Graf eksponentne funkcije
Najprej ponovimo kar smo se o grafu eksponentne funkcije že naučili. Za začetek si oglejmo spodnjo sliko. Graf eksponentne funkcije je modre barve, graf eksponentne funkcije pa rdeče barve.
Grafa funkcij in sta zrcalna glede na ordinatno os. Definicijsko območje eksponentne funkcije je množica realnih števil, zaloga vrednosti pa so pozitivna realna števila. Eksponentna funkcija ima vodoravno asimptoto, to je abscisna os.
Vpliv osnove na graf eksponentne funkcije
Spomnimo se, kako osnova vpliva na graf eksponentne funkcije. S premikanjem drsnika lahko opazuješ, kako izbira osnove vpliva na graf eksponentne funkcije .
|
|
| Riš datoteka |
Označi pravilnost izjav.
Eksponentne funkcije razdelimo glede na osnovo v dve družini. V eni družini so funkcije z negativno osnovo, v drugi pa funkcije s pozitivno osnovo.
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
Eksponentna funkcija z osnovo med in je padajoča.
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
Graf eksponentne funkcije z osnovo večjo od se asimptotično približuje abscisni osi, ko gre spremenljivka proti neskončno.
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
Graf eksponentne funkcije seka ordinatno os v točki .
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
Eksponentna funkcija nima ničel.
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
S pomočjo zgornjega apleta ugotovi, kako osnova vpliva na graf eksponentne funkcije.
Razišči s pomočjo zgornjega apleta.
Razišči s pomočjo zgornjega apleta.
Transformacije grafa eksponentne funkcije
Recimo, da si želimo narisati katerega od grafov funkcij , , , , ali .
Grafi vseh teh funkcij so na nek način povezani z grafom funkcije . Če malo pobrskamo po spominu, gre za premike in raztege grafa funkcije . Bolj podrobno govori o premikih in raztegih grafov gradivo Premiki in raztegi eksponentne funkcije, na tem mestu pa le ponovimo osnovne pojme.
Recimo, da znamo narisati graf funkcije . Naj bo neko neničelno realno število. Veljajo naslednja dejstva.
* Če je , narišemo graf funkcije z vzporednim premikom grafa funkcije za vzdolž ordinatne osi. Če je pozitivno število, gre za premik navzgor, če pa je negativno število, gre za premik navzdol.
Premik v smeri ordinatne osi
Najprej raziščimo premik eksponentne funkcije v smeri ordinatne osi. Razišči ga s pomočjo spodnjega apleta. Pri tej transformaciji se ohranijo abscise točk, ordinate pa se povečajo za vrednost parametra .
Graf eksponentne funkcije je rdeče barve, premaknjeni graf, to je graf funkcije , pa je modre barve. Vrednost parametra lahko spreminjaš z drsnikom. Poleg obeh grafov je na sliki prikazana še asimptota premaknjenega grafa (rdeča premica). Rdeči vektorji prikazujejo, kam se pri premiku preslikajo točke s prvotnega grafa. Ob vektorjih so izpisane njihove dolžine. Točka je presečišče premaknjenega grafa in ordinatne osi.
|
|
| Riš datoteka |
Spreminjaj vrednost parametra in opazuj dogajanje na sliki ter izberi pravlini odgovor.
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Naloge
1. Nariši grafe funkcij. Grafom določi asimptote in presečišča z ordinatno osjo. Poskusi določiti tudi ničle funkcij.
a)
b)
c)
d)
a) Asimptota je premica , zaloga vrednosti je interval (, , presečišče z ordinatno osjo je točka (, ), ničla funkcije je .
| Grafična rešitev a |
b) Asimptota je premica , zaloga vrednosti je interval (, , presečišče z ordinatno osjo je točka (, ). Ničle še ne znamo določiti.
| Grafična rešitev b |
c) Asimptota je premica , zaloga vrednosti je interval (, , presečišče z ordinatno osjo je točka (,), funkcija nima ničle.
| Grafična rešitev c |
d) Asimptota je premica , zaloga vrednosti je interval (1, , presečišče z ordinatno osjo je točka (, ), funkcija nima ničle.
| Grafična rešitev d |
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Ničle zaenkrat še ne znamo izračunati v splošnem. Pri iskanju ničel moramo rešiti naslednjo enačbo.
Zadnja enačba je rešljiva le v primeru, ko je negativno število. Brez poznavanja logaritma pa lahko rešitev poiščemo le, če je . V tem primeru je ničla .
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Ničle zaenkrat še ne znamo izračunati v splošnem. Pri iskanju ničel moramo rešiti naslednjo enačbo.
Zadnja enačba je rešljiva le v primeru, ko je negativno število. Brez poznavanja logaritma pa lahko rešitev poiščemo le, če je . V tem primeru je ničla .
a) Asimptota je premica , zaloga vrednosti je interval , presečišče z ordinatno osjo je točka , ničla funkcije je .
b) Asimptota je premica , zaloga vrednosti je interval , presečišče z ordinatno osjo je točka . Ničle še ne znamo določiti.
c) Asimptota je premica , zaloga vrednosti je interval , presečišče z ordinatno osjo je točka , funkcija nima ničle.
d) Asimptota je premica , zaloga vrednosti je interval , presečišče z ordinatno osjo je točka , funkcija nima ničle.
Krivulja je narisana z modro, končna rešitev naloge z rdečo, njena asimptota pa z vijolično barvo.
Krivulja je narisana z modro, končna rešitev naloge z rdečo, njena asimptota pa z vijolično barvo.
Krivulja je narisana z modro, končna rešitev naloge z rdečo, njena asimptota pa z vijolično barvo.
Krivulja je narisana z modro, končna rešitev naloge z rdečo, njena asimptota pa z vijolično barvo.
Naloge
2. Na sliki sta prikazana grafa dveh eksponentnih funkcij, premaknjenih vzdolž ordinatne osi. Ugotovi funkcijska predpisa. Ulomke zapiši s poševno črto, na primer .
a)
b)
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
a)
b)
Premik v smeri abscisne osi
Sledi premik eksponentne funkcije v smeri abscisne osi. Pri tej preslikavi se abscise točk zmanjšajo za vrednost parametra , ordinate pa se ohranijo.
Spet je rdeče barve graf eksponentne funkcije , premaknjeni graf, to je graf funkcije , pa je modre barve. Vrednost parametra lahko spreminjaš z drsnikom. Poleg obeh grafov je na sliki prikazana še asimptota premaknjenega grafa (rdeča premica). Rdeči vektorji prikazujejo, kam se pri premiku preslikajo točke s prvotnega grafa. Ob vektorjih so izpisane njihove dolžine. Točka je presečišče premaknjenega grafa in ordinatne osi.
|
|
| Riš datoteka |
Spreminjaj vrednost parametra in opazuj dogajanje na sliki ter izberi pravlini odgovor.
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Naloge
1. Nariši grafe funkcij in jim določi presečišča z ordinatno osjo.
a)
b)
a) Presečišče z ordinatno osjo je točka :,)
b) Presečišče z ordinatno osjo je točka :,)
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Krivulja je vsakič narisana z modro barvo, z rdečo pa je narisana rešitev.
Za presečišče z ordinatno osjo je potrebno izračunati funkcijsko vrednost v točki . Za primer a) je to točka , za primer b) pa točka .
Naloge
2. Na sliki sta prikazana grafa dveh eksponentnih funkcij, premaknjenih vzdolž abscisne osi. Ugotovi funkcijska predpisa. Ulomke zapiši s poševno črto, na primer .
a)^(x+)
b) ^(x+)
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
a)
b)
Razteg v smeri ordinatne osi
Še razteg eksponentne funkcije v smeri ordinatne osi. Pri tej preslikavi se ohranjajo abscise točk, ordinate pa se množijo s faktorjem raztega .
