Vsota vektorjev

Vsota vektorjev

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Več o projektu...

Uvod

Recimo, da Mašo in Tjašo zanima, koliko tehtata skupaj. Naloga je silno preprosta: ugotoviti morata, koliko tehta vsaka posebej in dobljeni števili (skalarja) sešteti.

Kaj pa, če ju zanima, s kolikšno skupno silo potiskata voziček, če ga obe potiskata z enako veliko silo? Je možno, da se voziček kljub temu sploh ne premakne?

Odgovor je pritrdilen: je možno! Če voziček potiskata obe z iste strani tako, da sta njuni sili enako usmerjeni, na voziček delujeta z dvojno silo posameznega dekleta. Če pa bi se dekleti postavili ena nasproti druge in tiščali voziček z enako velikima silama, bi le-ta obstal na miru. Ponazorimo to z vektorji!

Največji in najmanjši učinek dveh enako velikih sil

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka




 
Sile so vektorske količine! Razen njihove velikosti je nadvse pomembna tudi smer in usmerjenost delovanja! Le-ta bistveno vpliva na vsoto sil.

Seštevanje vektorjev

 
Vektorje seštevamo grafično (z risanjem) tako, da začetno točko naslednjega vektorja postavimo v končno točko prejšnjega vektorja (s tem vektorje nanizamo v verigo enega za drugim). Vsota vektorjev je vektor, ki poteka od začetne točke prvega do končne točke zadnjega vektorja. Vsota predstavlja bližnjico od začetka do konca poti po vseh nanizanih vektorjih.
Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


 
Dva vektorja lahko seštejemo po trikotniškem ali po paralelogramskem načinu.
Trikotniški način seštevanja vektorjev
Paralelogramski način seštevanja vektorjev

Trikotniški način seštevanja vektorjev

Pri trikotniškem načinu seštevanja postavimo vektorja drugega za drugim. Njuna vsota poteka od začetne točke prvega do končne točke drugega in predstavlja tretjo stranico nastalega trikotnika. Trikotniški način seštevanja vektorjev

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Paralelogramski način seštevanja vektorjev

Če seštevamo vektorja po paralelogramskem pravilu, ju postavimo tako, da imata skupno začetno točko, nato pa sliko dopolnimo do paralelograma, pri čemer vektorja določata dve njegovi stranici. Vsota je vektor, ki se začne v isti točki, kot dana vektorja, leži pa na diagonali paralelograma. Paralelogramski način seštevanja vektorjev

Lastnosti seštevanja vektorjev

 

Seštevanje vektorjev ima podobne lastnosti, kot seštevanje števil. To so:

Več o zgornjih lastnostih
S spodnjimi slikami ponazorimo prvi dve lastnosti:
Komutativnost seštevanja
Asociativnost seštevanja

Lastnosti seštevanja vektorjev

Prva lastnost se imenuje komutativnostni zakon ali zakon o zamenjavi, druga je asociativnostni zakon ali zakon o združevanju, tretja govori o tem, da je ničelni vektor t.i. nevtralni element za seštevanje, četrta pa pove, da pri seštevanju nasprotnih vektorjev dobimo nevtralni element, se pravi, ničelni vektor.

Komutativnost seštevanja

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Asociativnost seštevanja

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Odštevanje vektorjev

Vektorje lahko tudi odštevamo in to zelo podobno, kot pri številih.

 

Vektor odštejemo tako, da prištejemo njegov nasprotni vektor, se pravi:

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Razliko vektorjev lahko poiščemo tudi tako, da vektorja in postavimo v lego s skupno začetno točko. Razlika vektorjev je vektor, ki povezuje končni točki vektorjev in in je usmerjen proti prvemu členu odštevanja, se pravi, proti vektorju . Iskani vektor razlike najdemo tudi na eni diagonali paralelograma iz paralelogramskega pravila, medtem ko na drugi, kot že vemo, leži vektor .

Vsota in razlika vektorjev v paralelogramu

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka


Z vektorji pa lahko razen seštevanja in odštevanja izvajamo tudi več različnih vrst množenja. S prvim se srečamo v gradivu Produkt vektorja s skalarjem.

Naloga 1

Poenostavi dane izraze:

=
=
Ne da se poenostaviti.
Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 2

Dan je kvadrat ABCD. Nariši vektorje:

Preveri
Rešitev risanja

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

rešitev

(skicanaloge.png)

Naloga 3

V pravilnem šestkotniku ABCDEF je in . Z vektorjema in izrazi naslednje vektorje:











Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 4

V kocki ABCDA’B’C’D’ (A’ je nad A, ...) je , in . Spodnje vektorje izrazi kot vsoto in razliko vektorjev , in :

















Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

0%
0%