Definicija vektorja

Definicija vektorja

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Učni cilji: Če želimo opisati, kam in kako daleč gremo, nam običajna števila niso dovolj, zato potrebujemo nove količine. To so vektorji. V tem poglavju bomo spoznali, kaj so vektorji in kakšne lastnosti imajo.

Kaj je vektor?

Če vas kdo vpraša, koliko ste stari, koliko tehtate ali koliko je ura, potrebujete za odgovor le primerno veliko število, ki mu dodate ustrezno enoto (leto, kilogram, ura, minuta, sekunda, ...). Učeno rečemo, da so starost, masa, čas in še marsikaj drugega, skalarne količine oziroma skalarji.

Če pa koga zanima, kako naj pride do vašega doma, lahko s številom opišete kvečjemu oddaljenost do cilja, ne pa tudi, v kateri smeri se mora gibati, da pride do tja. Samo število ne bi zadoščalo za celovit odgovor.

Količina, s katero lahko opišemo smer in velikost (razdaljo, dolžino) hkrati, se imenuje vektor.

 

Vektor je količina, ki je določena:

  • s smerjo,
  • z usmerjenostjo in
  • velikostjo (dolžino).
Ponazoritev in zapis vektorjev
Smer in usmerjenost vektorjev
Velikost vektorjev

Ponazoritev in zapis vektorjev

Vektorje ponazarjamo (rišemo) z usmerjenimi daljicami. Usmerjena daljica je daljica, ki se zaključi s puščico.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka




Zapisujemo jih z malo črko, nad katero je puščica ali pa z dvema velikima črkama, od katerih je prva začetna, druga pa končna točka vektorja . Tudi v tem primeru je nad zapisom puščica. Oba možna načina zapisovanja prikazuje zgornja slika.

Smer in usmerjenost vektorjev

Smer vektorja določimo, če povemo, na kateri premici (ali njeni vzporednici) vektor leži.

Vsi vektorji na spodnji sliki imajo enako smer.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Po izbrani smeri lahko izbiramo med dvema možnima usmerjenostma. Usmerjenost določimo s puščico v eno ali drugo stran. Leva in desna skupina vektorjev sta nasprotno usmerjeni, imata pa enako smer.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Velikost vektorjev

Velikost (dolžina) vektorja je ponazorjena z večjo ali manjšo dolžino usmerjene daljice. Dolžino vektorja označimo z . Na spodnji sliki so enako veliki vektorji, ki pa se seveda razlikujejo tako po smeri kot tudi po usmerjenosti.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Kdaj sta dva vektorja enaka?

 
Vektorja sta enaka, če se ujemata v smeri, usmerjenosti in velikosti.

Vsi vektorji na spodnji sliki so med seboj enaki.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Iz enakosti vektorjev sledi zelo pomembna lastnost.

 
Vektor lahko vzporedno premikamo po prostoru, a se njegove lastnosti ne spremenijo. Vektor ostane enak. Pravimo, da ima vsak vektor nešteto svojih predstavnikov.
Zakaj je to pomembno?

Zakaj je to pomembno?

Tudi zato, ker so vsi fizikalni zakoni, ki vključujejo vektorske količine, enaki v vsakem koordinatnem sistemu, pa naj bo to kjer koli na Zemlji, na Luni ali kje drugje.

Enotski vektor

V zvezi z dolžino vektorja moramo posebej omeniti enotski in ničelni vektor.

 
Enotski vektor je vsak vektor, ki meri v dolžino 1 enoto. Smer in usmerjenost vektorja pri tem nista pomembni. Enotski vektorji niso nujno enaki, imajo le enako dolžino.

Na sliki sta dva enotska vektorja: je enotski vektor v smeri vektorja , pa je enotski vektor v smeri vektorja . Enotski vektor je običajno krajši, lahko je pa tudi daljši od prvotnega vektorja, kot je vidno v primeru vektorja .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka




Kaj je normiran vektor?

Kaj je normiran vektor?

