Tir leta krogle je približno parabola — za razlago animacije poglej pod spodnji gumb.

Kratek skok v zgodovino

S tem zgodovinskim uvodom pa smo že zakorakali v matematiko, ki je dala fiziki močna orodja za ustrezno opisovanje gibanj teles: zvezo med časom in višino izstrelka pri poševnem metu v vakuumu nam opisuje kvadratna funkcija, ki jo bomo spoznali v tem poglavju.

Ob sklepu uvoda je primerno, da navedemo še tri »nevojaške« primere prisotnosti kvadratne funkcije v vsakdanjem življenju:

• curek vode, poševno usmerjen iz vrtne cevi, ima obliko parabole,
• nekateri nepovratni kometi se gibajo po paraboličnih tirnicah,
• satelitske antene (glej sliko spodaj) in antene radijskih teleskopov imajo pogosto obliko paraboloida, ploskve, ki jo dobimo z vrtenjem parabole okoli njene simetrijske osi: pri tem dobimo parabolo kot presečišče ravnine s paraboloidom (na sliki je parabola nakazana z modrimi točkami).

Satelitska antena ima obliko paraboloida

Že v osnovni šoli smo obravnavali linearno funkcijo, na primer in , ki smo jo v splošnem zapisali kot . Zanjo je značilno, da neodvisna spremenljivka nastopa v potenci stopnje (linearni člen je ).

Kaj pa bi dobili, če bi vsem takšnim funkcijam prišteli še člen ?

Dobimo na primer funkcijo . Opazimo, da sedaj spremenljivka nastopa tudi v potenci z eksponentom . In prav ta lastnost je značilna za novo funkcijo, ki jo bomo poimenovali kvadratna funkcija. V resnici smo jo spoznali že pri potenčnih funkcijah z naravnim eksponentom kot funkcijo .

Kvadratna funkcija bo imela torej podoben zapis kot linearna funkcija, ki pa ji moramo dodati še kvadratni člen . Poglejmo si še nekaj zgledov kvadratnih funkcij:

Za vse je značilno, da v zapisu nastopata kvadratni člen + nekaj (ali pa tudi nič). V primeru funkcije tudi opazimo, da vrstni red zapisa členov ni pomemben ( je še vedno kvadratna funkcija), vendar zaradi večje preglednosti člene zapišemo po vrsti od potence z največjim eksponentom do potence z najmanjšim eksponentom.

Povzemimo sedaj te ugotovitve v dogovor

Ponovno preberi opis kvadratne funkcije.

1. Zakaj v definiciji potrebujemo določilni pogoj ?
   
   Odgovor se skriva tukaj

2. Določi vse tri koeficiente pri naslednjih funkcijah:

   1. ,
   2. ,
   3. .
      
      Preveri svoje rešitve

Poglejmo si naš nadaljnji načrt dela: najprej si bomo pogledali graf preproste kvadratne funkcije , nato graf funkcije in na koncu še graf najsplošnejše kvadratne funkcije .

Vrnimo se torej najprej k funkciji . Narišimo tabelo z nekaj tipičnimi vrednostmi za na intervalu med in .

Po običajni označitvi enot, koordinatnih osi in pri vnesenih točkah iz tabele dobimo naslednjo sliko.

Pri tem pazimo, da obliko grafa v okolici točke ravno prav lepo ukrivimo (ne preveč koničasto in ne preveč okroglo). Prav tako smo pozorni na to, da graf funkcije zapolni navidezni pravokotnik, ki ga določajo robovi koordinatnega sistema. Ob narisanem zgledu si velja zapomniti naslednje:

V prejšnjem zgledu ima parabola teme v točki . S parabolo se bomo srečali še kasneje (Stožnice), kjer si bomo ogledali tudi njeno geometrijsko definicijo, ki je bila – zgodovinsko gledano – uporabljena precej bolj zgodaj kot zgornja analitična definicija.

Spomni se, katero transformacijo grafa nam povzroči število v predpisu .

Pomoč

Znanje o tem raztegu grafa bomo povezali s pomenom vodilnega koeficienta v predpisu kvadratne funkcije .

Radovednejši lahko sami preiskujete obnašanje grafa kvadratne funkcije pri različnih vrednostih a v spodnjem Izzivu – za radovedne in s programom za risanje grafov, drugi pa lahko to preiskovanje preskočite in preidete kar k naslovu Pomen a, kjer so stvari že lepo pripravljene za čim lažje razmišljanje.

Premisli, kako vodilni koeficient vpliva na obliko grafa funkcije, in odgovori na vprašanja pod spodnjo konstrukcijo.

Poleg že narisanih grafov pri zgornji preiskavi ti lahko pomaga tudi spodnja konstrukcija z drsnikom, ki prikazuje spreminjanje oblike parabole v odvisnosti od vrednosti koeficienta .

