Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Definicija odvoda

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Tukaj boš spoznal diferenčni količnik in nato še definicijo odvoda. Spoznal boš odvode potenčnih funkcij, kotnih funkcij sinus in kosinus ter eksponentne funkcije.

Pot pod noge

Janez se pripravlja na pohod na Trdinov vrh. Pregleda vse vodnike in se seznani s potmi. V vodniku prebere, da je višinska razlika med Novim mestom in Trdinovim vrhom $976$ m.

Vprašanje

Koliko znaša nadmorska višina Trdinovega vrha?

$976$ m

$976$ m več kot nadmorska višina v Novem mestu

Iz znanih podatkov se ne da določiti nadmorske višine.

Preveri

Pravilno

Narobe

To je samo razlika med krajema.

Namig

Narobe

Dobro preberi ponovno.

Namig

Poglej na zemljevid, če drugače ne gre.

Interaktivno besedilo I

Sprememba vrednosti ali diferenca dveh določenih vrednosti $x_0$ in $x_1$ je razlika njunih vrednosti $\Delta x=x_1-x_0$ .

Povzetek

V prejšnjem primeru bi lahko rekli, da je v besedilu podana sprememba dveh vrednosti in ne posamezna vrednost.

Sprememba vrednosti na grafu funkcije

Premikaj točki $A$ ali $B$ in opazuj spremembi vrednosti po $x$ in $y$ osi.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Diferenčni količnik

Sestavimo nov pojem diferenčni količnik (količnik diferenc) dveh točk $A(x_0,y_0)$ in $B(x_1,y_1)$ . Označi tistega, ki se skriva pod tem imenom.

$\frac{y_1}{x_1}-\frac{y_0}{x_0}$

$\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

$\frac{x_1-x_0}{y_1-y_0}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Diferenčni količnik

Oglej si sliko in opazuj diferenčni količnik. Premikaš lahko točki $A$ in $B$ .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Zelo pogosto točko $A(x_0,y_0)$ označimo z $A(x,y)$ , kjer je $y=f(x)$ . Diferenco lahko zapišemo kot $\Delta x=x_1-x=h$ . Iz zadnjega tega sledi, da je $x_1=x+h$ . Potem velja

$\Delta x=y_1-y=f(x_1)-f(x)=f(x+h)-f(x)$ .

Zdaj lahko sestavimo diferenčni količnik funkcije $f(x)$ in dobimo

$\frac{y_1-y}{x_1-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Definicija odvoda

Če obstaja limita diferenčnega količnika funkcije $f(x)$ , ko gre sprememba $h$ proti $0$ , potem to imenujemo odvod funkcije $f(x)$ .

$f´(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Primer

Po definiciji odvajajmo funkcijo $f(x)=x^2$ .

Najprej je potrebno izračunati diferenčni količnik. Ta je enak

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}$ .

V števcu izpostavimo $h$ , ulomek okrajšamo in za diferenčni količnik dobimo $2x+h$ . Po definiciji odvoda diferenčni količnik še limitiramo ko gre $h$ proti $0$ in dobimo

$\lim_{h \to 0}(2x+h)=2x.$

To pomeni, da je odvod funckije $f(x)=x^2$ enak $f´(x)=2x$ .

Naredi sam

Po definiciji(kot v prejšnjem primeru) odvajaj funkcijo $f(x)=x^3$ in izberi rezultat.

$f´(x)=3x^3$

$f´(x)=x^2$

$f´(x)=3x^{2}$

Preveri

Pravilno

Utemeljitev
Primer rešiš po definiciji in s pomočjo zgornjega primera. Najprej poiščeš diferenčni količnik funkcije $f(x)$ . Okrajšan diferenčni količnik je enak

$3x^2+3xh+h^2$ .

Zdaj izračunaš še limito ko gre $h$ proti $0$ in dobiš, da je odvod funkcije

$f(x)=x^3$ enak $f´(x)=3x^2$ .

Napačno

Poskusi še enkrat.

Rešitev
Primer rešiš po definiciji in s pomočjo zgornjega primera. Najprej poiščeš diferenčni količnik funkcije $f(x)$ . Okrajšan diferenčni količnik je enak

$3x^2+3xh+h^2$ .

Zdaj izračunaš še limito ko gre $h$ proti $0$ in dobiš, da je odvod funkcije

$f(x)=x^3$ enak $f´(x)=3x^2$ .

Posplošitev

Odvod funkcije $f(x)=x^n$ , kjer je $n$ naravno število, je enak

$f´(x)=nx^n$

$f´(x)=x^{n-1}$

$f´(x)=nx^{n-1}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi še enkrat.

Odvod kotne funkcije sinus

Kaj pa ostale funkcije?
Za ostale elementarne funkcije potrebuješ nekaj znanih dejstev s prejšnjih poglavij. Tu boš naredil nekaj primerov, najbolje, da po definiciji odvajaš vse elementarne funkcije. Kasneje jih boš z ustreznimi pravili še sestavil.

Odvod kotne funkcije sinus
Najprej poglejmo diferenčni količnik funkcije $f(x)=\sin{x}$ , ki je enak $\frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h}$ . Za nadaljevanje potrebuješ faktorizacijo kotnih funkcij. Formula je enaka

$\sin{(y)}-\sin{(x)}=2\sin{(\frac{y-x}{2})}\cos{(\frac{y+x}{2})}$ .