Spet je rdeče barve graf eksponentne funkcije , modre pa je raztegnjeni graf, graf funkcije . Vrednost parametra lahko spreminjaš z drsnikom. Rdeči vektorji prikazujejo, kam se pri raztegu preslikajo točke s prvotnega grafa. Ob vektorjih so izpisane njihove dolžine. Poleg obeh grafov je na sliki prikazana še asimptota raztegnjenega grafa (rdeča premica). Točka je presečišče raztegnjenega grafa in ordinatne osi.
|
|
|
Riš datoteka |
Spreminjaj vrednost parametra in opazuj dogajanje na sliki ter izberi pravlini odgovor.
Opazuj, kaj se pri raztegu vzdolž ordinatne osi zgodi z asimptoto.
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Naloge
Krivulja je narisana z modro barvo, z rdečo pa je narisana rešitev.
Presečišče z ordinatno osjo je točka .
Krivulja je narisana z modro barvo, z rdečo pa je narisana rešitev.
Presečišče z ordinatno osjo je točka .
Krivulja je narisana z modro barvo, z rdečo pa je narisana rešitev.
Presečišče z ordinatno osjo je točka .
Krivulja je narisana z modro barvo, z rdečo pa je narisana rešitev.
Presečišče z ordinatno osjo je točka .
Naloge
2. Na spodnjih slikah je z modro narisan graf funkcije , z rdečo pa njen razteg v smeri ordinatne osi. Najprej poišči osnovo , nato pa določi še funkcijski predpis za razteg. Ulomke zapiši s poševno črto, na primer .
a))
b) )
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Razteg v smeri abscisne osi
Oglejmo si še, kaj se zgodi pri raztegu v smeri abscisne osi. Naj bo torej . Preoblikujmo zapis:
Če vpeljemo novo osnovo, , lahko zapišemo .
Primer:
Namesto raztega funkcije narišemo kar funkcijo .
Zaradi tega raztegu v smeri abscisne osi ne bomo posvečali posebne pozornosti.
Na podoben način lahko postopamo tudi pri premiku v smeri abscisne osi. Zapišemo ga lahko kot razteg v smeri ordinatne osi:
Namesto smo pisali . Dobili smo razteg v smeri ordinatne osi s faktorjem .
Za katero transformacijo gre?
| A | B | C |
| 
|  nova.PNG)
|
Oglej si zgornje sličice, ki prikazujejo transformacije grafa funkcije . Na vsaki sličici je z modro narisan graf funkcije , z rdečo pa transformiran graf. Ali lahko ugotoviš, katera transformacija je prikazana na kateri sliki?
Premik v smeri abscisne osi je prikazan na sliki C A B , premik v smeri ordinatne osi je prikazan na sliki C A B , razteg v smeri ordinatne osi je prikazan na sliki C A B .
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Naloga
Ugotovi, ali so naslednje trditve pravilne ali napačne:
Velja:
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
Funkcija zavzame vse pozitivne realne vrednosti.
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
Graf funkcije nikoli ne seka abscisne osi.
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
Za so vrednosti funkcije vedno manjše od .
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
Obstaja takšno realno število , da je .
Pravilno.
Nepravilno.
| Namig |
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Kaj se dogaja z grafom eksponentne funkcije na negativnem delu abscisne osi?
Komponiranje transformacij - premik v smeri abscisne in v smeri ordinatne osi
Doslej smo na vsaki funkciji oziroma njenem grafu opravili le po eno transformacijo. Seveda pa je možno opraviti transformacijo že transformirane funkcije. Najprej združimo po dve transformaciji. Spodnja animacija prikazuje risanje grafa funkcije . Gre za premik v smeri abscisne osi za levo in v smeri ordinatne osi za dol. Najprej narišemo krivuljo (zelene barve). Transformacije izvajamo po vrsti tako, kot narekuje vrstni red izvajanja računskih operacij pri računanju . Najprej povečamo za , kar pomeni premik za v levo. Dobimo modro krivuljo, . Nato od dobljene potence odštejemo , kar pomeni premik za navzdol. Iz modre dobimo rdečo krivuljo, ki je graf funkcije . Asimptota je vodoravnica .
|
|
|
Riš datoteka |
Animacijo sprožiš tako, da klikneš na gumb nazaj, nato pa se z gumbom v sredini pomikaš po korakih naprej.
