelo hitro razmnožujejo. Spodnji, namišljeni primer, prikazuje rast števila v agarju gojenih bakterij. Število pretečenih dni spreminjaš z drsnikom ob sliki. Ploščina obarvanega kroga ponazarja število bakterij. Polmer kroga je na začetku 1 enota.

Opazuj, kako se s številom dni spreminja polmer kroga. V okvirčke vpiši ustrezna števila.
Polmer po prvem dnevu meri enoti, po drugem dnevu enote, po tretjem dnevu enot.

Polmer kroga se po preteku enega dne podvoji.

Četrtega dne je število bakterij že tolikšno, da polmera kroga na skici več ne moremo odčitati. Določi polmer tega kroga na podlagi zgornjih ugotovitev.

Tabelirajmo spreminjanje polmera po dnevih:

Kateri od spodnjih funkcijskih predpisov opisuje spreminjanje polmera? Spremenljivka je število pretečenih dni.

Funkciji, ki v tem primeru opisuje spreminjanje polmera, pravimo eksponentna funkcija.

Kolesar bo svoj dopust preživel na gorski kmetiji in ga izkoristil za pridobivanje kondicije. Izdelal si je naslednji načrt vadbe. Dan, ko prispe na kmetijo, ne šteje k dopustu. Ta dan bo s kolesom prevozil le en kilometer. Vsak naslednji dan želi prevoziti trikrat toliko kot dan poprej. V spodnjo tabelo vpiši število načrtovanih kilometrov na dan.

Število prevoženih kilometrov na dan vpiši s številko.

Vsak dan želi kolesar torej prevoziti trikrat daljšo pot kot prejšnjega dne.

Izberi funkcijski predpis, ki poda število prevoženih kilometrov na dan. Spremenljivka je zaporedna številka dneva.

Število kilometrov, ki bi jih kolesar prevozil na dan, lahko podamo z eksponentno funkcijo. Ta funkcija zelo hitro narašča. Če bi kolesar izpolnil zgornjo tabelo, bi se verjetno strinjal, da je že peti dan število kilometrov preveliko. Lahko izračunaš, koliko kilometrov bi po tem načrtu prevozil šestega in koliko sedmega dne. Spodnja animacija prikazuje kolesarjevo pot na dan prihoda ter prve tri dni dopusta.

Že četrti dan je pot tako dolga, da je ob njej pot na dan prihoda zanemarljivo majhna. To razmerje prikazuje spodnja slika.

Potnik mora prehoditi pot dolžine km. Odločil se je, da bo na tej poti večkrat počival. Ker predvideva, da bo vse bolj utrujen, bo med dvema počitkoma prepešačil natanko polovico poti, ki je še pred njim. Na začetku, pred prvim postankom, je pred njim še cela pot, torej km poti. Po prvem postanku je pred njim še (polovica) km poti, torej do drugega postanka prehodi km (četrtina celotne poti) in ravno toliko mu po drugem postanku še preostane in tako naprej. V spodnjo tabelo vpiši koliko poti v kilometrih (vpiši številko) in koliko poti v deležih celotne poti (vpiši besedo) mu po posameznem postanku še preostane. Dopolni tabelo in odgovori na vprašanja, ki sledijo. Neprehojeno pot zapiši z besedo (recimo: osemindvajsetina).

Ob vsakem počitku se delež neprehojene poti razpolovi..

Kaj se dogaja z dolžino še neprehojene poti? Izberi pravilno trditev.

Ne bo držalo. Ob vsakem postanku je neprehojena pot enaka polovici neprehojene poti ob prejšnjem postanku.

Ne bo držalo. Ker vsakič prehodi le polovico preostanka, ostane vedno nekaj neprehojenega. Tako je. Kljub temu, da mu vsakič ostane manj neprehojene poti, bo prehodil le polovico preostanka, torej vedno ostane nekaj neprehojenega. S katerim funkcijskim predpisom lahko ponazorimo dolžino neprehojene poti? Spremenljivka pomeni zaporedno številko počitka.

V tem primeru bi se preostanek poti daljšal. Ne bo držalo. . Preostanek bi bil ves čas enak.

Tako je. Dolžino neprehojene poti podamo z eksponentno funkcijo.

Animacija prikazuje pot, ki jo mora potnik po počitku še prehoditi. Vidimo, da je ta pot vse krajša. Bo potnik kdaj prišel na cilj?

Teoretično potnik nikdar ne bo dosegel cilja, saj bo vedno prehodil le polovico preostanka. V resnici pa bo po dvanajstem postanku od cilja oddaljen manj kot cm, kar je manj kot dolžina koraka.