Diferenčni količnik je potem enak $\frac{2\sin{(\frac{h}{2})}\cos{(\frac{2x+h}{2})}}{h}$ .

Diferenčnemu količniku izračunamo limito, ko gre $h$ proti $0$ , upoštevamo še vrednost limite

$\lim_{h \to 0}\frac{\sin{h}}{h}=1$

in dobimo, da je odvod kotne funkcije

$f(x)=\sin{x}$ enak $f´(x)=\cos{x}$ .

Vaja

Po definiciji odvajaj kotno funkcijo $f(x)=\cos{x}$ .

$f´(x)=-\cos{x}$

$f´(x)=\sin{x}$

$f´(x)=-\sin{x}$

Preveri

Pravilno

Utemeljitev
Najprej narediš diferenčni količnik funkcije $f(x)=\cos{x}$ , ki je enak

$\frac{\cos{(x+h)}-\cos{x}}{h}=-2\sin{(\frac{2x+h}{2})}\sin{(\frac{h}{2})}$ .

Ponovno upoštevaš, da je

$\lim_{h \to 0}\frac{\sin{h}}{h}=1$

in dobiš, da je odvod kotne funkcije

$f(x)=\cos{x}$ enak $f´(x)=-\sin{x}$ .

Napačno

Poskusi še enkrat.

Rešitev
Najprej narediš diferenčni količnik funkcije $f(x)=\cos{x}$ , ki je enak

$\frac{\cos{(x+h)}-\cos{x}}{h}=-2\sin{(\frac{2x+h}{2})}\sin{(\frac{h}{2})}$ .

Ponovno upoštevaš, da je

$\lim_{h \to 0}\frac{\sin{h}}{h}=1$

in dobiš, da je odvod kotne funkcije

$f(x)=\cos{x}$ enak $f´(x)=-\sin{x}$ .

Odvod eksponentne funkcije

Odvajaj funkcijo $f(x)=e^{x}$ .

$f´(x)=xe^{x-1}$

$f´(x)=xe^x$

$f´(x)=e^x$

Preveri

Pravilno

Utemeljitev
Najprej izračunaš diferenčni količnik funkcije $f(x)=e^x$ , ki znaša

$\frac{e^x+h-e^x}{h}=\frac{e^x(e^h-1)}{h}$ .

Diferenčnemu količniku izračunaš limito ko gre $h$ proti $0$ , pri tem uporabiš znano limito

$\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$

in dobiš odvod eksponentne funkcije, ki je enak
$(e^x)´=e^x$ .

Napačno

Poskusi še enkrat.

Rešitev
Najprej izračunaš diferenčni količnik funkcije $f(x)=e^x$ , ki znaša

$\frac{e^x+h-e^x}{h}=\frac{e^x(e^h-1)}{h}$ .

Diferenčnemu količniku izračunaš limito ko gre $h$ proti $0$ , pri tem uporabiš znano limito

$\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$

in dobiš odvod eksponentne funkcije, ki je enak
$(e^x)´=e^x$ .

Odvod eksponentne funkcije

Odvajaj funkcijo $f(x)=a^{x}$ .

$f´(x)=xa^{x-1}$

$f´(x)=a^x$

$f´(x)=a^x\ln{a}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi še enkrat.

Rešitev

$(a^x)´=a^x\ln{a}$

Dodatne naloge 1

Dani sta točki $A(−2, 3)$ in $B(1,−5)$ . Izračunaj deferenčni količnik za ti dve dani točki.

$k=-\frac{3}{8}$

$k=2$

$k=-\frac{8}{3}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi še enkrat.

Rešitev

$k=-\frac{8}{3}$

Dodatne naloge 2

Dana je funkcija $f(x) = x^3 − 4x^2$ in točki $A(1, y_1)$ in $B(x_2 \in \mathbb{Z},−9)$ na njej. Izračunaj koordinati obeh točk in določi diferenčni količnik.

$A=($ , $)$ , $B=($ , $)$ ,

$k=$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

$A(1,−3)$ ,
$B(3,−9)$ ,
$k = −3$

Dodatne naloge 3

Pravilno

Napačno

Poskusi še enkrat.
Pravilno si rešil od 4 primerov.

Rešitev

a) $f´(x) = 3$
b) $f´(x) = 2x − 3$
c) $f´(x) = 6x^2 + 6x$
d) $f(x) = e^x$

a) $f(x) = 3x − 7$ $f´(x)=3x$ $f´(x)=-3$ $f´(x)=3$	b) $f(x) = x^2 − 3x$ $f´(x)=x^2-3$ $f´(x)=2x-3x$ $f´(x)=2x-3$
c) $f(x) = 2x^3 + 3x^2$ $f´(x)=2x^2+3x$ $f´(x)=3x^2+3x^2$ $f´(x)=6x^2+6x$	d) $f(x) = e^{x−3}$ $f´(x)=-3e^x$ $f´(x)=3e^x$ $f´(x)=e^x$

Definicija odvoda

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Definicija odvoda

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Vprašanje

Pravilno

Narobe

Narobe

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev