V drugi polovici prvega letnika smo se naučili reševati linearne enačbe (enačbe oblike ) in preproste kvadratne enačbe (), kjer smo si pri razcepu v produkt pomagali z Vietovim pravilom. Pri reševanju smo enačbe preoblikovali v ekvivalentne enačbe, enačbe z istimi rešitvami.
Iracionalne enačbe
Iracionalne enačbe
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Reševali bomo enačbe v katerih neznanko najdemo tudi pod korenom.
Reševanje linearnih in kvadratnih enačb
Naloga 1
Enačbe reši in primerjaj med seboj njihove rešitve.
Pravilno.
Napačno.
Iracionalne enačbe
Včasih pa naletimo na enačbe, kjer neznanka nastopa pod korenom . Takšne enačbe imenujemo iracionalne enačbe. Kako jih rešujemo, si bomo ogledali v spodnjih nalogah.
Naloga 2
Rešimo enačbo:
Vrednosti kvadratnih korenov dveh števil sta enaki natanko tedaj, ko se ujemata njuna korenjenca, ki morata biti nenegativni realni števili:
.
Dobili smo kvadratno enačbo. Najlažje jo bomo rešili urejeno:
Izraz na levi strani enačaja razcepimo v produkt:
Ponujata se dve rešitvi:
.
Oba korenjenca sta res nenegativni realni števili. Preverimo še, ali res obe rešitvi ustrezata prvotni enačbi:
.
Enačba
je zgornji zelo podobna, zato jo reši sam.
,
,
.
Ponujata se nam rešitvi
.
Ker je korenjenec na levi strani enakosti za prvo rešitev negativen, reši enačbo le druga rešitev: .
Naloga 3
Rešimo zdaj enačbo
.
Tisti, ki ste radovedni, se že na začetku lahko vprašate, kakšne so smiselne rešitve enačbe.
Preden jo bomo preoblikovali v ekvivalentno enačbo, opazujmo levo stran enakosti: vemo, da mora biti oz. . Vrednost leve strani neenakosti pa se bo gibala na intervalu . Zato bo tudi oz. . Ko združimo oba pogoja, vidimo, da bo naša rešitev vedno večja ali enaka .
Kvadratni koren bomo odpravili s kvadriranjem obeh strani enakosti:
.
Zmnožimo in kvadriramo (pri kvadriranju bodi pozoren na to, da na desni strani enakosti kvadriramo dvočlenik):
ter uredimo v
,
ki nam ponuja rešitvi in . Ker mora biti naša rešitev večja ali enaka , je končna rešitev enačbe le .
Rešitev lahko tudi preverimo:
.
Če ti je razmišljanje o pogojih, ki jim rešitev ustreza, pretežko, izkoristi bližnjico. Vse dobljene rešitve preizkusi in se prepričaj, katera v resnici reši prvotno enačbo.
V primeru, ko je , dobimo , kar drži.
Ko je , pa je , kar ni res (ker pa smo enačbo kvadrirali, smo v naslednjem koraku dobili resnično izjavo ).
Grafična rešitev
| Naučili smo se, da s kvadriranjem ne dobimo ekvivalentne enačbe začetni enačbi. Nekatere rešitve, pridobljene s kvadriranjem, ne zadoščajo prvotni enačbi in jih moramo preveriti. |
Radovedni lahko enačbo rešimo tudi grafično.
Grafa funkcij in
Funkciji in se sekata v točki s koordinatama , zato je rešitev enačbe .
Naloga 4
Ko rešujemo enačbo
,
moramo biti zviti. Pred kvadriranjem bomo koren osamili:
Zdaj je kvadriranje lažje: , kar pomeni, da je .
Poskusi si enačbo ponazoriti grafično (nariši grafa obeh funkcij) in iz slike preberi rešitev enačbe.
Dobljeno rešitev tudi preizkusimo.
Naloga 5
Kvadratni koren je dobro pred kvadriranjem osamiti.
Pravilno.
Narobe.
Naučili smo se
S pomočjo zgledov osnovnih tipov iracionalnih enačb smo se naučili spodnjih trikov.
Pred kvadriranjem enačbo poenostavimo in korene osamimo. Pri kvadriranju enačbe moramo kvadrirati vsako stran enačbe kot celoten izraz in ne členoma. Po kvadriranju iracionalne enačbe ne dobimo nujno ekvivalentne enačbe. Bo pa množica rešitev na novo nastale enačbe vsebovala rešitve naše prvotne enačbe. |
Naloga 6
Včasih najdemo v enačbi tudi več korenov. Rešimo enačbo
.
Ker je korene nemogoče osamiti, enačbo kar kvadriramo
,
jo preoblikujemo v
in še enkrat kvadriramo
,
od koder izračunamo, da je . Predlagana rešitev prvotne enačbe ne reši, zato naša originalna enačba nima realnih rešitev.
Sam reši enačbo
.
Enačbo kvadriramo
,
osamimo koren
in izračunamo (rešitev zadošča prvotni enačbi).
Naloga 7
Nikakor ne velja, da morajo neznanke iracionalnih enačb nastopati le pod kvadratnimi koreni (je pa to v računskih problemih srednješolcev najpogosteje). Rešimo zato enačbo s tretjimi koreni:
.
Hitro opazimo, da so si korenjenci podobni; vsi so večkratniki izraza , zato bomo vpeljali novo sprememljivko:
.
Z novo neznanko zapisana enačba se glasi
,
od koder hitro izračunamo, da je . To pomeni, da je oz. .
Našo enačbo reši .
Preizkusi se pri reševanju enačbe
Kvadratni koren osamimo in enačbo krajšamo z : oz. , kar pomeni, da je .
Po preizkusu ugotovimo, da dobljena rešitev reši tudi prvotno enačbo.
Po osamitvi korenov dobimo enačbo , kar je možno le, kadar sta korena enaka 0. Zato sklepamo, da enačba nima realne rešitve.
Enačbo najprej kvadriramo: in uredimo v odštejemo , krajšamo z ter prepišemo v: od koder sledi, da je oz. x = 1.
Naloga 10
Enačbo preoblikujemo v in narišemo grafa funkcij in Ker se funkciji in sekata v točki , je rešitev enačbe .
Enačbo preoblikujemo v in narišemo grafa funkcij in Ker se funkciji in sekata v točki , je rešitev enačbe .
Naloga 11
Pobrskaj po fizikalnem zvezku in poišči probleme, kjer si že bil prisiljen reševati iracionalne enačbe.
Poglej v zvezek k sošolcu in tekmujta, kateri bo našel več problemov.
