Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Pravila za odvajanje

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Uvod

Imamo dve funkciji, ki ju znamo odvajati. Nam to kaj pomaga pri računanju odvoda vsote, razlike, produkta in kvocienta teh dveh funkcij? Spoznajmo pravila.

Verjamem, da ti je do sedaj uspelo izračunati že kar nekaj odvodov preprostih funkcij. Najbrž si opazil, da je računanje odvoda po definiciji precej zamudno, dolgotrajno. Celo pri preprostih potenčnih funkcijah višje stopnje se nam lahko zatakne.

Definicija odvoda

Odvod funkcije $f(x)$ je limita diferenčnega količnika, ko $h$ pošljemo proti $0$ :

$f´(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

To je torej funkcija, če seveda sploh obstaja. Odvod v izbranem $x_0$ pa je realno število. Izračunamo ga tako, da v odvod namesto $x$ vstavimo $x_0$ .

Preizkusi se

Izračunaj odvod funkcije $f(x)=x^3+x$ po definiciji.

$f´(x)=x^2$

$f´(x)=x^2+1$

$f´(x)=3x^2+1$

Preveri

Pravilno

Utemeljitev
Poglejmo po vrsti. Najprej je treba zapisati diferenčni količnik in ga nato poenostaviti:

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$
$=\frac{((x+h)^3+(x+h))-(x^3+x)}{h}=3x^2+3h \cdot x+h^2+1$

Potem izračunamo le še njegovo limito, ko $h$ pošljemo proti $0$ :

$f´(x)=\lim_{h \to 0}(3x^2+3h \cdot x+h^2+1)=3x^2+1.$

Napačno

Poskusi še enkrat.

Rešitev
Pravilen rezultat je $f´(x)=3x^2+1$ . Poglejmo po vrsti. Najprej je treba zapisati diferenčni količnik in ga nato poenostaviti:

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$
$=\frac{((x+h)^3+(x+h))-(x^3+x)}{h}=3x^2+3h \cdot x+h^2+1$

Potem izračunamo le še njegovo limito, ko $h$ pošljemo proti $0$ :

$f´(x)=\lim_{h \to 0}(3x^2+3h \cdot x+h^2+1)=3x^2+1.$

Odvod vsote

Pa si oglejmo prvo pravilo za računanje odvodov. Vsoto dveh funkcij odvajamo tako, da odvajamo vsako posebej in nato odvoda seštejemo. Seveda lahko naredimo oboje naenkrat. Pravilo se zapiše takole:

$(f(x)+g(x))´=f´(x)+g´(x)$ ali krajše $(f+g)´=f´+g´$ .

Te zanima dokaz?

Izpeljimo formulo z upoštevanjem definicije odvoda. Predlagam ti, da premisliš vsak korak.

$(f(x)+g(x))´=\lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}=$

$=\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)=$

$=\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)+\lim_{h \to 0}\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)=f´(x)+g´(x)$

Odvod vsote

Oglejmo si preprost primer. Vzemimo funkcijo $f(x)=x^4+x^3$ . Ker odvode potenc že poznamo, ne bo težav:

$f´(x)=(x^4+x^3)´=(x^4)´+(x^3)´=4x^3+3x^2$ .

Poskusi še izračunati odvod funkcije $g(x)=x^{100}+x^{101}+x^{102}$ na podoben način in označi pravilni odgovor.

$g´(x)=x^{99}+x^{100}+x^{101}$

$g´(x)=100x^{100}+101x^{101}+102x^{102}$

$g´(x)=100x^{99}+101x^{100}+102x^{101}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

$g´(x)=100x^{99}+101x^{100}+102x^{101}$

Odvod razlike

Podobno pravilo velja tudi za razliko dveh funkcij:

$(f(x)-g(x))´=f´(x)-g´(x)$ ali krajše $(f-g)´=f´-g´$ .

Odvod razlike

Preizkusi se 1

Odvod funkcije $f(x)=-x^3-x^2$ je enak:

$-3x^3-2x^2$

$-3x^2-2x$

$-x^5$

Preveri

Pravilno

Narobe

Vzemimo funkcijo $h(x)=x^2 \cdot (x^3+1)$ . Tukaj imamo produkt dveh funkcij; prva je $x^2$ , druga pa $x^3+1$ . Ob upoštevanju pravila dobimo:

$h´(x)=(x^2)´ \cdot (x^3+1)+(x^2) \cdot (x^3+1)´=2x \cdot (x^3+1)+x^2 \cdot 3x^2=5x^4+2x$ .

Razmisli, kako bi isto funkcijo odvajal še drugače. Odgovor najdeš skrit pod naslednjim gumbom.

Včasih pride prav

V tem primeru (in tudi v kakšnih podobnih) je najbolje zapis funkcije pred odvajanjem poenostaviti. Odpravimo oklepaje in šele nato odvajamo.
$h(x)=x^5+x^2$
$h´(x)=5x^4+2x$

Odvod produkta

Čas je za vajo!

V zvezek si prepiši funkcijo $f(x)=(x^2+3) \cdot (x^2-3)$ in jo odvajaj. Nato odvajaj še funkcijo $h(x)=(x^5+x^4) \cdot x$ in označi pravilen rezultat.

