Gradiva nauk.si zahtevajo za pravilen prikaz sodoben brskalnik. Preverjeno delujejo
z brskalniki Mozilla Firefox 3.5+, Google Chrome 4.0+, Safari 4.0+, Internet Explorer 8.0+ ali Opera 10.50+.
V primeru, da uporabljate Internet Explorer 8, preverite, če imate vklopljen združljivostni način
(Compatibility view), ki ga lahko izklopite s klikom na ikono, ki jo vidite na spodnji sliki.
Tabeliraj in nariši graf
Vemo že, da je predpis za eksponentno funkcijo oblike , kjer je osnova pozitivno realno število, različno od . Lastnosti eksponentne funkcije bomo spoznali s preučevanjem njenega grafa. Za začetek izpolni spodnjo tabelo za funkcijo . Rezultat, ki ga je potrebno zaokrožiti, zaokroži na štiri decimalke.
Dobljene točke vnesi v koordinatni sistem. Skozi narisane točke nariši krivuljo. Če želiš, lahko izračunaš več točk, kot je predlagano v tabeli. Če si točke pravilno izračunal in narisal, je dobljena krivulja takšna kot na eni od spodnjih slik.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Grafa funkcij in sta zrcalna glede na ordinatno os.
Kaj se zgodi, če enega od grafov prezrcališ preko ordinatne osi?
Modra krivulja je graf funkcije , rdeča pa je graf funkcije .
Spremenimo osnovo
V prvi nalogi smo za osnovo eksponentne funkcije izbrali , nato pa še obratno vrednost te osnove, . Ponovi obe nalogi tako, da izbereš drugačno začetno osnovo (na primer 3 ali 4). So ugotovitve dobljene z drugačno osnovo drugačne od ugotovitev iz zgornjih nalog? Spodnja slika prikazuje grafa eksponentnih funkcij z obratnima osnovama. Moder graf pripada funkciji , rdeč pa funkciji .
Grafa funkcij funkciji in sta zrcalna glede na ordinatno os.
Naj bo poljubno realno število. Na grafu funkcije leži točka . Izračunajmo .
Na grafu funkcije leži točka . Točki in imata nasprotni abscisi in enaki ordinati, torej ležita simetrično na ordinatno os. Ker to velja za vsako realno število , sta grafa funkcij in zrcalna na ordinatno os.
Razišči lastnosti eksponentne funkcije
Spodnja slika prikazuje graf eksponentne funkcije . S premikanjem rdečega drsnika lahko spreminjaš osnovo funkcije. Sledi navodilom in odgovori na vprašanja oziroma vpiši manjkajoče besede.
Da je za eksponentne funkcije značilna hitra rast ali padanje, smo spoznali pri definiciji eksponentne funkcije. Poleg naraščanja in padanja pa imajo funkcije tudi druge lastnosti. Po navadi nas zanimajo še omejenost (navzgor, navzdol), sodost lihost, presečišča z abscisno osjo (ničle), definicijsko območje in zaloga vrednosti. Spodnje besedilo opisuje naštete lastnosti za eksponentno funkcijo. Oglej si še enkrat graf eksponentne funkcije, dopolni besedilo in odgovori na vprašanje.
Eksponentna funkcija je navzgorje navzdolje povsodni nikjer
neomejena, navzgornavzdolpovsodnikjer
pa je omejena z (vpiši številko). Njeno definicijsko območje je množica realnihpozitivnihnegativnihkompleksnih
števil, zaloga vrednosti pa so pozitivnanegativnakompleksna
realna števila.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Če je osnova eksponentne funkcije večja od 1, je eksponentna funkcija naraščajoča, saj je osnova je vedno pozitivna, tudi kadar je eksponentna funkcija padajoča in ni naraščajoča, če poskusimo z osnovo manjšo od .
Eksponentna funkcija je padajoča, kadar je njena osnova večja od in manjša od , saj kadar je njena osnova večja od je eksponentna funkcija naraščajoča.
Graf eksponentne funkcije ni simetričen ne na ordinatno os ne na koordinatno izhodišče, zato eksponentna funkcija ni ne soda ne liha.
Spreminjaj osnovo in opazuj graf.
Spreminjaj osnovo in opazuj graf.
Graf sode funkcije je simetričen na ordinatno os, graf lihe funkcije pa je simetričen na koordinatno izhodišče.
Presečišča s koordinatnima osema in obnašanje v neskončnosti
Spodnja slika prikazuje graf eksponentne funkcije . S premikanjem rdečega drsnika lahko spreminjaš osnovo, s premikanjem zelene točke pa spreminjaš absciso točke z grafa. Koordinate točke so izpisane pod grafom. Sledi navodilom in odgovori na vprašanja oziroma vpiši manjkajoče besede.