Če vektor primerno skrajšamo ali podaljšamo tako, da "po posegu" meri 1 enoto, pravimo, da smo vektor normirali. Normirane vektorje bomo srečali v t. i. "ortonormirani bazi". Vse, kar je v matematiki normirano, meri 1 enoto. Celo funkcije so lahko normirane. Kaj pomeni "norma funkcije", boš zvedel, če boš študiral matematiko, zato kar pogumno naprej.

Ničelni vektor

 
Ničelni vektor je vektor z dolžino 0. Pri njem začetna in končna točka sovpadata, zato ima poljubno smer. Vsi ničelni vektorji so med seboj enaki.
Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Nasprotna vektorja

Vektorja, ki se ujemata v smeri in velikosti, razlikujeta pa v usmerjenosti, sta si nasprotna. Nasprotni vektor vektorja označimo z - .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Opisovanje poti z vektorji

Vektorji so nadvse pripravni za opisovanje poti. Z njimi naenkrat povemo (ponazorimo), kako daleč in v kateri smeri je treba potovati. Če pot od končne točke še nadaljujemo, jo opišemo z novim vektorjem, ki ga pripnemo na konec prejšnjega vektorja.

Poglejmo primer: Opis potovanja.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Kako smo potovali, če smo prehodili poti, ki jih ponazarjajo vektorji od točke A do točke E, in če enota 1 pomeni pot dolžine 1 km?

Najprej km proti severu, potem km proti vzhodu, nato km proti jugu in naposled še km proti vzhodu.

Prehodili smo pot, dolgo km.

Preveri
Koliko kilometrov bi prehodili, če bi potovali od A do E po najkrajši poti?Pod kolikšnim kotom bi potovali glede na vodoravno smer?

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Najkrajša pot

Če sliko primerno dopolnimo in si pomagamo s Pitagorovim izrekom, lahko dolžino najkrajše poti od A do E izračunamo tako:

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Ko smo narisali najkrajšo možno pot od točke A do točke E, smo narisali vsoto vseh štirih vektorjev. Pomembno je, da so vektorji nanizani drug za drugim, da naslednji izhaja iz konca prejšnjega. Le v tem primeru lahko vektorje seštejemo. Več o seštevanju in odštevanju vektorjev bomo govorili v naslednjem poglavju.

Pod kolikšnim kotom bi potovali glede na vodoravno smer?

Kot izračunamo z uporabo kotnih funkcij, npr. kotne funkcije tangens. Iz skice je razvidno, da je , zato je °.

Naloga 1

Ugotovi, ali so dane izjave pravilne ali nepravilne.

Nasprotna vektorja imata nasprotni dolžini. Pravilno. Nepravilno.
Vsi vektorji, določeni s stranicami kvadrata, so si enaki. Pravilno. Nepravilno.
Če imata vektorja enako smer, sta enako usmerjena. Pravilno. Nepravilno.
Vsi ničelni vektorji so si enaki. Pravilno. Nepravilno.
Pravilno. Nepravilno.
in imata isto smer. Pravilno. Nepravilno.
Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 2

Dan je kvadrat ABCD s stranico dolžine 1. Poišči tiste vektorje, določene z oglišči kvadrata, ki so:

Enaki .
Nasprotni .
Enaki .
Ničelni.
Enotski.
Takih vektorjev ni.
Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 3

Dan je enakostranični trikotnik ABC s težiščem T. Poišči tiste vektorje, določene z oglišči in težiščem, ki so:

Enaki .
Nasprotni .
Enako dolgi kot
Enako dolgi kot
Takih vektorjev ni.
Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 4

Dan je pravilni šestkotnik ABCDEF, v katerem je S presečišče vseh diagonal. Poišči vektorje, določene z oglišči šestkotnika in točko S, ki so:

Enaki
Nasprotni
Enako dolgi kot
Najdaljši
Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 5

V kocki ABCDA´B´C´D´ (A´ je nad A, . . .) s stranico dolžine 1 poišči vektorje, ki so:

Enaki .
Enaki .
Dolgi enot.
Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Rezultati

0%
0%