Navedli smo dva primera, kjer smo se srečali z zelo hitrim naraščanjem in en primer hitrega padanja. V matematiki takšno rast ali padanje opišemo z eksponentno funkcijo. Natančneje:

Hitrost naraščanja ali padanje je le ena od lastnosti eksponentne funkcije. Več o lastnostih si lahko ogledaš v drugem gradivu.

Na kratko osvežimo znanje o potencah.

Kaj zapis sploh pomeni?

Če je naravno število, je odgovor jasen. pomeni produkt enakih faktorjev :

Če je , je .

V primeru, ko je pozitivno racionalno število, ga lahko predstavimo v obliki kvocienta dveh naravnih števil,

in v skladu z običajnimi pravili za računanje s potencami je:

V primeru, ko je eksponent negativen je

Kako izračunati potenco v primeru, ko je eksponent iracionalno število, na primer ? Da žepno računalo s tem nima težav se prepričaj sam, tako da izračunaš na primer . Dobiti moraš rezultat . Za razumevanje eksponentne funkcije v tem trenutku ni potrebno vedeti, kako to izračunati, radovedni pa kliknite na spodnji gumb.

Ker smo si doslej ogledali le primere iz vsakdanjega življenja, so v eksponentu vedno nastopala le naravna števila. Vzemimo eksponentno funkcijo in jo tabelirajmo na intervalu . Ulomke zapiši s poševno črto, na primer .

Določi predpis eksponentne funkcije, če veš, da je .

Funkcijski predpis je

Dana je funkcija . Pri katerem zavzame ta funkcija vrednost ?

To se zgodi pri vrednosti .

S pomočjo žepnega računala izračunaj potence v tabeli. Rezultat zaokroži na štiri decimalna mesta in ga vpiši v okence pod potenco.

Izmed funkcij izberi tisto, ki ni eksponentna!

Dana je eksponentna funkcija . Za kateri je ?

Za katero od eksponentnih funkcij je ?

Marko je na silvestrski večer ugotovil, da ima v hranilniku en cent. Odločil se je, da bo v prihajajočem letu takole varčeval. Vsak mesec bo poskrbel, da bo zadnjega dne v mesecu v njegovem hranilniku trikrat toliko denarja kot zadnjega dne preteklega meseca. Zapiši funkcijski predpis, ki ponazarja stanje v Markovem hranilniku. Spremenljivka x je zaporedna številka meseca v letu.

Koliko denarja bo v Markovem hranilniku 31. maja v letu, ki je pred njim?

Kuhar se odloči za naslednji način rezanja jabolk. V prvem koraku jabolko razreže na enake dele. V drugem koraku razreže vsakega od dobljenih delov na štiri enake dele in tako naprej.
a) Tabeliraj, koliko koščkov jabolka dobi v prvih petih korakih.
b) Zapiši funkcijski predpis, ki pove, koliko koščkov jabolka dobi na vsakem koraku.
Spremenljivka pomeni zaporedno število koraka. c) Koliko koščkov jabolk bi dobil po korakih?
d) Ali bi bilo število koščkov po katerem od korakov enako ? Odgovor utemelji.

Funkcijski predpis, ki pove, koliko koščkov jabolka dobi na vsakem koraku je:

Po 10 korakih bo dobil koščkov. Število koščkov ni nikoli je lahko ravno 4024 koščkov.

Določi tisto eksponentno funkcijo (če obstaja) , za katero velja:
a)
Funkcija je:

b)
Funkcija je:

c)
Funkcija je:

d)
Funkcija je:

e)
Funkcija je:

Predpostavimo, da imamo v kozarcu mleka eno bakterijo. Recimo, da so pogoji takšni, da se število bakterij podvoji vsako uro.
a) Koliko bakterij je v kozarcu po eni uri, po treh urah, po pol dneva, po enem dnevu?
b) Zapiši funkcijo, ki ponazori število bakterij. Spremenljivka pomeni število ur.
c) Odgovori na vprašanje a) v primeru, da se pogoji spremenijo tako, da se število bakterij v eni uri potroji.

a) Po eni uri sta v kozarcu bakteriji, po treh urah , po pol dneva , po enam dnevu pa .
b) Funkcija, ki ponazori število bakterij je:

c) Po eni uri so v kozarcu bakterije, po treh urah , po pol dneva , po enem dnevu pa bakterij.

Z računalom izračunaj na štiri mesta natančno naslednje vrednosti: a)
b)
c)
d)
e)

a)
b)
c)
d)
e)