Imejmo eksponentno funkcijo z osnovo med in . Ko gre neodvisna spremenljivka proti neskončnosti, se graf funkcije bliža abscisni osi a se je ne dotakne.
Imejmo eksponentno funkcijo z osnovo večjo od . Ko gre neodvisna spremenljivka proti minus neskončnosti, se graf funkcije strmo dviguje. Pravilno.Nepravilno.
Graf eksponentne funkcije z osnovo med in se približuje abscisni osi, ko gre neodvisna spremenljivka proti neskončno. Če pa je osnova večja od , se graf eksponentne funkcije približuje abscisni osi, ko gre neodvisna spremenljivka proti minus neskončno. Pravimo, da je abscisna os asimptota grafa eksponentne funkcije. Graf se ji približuje, a je ne preseka in se je nikoli ne dotakne.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Graf eksponentne funkcije seka ordinatno os v točki ne glede na osnovo funkcije.
Eksponentna funkcija nima ničel.Pravilno.
Ničla funkcije je tisto število, kjer zavzame funkcija vrednost . Graf funkcije preseka abscisno os v ničli funkcije. Graf eksponentne funkcije nikoli ne preseka abscisne osi, torej eksponentna funkcija nima ničel.
Imejmo eksponentno funkcijo z osnovo med in . Ko gre neodvisna spremenljivka proti neskončnosti, se graf funkcije bliža abscisni osi a se je ne dotakne. Pravilno.
Za osnovo med 0 in 1 velja: ko gre neodvisna spremenljivka x proti neskončnosti, postajajo funkcijske vrednosti vse manjše, s tem pa se manjšajo ordinate točk z grafa. Tako se graf funkcije bliža abscisni osi a se je ne dotakne.
Imejmo eksponentno funkcijo z osnovo večjo od . Ko gre neodvisna spremenljivka proti minus neskončnosti, se graf funkcije strmo dviguje.Nepravilno.
Za osnovo večjo od velja: ko gre neodvisna spremenljivka proti minus neskončnosti, postajajo funkcijske vrednosti vse manjše, s tem pa se manjšajo ordinate točk z grafa. Tako se graf funkcije bliža abscisni osi a se je ne dotakne.
Presečišča s koordinatnima osema in obnašanje v neskončnosti
Z zelenim drsnikom izberi poljubno pozitivno absciso točke . Z rdečim drsnikom spreminjaj osnovo funkcije in opazuj, kako se spreminja ordinata točke . Dopolni spodnjo poved.
Za pozitivne vrednosti neodvisne spremenljivke leži graf eksponentne funkcije z večjo osnovo
Z zelenim drsnikom izberi poljubno negativno absciso točke . Z rdečim drsnikom spreminjaj osnovo funkcije in opazuj, kako se spreminja ordinata točke . Dopolni spodnjo poved.
Za negativne vrednosti neodvisne spremenljivke leži graf eksponentne funkcije z večjo osnovo
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Za pozitivne vrednosti neodvisne spremenljivke leži graf eksponentne funkcije z večjo osnovo nad grafom eksponentne funkcije z manjšo osnovo. Velja namreč, da iz za sledi .
Za negativne vrednosti neodvisne spremenljivke leži graf eksponentne funkcije z večjo osnovo pod grafom eksponentne funkcije z manjšo osnovo. Velja namreč, da iz za sledi .
Izračunajmo .
Ker je za vsak , je na grafu vsake eksponentne funkcije točka .
Ničla funkcije je tisto število, kjer zavzame funkcija vrednost . Graf funkcije preseka abscisno os v ničli funkcije. Z zelenim drsnikom spreminjaj absciso točke A in opazuj spreminjanje njene ordinate. Je ordinata kdaj enaka ?
Z rdečim drsnikom izberi osnovo med in . Z zelenim drsnikom večaj absciso točke in opazuj spreminjanje njene ordinate. Je ordinata kdaj enaka ?
Z rdečim drsnikom izberi osnovo večjo od . Z zelenim drsnikom manjšaj absciso točke in opazuj spreminjanje njene ordinate. Je ordinata kdaj enaka ?
Grafi različnih eksponentnih funkcij
Z opazovanjem in primerjanjem smo odkrili nekatere lastnosti eksponentne funkcije. Vidimo, da jih lahko glede na osnovo razdelimo v dve družini. V prvi so eksponentne funkcije z osnovo med in , v drugi pa tiste z osnovo večjo od . Strnimo naše dosedanje ugotovitve.