Komponiranje transformacij - premik in razteg v smeri ordinatne osi
Sedaj pa združimo premik in razteg v smeri ordinatne osi. Po korakih narišimo graf funkcije . Gre za razteg v smeri ordinatne osi s faktorjem (zaradi negativnega predznaka se graf prezrcali čez abscisno os) in premik v smeri ordinatne osi za gor. Spodnjo animacijo spet krmiliš z gumbi tako kot zgornjo. Zelene barve je krivulja , modre je krivulja , ki jo dobimo z raztegom. Po premiku dobimo graf funkcije , ki je narisan z rdečo. To je iskani graf. Asimptota je vodoravnica .
|
|
|
Riš datoteka |
Komponiranje transformacij - premik v smeri abscisne osi in razteg v smeri ordinatne osi
Naslednja animacija prikazuje razteg v smeri ordinatne osi združen s premikom v smeri abscisne osi. Gre za funkcijo , torej za premik za v desno, nato pa razteg za vzdolž ordinatne osi. Zelena krivulja je , modra predstavlja premik v smeri abscisne osi , in na koncu še razteg vzdolž ordinatne osi za faktor , kar da iskani graf, ki je rdeče barve.
|
|
|
Riš datoteka |
Komponiranje transformacij - premika v smeri abscisne in ordinatne osi in razteg v smeri ordinatne osi
Čaka nas še komponiranje obeh premikov in raztega v smeri ordinatne osi. Narišimo graf funkcije . Najprej je potreben premik za desno, nato razteg v smeri ordinatne osi za faktor , na koncu pa še premik za dol. Kot zgornje animacije lahko tudi spodnjo krmiliš z gumbi. Črne barve je krivulja , sledi premik v smeri abscisne osi, s katerim dobimo krivuljo modre barve. Po raztegu v smeri ordinatne osi dobimo krivuljo zelene barve in na koncu še krivuljo rdeče barve – premik v smeri ordinatne osi, ki da iskani graf. Asimptota je vodoravnica .
|
|
|
Riš datoteka |
Riši in raziskuj
S spodnjim apletom lahko transformiraš funkcijo . S premikanjem drsnikov a, b in c narišeš graf funkcije . Spreminjaj vrednosti vseh treh parametrov in opazuj dogajanje na sliki. Nato odgovori na vprašanja pod nalogo.
|
|
|
Riš datoteka |
Označi pravilnost naslednjih izjav, povezanih z zgornjim apletom.
Če hočemo narisati graf funkcije , moramo parameter nastaviti na .
Pravilno.
Nepravilno.
Če hočemo narisati graf funkcije , moramo parameter nastaviti na , pa na .
Pravilno.
Nepravilno.
Če hočemo narisati graf funkcije , moramo parameter nastaviti na , na in na .
Pravilno.
Nepravilno.
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Preveri svoje razumevanje
Graf funkcije je enak premaknjenemu grafu funkcije , ki ga premaknemo za
Graf funkcije je enak premaknjenemu grafu funkcije , ki ga premaknemo za
Graf funkcije je enak prezrcaljenemu grafu funkcije , ki ga prezrcalimo čez
Graf funkcije dobimo tako, da graf funkcije premaknemo
Graf funkcije dobimo z naslednjo transformacijo grafa funkcije :
Graf funkcije dobimo tako, da graf funkcije
Graf funkcije dobimo tako, da graf funkcije
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Nariši grafe
.PNG)
.PNG)
.PNG)
.PNG)
.PNG)
.PNG)
.PNG)
.PNG)
Naloga 1
Naloga 2
Prikazana sta grafa dveh funkcij. Gre za premika eksponentne funkcije vzdolž obeh koordinatnih osi. Določi funkcijska predpisa in zalogo vrednosti za obe funkciji.Ulomke zapiši s poševno črto, na primer .
a)^(x+)+, zaloga vrednosti je interval (, \infty).
b)^(x+)+, zaloga vrednosti je interval (, \infty).
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Rezultati
