Neskončne limite
Neskončne limite
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Pomen besede
Kaj sploh pomenita besedi neskončna limita?
Kratek odgovor je zelo preprost. Namesto realnega števila je limita funkcije, ko se bliža točki , neskončno .
Zapisano v matematičnih znakih je to:
Kdaj pa se zgodi, da je limita funkcije, ko gre proti , enaka ?
Intuitivno: če vrednosti funkcije, ko gre proti točki , rastejo čez vse meje, torej v , rečemo, da je
Primer za predstavitev
Na sliki je graf funkcije . Zanimivo je opazovati funkcijo, ko gre proti točki . Vrednost imenovalca je namreč vse bolj podobna .
Obratne vrednosti zelo majhnih pozitivnih števil (skoraj ) so zelo velika števila: . Tako so vrednosti funkcije za vrednosti blizu zelo velika realna števila. Bolj ko so vrednosti blizu , večje so vrednosti funkcije. N
a primer: in .
Intuitivno bi lahko rekli, da je
Graf funkcije v okolici točke raste, se vzpenja, in sicer ob premici , ki je navpična asimptota tega grafa. Tako smo sklepali že v tretjem letniku, ko smo risali grafe racionalnih funkcij. Vendar takrat nismo uporabljali pojma limita, pač pa smo rekli, da ima racionalna funkcija v polu navpično asimptoto; pol te funkcije pa je točka .
Lotimo se zadeve matematično natančno. Dogovorimo se:
če za vsako, še tako veliko, realno število obstaja pozitivno realno število , da za vsak iz -okolice točke , , velja .
Primer funkcije z neskončno limito
Na spodnji dinamični sliki lahko z miško spreminjaš položaj točke . Da je limita enaka , moramo za vsak najti tak , da je za vsak iz -okolice točke vrednost funkcije večja od : . Ko spreminjaš položaj točke , se spreminja tudi velikost -okolice točke . Ta -okolica točke je največja za izbrani . Kot vidiš so v modrem pasu vse točke grafa funkcije , katerih je iz -okolice točke , vrednosti pa so večje od . Tako so pogoji za neskončno limito izpolnjeni.
|
|
Razmisli
Igraj se s položajem točke in odgovori na naslednja vprašanja.
1. Kako se spreminja velikost -okolice točke ?
2. Kako se spreminja oblika grafa funkcije v okolici točke ?
3. Kaj lahko sklepaš o premici , pobarvani rdeče?
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitve
1.Večji kot je , manjša je -okolica točke .
2.Krivulja grafa je razdeljena na dva dela, vendar se vsak zase v okolici točke vzpenja v smeri osi . Ne samo da se vzpenjata dela krivulje v smeri osi v , dela krivulje sta vse bolj skupaj, a se nikjer ne dotakneta. Vzpenjata se ob premici, narisani z rdečo bravo.
3.Ta premica je po vseh pravilih navpična asimptota grafa funkcije.
Razmislimo
Na spodnji sliki je graf funkcije . Graf te funkcije je preko osi prezrcaljen graf funkcije , ki smo jo že imeli na začetku za primer. Na sliki je lepo vidno, da krivulja grafa funkcije v bližini točke pada v , ravno tako pa tudi njene vrednosti.
| Tako bi lahko zopet intuitivno sklepali, da je |
|
Če graf funkcije , za katero je
prezrcalimo čez os ,
vrednosti funkcije v bližini točke padajo v . Tako se lahko dogovorimo:
| če je |
Pomemben sklep
Če je ali
potem ima graf funkcije navpično asimptoto .
To ni težko videti, saj se graf funkcije, ko se bliža k , vse bolj bliža premici , kar je značilno za asimptote.
Poglej grafa funkcij in .
|
|
|
|
Poseben primer
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Protiprimer
Na spodnji sliki je graf funkcije , ki ima navpično asimptoto. V to smo se prepričali že v drugem letniku. Ordinatni osi se graf funkcije kar se da približa, ko se vrednosti bližajo k . Vendar se levi del krivulje bliža v , desni pa v . Lahko bi rekli, da je limita, ko gre proti , z leve strani , z desne strani pa . Kot pa vemo, je limita lahko samo ena, tako ta funkcija v točki nima limite, ima pa navpično asimptoto.
|
Racionalne funkcije imajo navpične asimptote v polih – v ničlah polinoma v imenovalcu. Če so poli sodih stopenj, lahko dokažemo obstoj navpične
asimptote celo z neskončno limito. Ko je pol lihe stopnje, pa to ne gre. V tem primeru zagovarjamo navpično asimptoto, tako kot smo to naredili
v tretjem letniku– z opazovanjem spreminjanja vrednosti funkcije v bližini pola.
Z neskončno limito pa ne moremo potrditi, da imata grafa funkcij tangens in kotangens navpične asimptote. Ti funkciji imata namreč vsaka zase neskončno navpičnih asimptot. Tangens ima navpične asimptote v točkah , kotangens pa v točkah , kjer je celo število.
Dodatne naloge 1
Izračunaj limite in poveži!
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitve
ne obstaja
ne obstaja
Dodatne naloge 2
Določi navpične asimptote grafov spodnjih funkcij in poveži.
Pravilno
Utemeljitev
1.
| Navpična asimptota je , saj je |
2.
| Navpična asimptota je ali ordinatna os, saj je |
3.
| Navpični asimptoti sta , saj je | in , ki pa je z limito ne moremo utemeljiti, |
saj v točki limita funkcije ne obstaja (pol tretje stopnje).
4.
| Navpična asimptota je ali os ,saj je |
5.
| Navpična asimptota je , saj je |
Napačno
Poskusi še enkrat.
Rešitve
1.
| Navpična asimptota je , saj je |
2.
| Navpična asimptota je ali ordinatna os, saj je |
3.
| Navpični asimptoti sta , saj je | in , ki pa je z limito ne moremo utemeljiti, |
saj v točki limita funkcije ne obstaja (pol tretje stopnje).
4.
| Navpična asimptota je ali os ,saj je |
5.
| Navpična asimptota je , saj je |
Dodatne naloge 3
Določi vodoravno in navpično asimptote grafa funkcije . Nariši graf funkcije .
- Funkcija ima vodoravno asimptoto .
- Premica je navpična asimptota.
Pravilno
Utemeljitev
| Premica je navpična asimptota, saj je | in |
| Premica je navpična asimptota, saj je |
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
| Premica je navpična asimptota, saj je | in |
| Premica je navpična asimptota, saj je |
|
Rezultati