Grafi različnih eksponentnih funkcij
Z osnovo med 0 in 1
Z osnovo več kot 1
Z različnimi osnovami
Definicijsko območje eksponentne funkcije so realna števila, zaloga vrednosti pa pozitivna realna števila.
Eksponentna funkcija je navzgor neomejena in navzdol omejena z .
Eksponentna funkcija ni ne soda in ne liha.
Eksponentna funkcija z osnovo večjo od je naraščajoča, eksponentna funkcija z osnovo med in pa padajoča.
Presečišče grafa eksponentne funkcije in ordinatne osi je točka , abscisne osi graf ne preseka – eksponentna funkcija nima ničel.
Abscisna os je asimptota grafa eksponentne funkcije. Graf eksponentne funkcije z osnovo med in se ji približuje, ko gre neodvisna spremenljivka proti neskončno, graf eksponentne funkcije z osnovo večjo od pa se ji približuje, ko gre neodvisna spremenljivka proti minus neskončno.
Kako določimo funkcijski predpis?
Če je funkcijski predpis dan, lahko narišemo graf funkcije bodisi s poznavanjem lastnosti grafa bodisi s tabeliranjem. Kaj pa, kadar je dan graf in bi radi določili funkcijski predpis? Koliko točk zadošča za enolično določitev funkcijskega predpisa?
Najprej razmisli, ali se dve eksponentni funkciji sekata še v kakšni drugi točki, ali le v ? Za pomoč si oglej zgornje slike grafov.
Odgovor:
Grafa poljubnih dveh eksponentnih funkcij
S koliko točkami z grafa je funkcijski predpis eksponentne funkcije natanko določen?
Odgovor:
Eksponentna funkcija
Za poljubno eksponentno funkcijo velja, da je . Če lahko z grafa odčitamo natančno vrednost ordinate točke z absciso , je osnova že znana. Kakšen je funkcijski predpis, če na grafu funkcije leži točka ?
Ker je je . Funkcijski predpis iskane funkcije je:
Na grafu katere eksponentne funkcije leži točka ?
Torej je iskana eksponentna funkcija je:
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Grafa poljubnih dveh eksponentnih funkcij se sekata le v točki . Torej za vsako drugo točko velja, da skozi njo poteka le graf ene eksponentne funkcije.
Eksponentna funkcija ima le en parameter – osnovo a. Torej za enolično določitev funkcijskega predpisa zadošča le ena točka z grafa.
Funkcijski predpis, če na grafu funkcije leži točka je .
Če na grafu leži točka je iskana eksponentna funkcija , saj velja:
Poiskati moraš osnovo eksponentne funkcije. Koordinate točke, ki leži na grafu dane funkcije, so oblike . Zato je . Od tod izračunaj .
Določi funkcijski predpis
Spodnja slika prikazuje graf neke eksponentne funkcije. S premikanjem zelene točke lahko spreminjaš absciso točke z grafa. Koordinate točke so izpisane pod grafom. Določi funkcijski predpis funkcije, katere graf je na sliki.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Na sliki je graf funkcije .
S premikanjem zelene točke določi takšno absciso, da bo ordinata točke A čim "lepša".
Preveri svoje znanje
Oglej si spodnjo sliko, na kateri so prikazani grafi štirih eksponentnih funkcij. Dopolni besedilo pod sliko.
Graf funkcije je modrezelenerdečevijolične
barve. Funkcija, katere graf je rdeče barve, ima večjomanjšoenako
osnovo od funkcije, katere graf je vijolične barve. Najmanjšo osnovo izmed narisanih funkcij ima tista, katere graf je narisan z modrozelenordečovijolično
barvo, največjo osnovo izmed vseh pa ima tista funkcija, katere graf je narisan z modrozelenordečovijolično
barvo. Funkciji z rdečim in vijoličnim grafom imata osnovo večjomanjšoenako
od , funkciji z modrim in zelenim grafom pa imata osnovo večjomanjšoenako
od .
Desno od ordinatne osi je graf eksponentne funkcije z večjo osnovo nad grafom eksponentne funkcije z manjšo osnovo. Osnovo najlažje določimo tako, da na grafu odčitamo točko z absciso (če je to seveda možno).
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Napačno
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Graf funkcije je modre barve. Funkcija, katere graf je rdeče barve, ima večjo osnovo od funkcije, katere graf je vijolične barve. Najmanjšo osnovo izmed narisanih funkcij ima tista, katere graf je narisan z zeleno barvo, največjo osnovo izmed vseh pa ima tista funkcija, katere graf je narisan z vijolično barvo. Funkciji z rdečim in vijoličnim grafom imata osnovo manjšo od , funkciji z modrim in zelenim grafom pa imata osnovo večjo od .
