Za nekaj časa bomo misli od korenov preselili nazaj k potencam: k zapisom oblike , kjer število imenujemo potenčna osnova, številu pa rečemo potenčni eksponent. Spomni se pravil za računanje s potencami in v zvezek dopolni spodnje zapise. Poračunaj pravilne potenčne eksponente ali celotno potenco () v vsakem izrazu.

Preveri

Premislimo zdaj, kakšne bi bile potence z racionalnimi eksponenti. V potenčnem eksponentu bo nastopal ulomek.

Kaj predstavlja zapis ? Če uporabimo pravilo , ki velja tudi za potence z racionalnimi eksponenti, mora biti

Število je torej število, ki daje pomnožemo s samim seboj 3. Ja, potem pa je

Poskusi podobno razmisliti o pomenu zapisa

Premislek

Zato je število, ki potencirano na četrto potenco daje 16. Ker je , je

Izračunaj vrednost :

Izračunaj vrednost :

Izračunaj vrednost :

Izračunajmo nekaj potenc:

Izračunaj vrednost izraza

Odgovor:

Preveri

Potence z racionalnimi eksponenti so torej koreni. Kako naj potem računamo z izrazi: računamo s potencami ali s koreni? Vseeno, ker so pravila za računanje s potencami in pravila za računanje s koreni usklajena:

,
,

Podoben račun bi zapisali tudi za količnik potenc z isto osnovo in potenciranje potenc.

Poenostavimo spodnji izraz na dva načina:

• s potencami:

• s koreni:

Kateri od prikazanih načinov je elegantejši, presodite sami. Pri vsaki nalogi se bo vsak sam odločil, katera pot mu je bolj všeč.

Spodnje izraze poskusi poenostaviti sam. Kot izhod v sili je pri vsakem izrazu ponujen odgovor, kjer je izraz poenostavljen po korakih. Seveda prikazana računska pot ni edina možna in tudi ni nujno najkrajša. Če sam poiščeš drugo, matematično korektno pot, je to pohvale vredno. Vseeno pa se prepričaj o pravilnosti rezultata.

1. Poenostavi spodnji izraz:

Odgovor

2. Poenostavi izraz:

Odgovor

3. Izračunaj vrednost spodnjega izraza brez kalkulatorja:

Odgovor

4. Potence zapiši s koreni in izračunaj vrednost izraza

Odgovor

5. Poenostavi izraz in rezultat zapiši kot potenco števila in s korenom

Odgovor

6. Okrajšaj ulomek

Odgovor

Za konec gradiva si bomo tisti najradovednejši ogledali grafe potenčnih funkcij z racionalnim eksponentom in opazovali lastnosti takšnih funkcij.

Ker grafe korenskih funkcij srečujemo prvič, si bomo le na nekaj primerih ogledali najzanimivejše lastnosti teh funkcij.

Na spodnji sliki je narisan graf funkcije

pri nenegativnih številih , kjer lahko število preteče števila na intervalu , število pa se lahko giblje od do .

Za opazovanje najznačilnejših lastnosti bodo ti grafi dovolj, nikakor pa to ne pomeni, da število ne bi smelo biti negativno. Tudi število bi lahko po želji še povečali.

Zakaj je graf funkcije narisan samo za ? Pri takšnih številih znamo namreč izračunati korene vseh stopenj in zagotovo ne bomo naleteli na nobeno oviro glede izračunljivosti korena.

Najprej si sliko dobro oglej, potem pa sledi spodnjim navodilom, razmišljaj in odgovori na vprašanja

Grafi potenčnih funkcij

Do zdaj smo s potencami oblike večinoma računali kot s koreni. Pa so te potence vedno koreni? Seveda ne, če je število enako , dobimo čisto običajne potence. Takrat govorimo o že znanih funkcijah: , ki jim rečemo potenčne funkcije.

Primi točko z miško in jo zelo počasi pelji navzgor po zeleni daljici od do (prepričaj se, če je ). Medtem opazuj obliko funkcij, ki nastajajo, in odgovori na spodnji vprašanji.

• Ali imajo funkcije kakšno skupno točko? Če si odgovoril pritrdilno, katero?

Kaj se dogaja z grafom funkcije f, ko število m povečujemo? Nasvet

Zdaj pa točko postavimo tako, da bo , in spreminjajmo število (po zeleni premici navzgor bomo premikali točko ). Še enkrat se spomnimo, da je

Oblika tako nastalih funkcij je povsem drugačna od prejšnjih. Še vedno imajo vse nastale funkcije dve skupni točki: in , so pa naše "korenske" funkcije veliko položnejše (čeprav še vedno naraščajoče).

Poišči pravilen odgovor na spodnje vprašanje:

• Kaj se dogaja z grafom "korenske" funkcije , ko število povečujemo?

Kot zanimivost omenimo, da so "potenčne" funkcije konveksne (graf funkcije leži pod tetivo), "korenske" funkcije pa konkavne (graf funkcije leži nad tetivo). Morda ti bosta omenjena pojma bolj znana iz fizike, kjer ste omenjali konkavne in konveksne leče ali zrcala. Pri matematiki jih bomo sicer podrobneje spoznali šele v četrtem letniku.

Zdaj pa lahko točki in prosto premikaš. Poišči odgovor na spodnje vprašanje.

• Kdaj se funkcija prelevi iz "potenčne" v "korensko"?
  
  Odgovor

Izračunaj (brez kalkulatorja) :

• ,
  
  Rešitev

• ,
  
  Rešitev

• ,
  
  Rešitev

• ,
  
  Rešitev

• .
  
  Rešitev

Naj bo . Poenostavi spodnje izraze:

• ,
  
  Rešitev

• ,
  
  Rešitev

• .
  
  Rešitev

Izračunaj:

• ,
  
  Rešitev

• ,
  
  Rešitev

• .
  
  Rešitev

Izračunaj vrednost izraza

• za in .
  
  Rešitev

• za in .
  
  Rešitev

Poenostavi izraz

Rešitev