$f(x)=(x^2+3) \cdot (x^2-3)$

$f´(x)=2x+2x$

$f´(x)=4x$

$f´(x)=4x^3$

$h(x)=(x^5+x^4) \cdot x$

$h´(x)=5x^4+4x^3$

$h´(x)=5x^5+4x^4$

$h´(x)=6x^5+5x^4$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

$f´(x)=4x^3$

$h´(x)=6x^5+5x^4$

Odvod produkta

Poseben primer pravila za produkt dobimo, če vzamemo funkcijo, ki je pomnožena s konstanto, torej z nekim številom. Sam pokaži, da velja naslednja formula. Upoštevaj, da je odvod konstante enak $0$ .

$(k \cdot f(x))´=k \cdot f´(x)$

Vaja

Premisli, ali veljajo naslednje trditve.

1. Odvod funkcije $h(x)=-4x^2+3x-5$ je enak $-8x+3$ .

Nepravilno Pravilno

2. Odvod funkcije $f(x)=2x^4-3x^2-7$ je enak $8x^3-6x$ .

Nepravilno Pravilno

3. Odvod funkcije $g(x)=10x^3+10x+10$ je enak $10x^2+10x$ .

Nepravilno Pravilno

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

1. Pravilno
2. Pravilno
3. Nepravilno

Vaja

Odvajaj funkcijo $g(x)=(2x-1)^3$ in označi pravilen odgovor.

$g´(x)=3 \cdot (2x-1)^2$

$g´(x)=6$

$g´(x)=6 \cdot (2x-1)^2$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi in si pomagaj z namigom.

Najprej izraz v oklepaju potenciraj in šele nato odvajaj.

Odvod kvocienta

Spoznajmo še zadnje pravilo, to je tisto, ki nam bo pomagalo ugnati odvod funkcije, ki je ulomek dveh funkcij. Formula je spet malce nenavadna na pogled, naj ti ne vzame poguma. Radovednejši dijaki naj njen dokaz poiščejo v kakšnem učbeniku.

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)´=\frac{f´(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g´(x)}{g^2(x)}$ , krajše pa $\left(\frac{f}{g}\right)´=\frac{f´ \cdot g - f \cdot g´}{g^2}$

Spet je dobrodošlo, da se ga poskusiš naučiti na pamet in si ga ob konkretni nalogi v mislih izgovarjaš ... Pa odvajajmo funcijo $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$ . Najprej bomo pisali daljše, potem pa zapis skrčili:

$f´(x)=\frac{(x^2)´ \cdot (x+1)-x^2 \cdot (x+1)´}{(x+1)^2}=\frac{2x \cdot (x+1)-x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ .

Odvod kvocienta

Naslednje funkcije si prepiši v zvezek in jih odvajaj. Nato označi pravilni rezultat.

$h(x)=\frac{3x}{x^2+4x}$

$h´(x)=\frac{3}{(x+4)^2}$

$h´(x)=\frac{-3}{(x+4)}$

$h´(x)=\frac{-3}{(x+4)^2}$

$m(x)=\frac{1}{x^3}$

$m´(x)=\frac{-3}{x^3}$

$m´(x)=\frac{3}{x^4}$

$m´(x)=\frac{-3}{x^4}$

$p(x)=\frac{5}{x^2}$

$p´(x)=\frac{-10x}{x^3}$

$p´(x)=\frac{5}{x^4}$

$p´(x)=\frac{-10}{x^3}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi. Pravilno si rešil od 3 primerov.

Rešitve

$h´(x)=\frac{-3}{(x+4)^2}$

$m´(x)=\frac{-3}{x^4}$

$p´(x)=\frac{-10}{x^3}$

Novo pravilo?

Vzemi preprosto racionalno funkcijo $f(x)=\frac{1}{x^n}$ , kjer je $n$ naravno število, in jo odvajaj. Zagotovo s tem ne boš imel težav. Potem pa oboje (funkcijo in odvod) zapiši v obliki potenc s celimi stopnjami. Ali kaj opaziš?

Kaj lahko opazimo?

Dodatne naloge

1. naloga

6. naloga

$f_6(x)=x^2 \cdot \frac{x^2+4x}{x+1}$

$f_6´(x)=2x \cdot \frac{3x^2+10x+4}{(x+1)^2}$

$f_6´(x)=2x \cdot \frac{3x^4+12x^3+12x^2}{(x+1)}$

$f_6´(x)=\frac{3x^4+12x^3+12x^2}{(x+1)^2}$

Pravilno

Napačno

Poskusi še enkrat.

Pravila za odvajanje

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Pravila za odvajanje

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Definicija odvoda

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitev

Preizkusi se 1

Pravilno

Narobe

Narobe

Preizkusi se 2

Pravilno

Narobe

Narobe

Od kod formula za odvod produkta?

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitve

1. naloga

Pravilno

Napačno

2. naloga

Pravilno

Napačno

3. naloga

Pravilno

Napačno

4. naloga

Pravilno

Napačno

5. naloga

Pravilno

Napačno

6. naloga

Pravilno

Napačno