Navodilo: z miško premikaj drsnik in opazuj spreminjanje oblike parabole.

• Kakšne oblike je parabola, če je ? Kje se tedaj nahaja teme glede na ostale točke parabole?
  
  Preveri svoj odgovor
  
  
• Kakšne oblike je parabola, če je ?
  
  Preveri svojo ugotovitev
  
  
• Kakšne oblike je parabola, če je ? Kje se tedaj nahaja teme glede na ostale točke parabole?
  
  Preveri svoj sklep

Ugotovitve lahko končno strnemo v naslednji sklep.

• V isti koordinatni sistem približno skiciraj grafe funkcij , , kjer je , in , kjer je . Opiši vpliv vodilnega koeficienta na obliko grafa v zadnjih dveh primerih.

• S transformacijami grafa funkcije nariši graf funkcije .

• Nariši graf funkcije (ta zapis imenujemo enačba Hua) in ga primerjaj s parabolo . (Namig: zapis najprej poenostavi.)

Spomnimo se fizikalne enačbe, ki nam podaja zvezo med potjo in časom pri enakomerno pospešenem gibanju:

.

Zanjo je značilno, da čas nastopa pod kvadratom, zaradi česar v splošnem še ne znamo reševati tovrstnih enačb, pri katerih bi iskali čas kot neznano količino (poskusi izraziti s svojim obstoječim znanjem). Imamo pa dovolj znanja, da lahko narišemo primer grafa te funkcije, ki nam podaja zvezo med časom in potjo : naj bo in . Po vstavljanju obeh podatkov v enačbo enakomerno pospešenega gibanja dobimo funkcijski predpis:

.

Dobro si oglej dobljen graf.

• Katera fizikalna količina je predstavljena na abscisni in katera na ordinatni osi?
  
  Odgovor je skrit tukaj
  
  
• Ali je za obravnavo pri fiziki smiselno gledati celoten graf? Utemelji.
  
  Odgovot in utemeljitev
  
  
• Ali lahko iz oblike grafa sklepamo o tem, ali telo pospešuje ali zavira? Utemelji.
  
  Za odgovor poglej sem
  
  

Tir gibanja telesa pri poševnem metu je parabola. Ta trditev velja seveda samo v vakuumu, kjer lahko zanemarimo zračni upor, v praksi pa je opis gibanja nekoliko bolj zapleten.

Spodnja konstrukcija prikazuje odvisnost tira gibanja telesa od velikosti začetne hitrosti in kota Φ, pod katerim telo vržemo ali pa izstrelimo. Pri fiziki lahko izpelješ enačbe, ki opisujejo gibanje telesa po paraboli in primerjaš izračunane vrednosti na sliki z vrednostmi, ki jih izračunaš po ustreznih formulah.

Z miškinim desnim gumbom primi točko na koncu vektorja začetne hitrosti in spreminjaj naklonski kot in velikost začetne hitrosti. Opazuj spreminjanje tira gibanja telesa. (Če animacijo po pomoti zaustaviš, jo ponovno zaženi s klikom miškinega gumba.)

S pomočjo zgornje animacije odgovori na naslednja vprašanja.

• Kolikšna morata biti začetna hitrost in naklonski kot Φ, da bomo telo vrgli vsaj daleč? Ali obstaja več možnosti?
  
  Odgovor najdes tukaj
  
  
• Ali je tir gibanja telesa pri vseh možnih naklonskih kotih Φ vedno parabola?
  
  Poglej sem
  
  
• Kako lahko zvečamo pri dani začetni hitrosti vo strmino parabole? Katera vrednost se zaradi tega najbolj spremeni (metna višina, metna razdalja ali čas letenja v zraku)?
  
  Resitev
  
  
• Kakšno lego ima vektor začetne hitrosti glede na parabolo? V kakšni zvezi sta strmina parabole in naklonski kot vektorja začetne hitrosti ?
  
  Preveri svoja odgovora

V svojem zvezku ali učbeniku za fiziko poišči pri poglavju o gibanjih teles tiste fizikalne enačbe, ki predstavljajo kvadratne funkcije. Pri vsaki od njih določi odvisno in neodvisno spremenljivko ter poišči vodilni, linearni in svobodni člen.

Resitev

S pomočjo transformacij grafa funkcije nariši graf funkcije

Resitev

Ponovi pojme: ničla funkcije, začetna vrednost funkcije, razcep tričlenika oblike .

Resitev

Na svetovnem spletu vnesi ključno besedo ’quadratic function (equation)’ in poišči nadaljnje primere uporabe kvadratne funkcije v drugih znanostih in v vsakdanjem življenju.

Resitev