Prikazan je graf funkcije $f(x)2^x-c$. Vrednost parametra $c$ lahko spreminjaš z modrim drsnikom. Zavzame lahko vrednosti od $0,1$ do $4$ s korakom $0,1$. Spreminjaj vrednost parametra c in poskusi določiti ničlo funkcije – absciso presečišča grafa z abscisno osjo (rdeča točka).

• S premikanjem poišči nekaj vrednosti parametra $c$, za katere lahko z grafa odčitaš točno vrednost ničle.
  

Pri $c = 0,5$ je ničla , pri $c = 1$ je ničla , pri $c = 2$ je ničla , pri $c = 4$ je ničla . Za druge vrednosti parametra $c$ ničle ne moremo točno odčitati.

• Ali bi znal ničlo določiti tudi računsko?
  

Pri iskanju ničle funkcije moramo rešiti enačbo $f(x)=$

v našem primeru torej

$2^x-c =$.

Enačbo preoblikujemo

$2^x= c$.

Rešitev znamo določiti, če je $c$ potenca števila $2$, torej $1$, $2$, $4$...

$c=1=2^0 \Rightarrow 2^x=2^0$ in rešitev enačbe je $x=$, kar je očitno ničla funkcije pri $c = 1$.

$c=0,5=2^{-1} \Rightarrow 2^x=2^0$ in rešitev enačbe je $x=$, kar je očitno ničla funkcije pri $c = 0,5$.

• Podoben račun lahko narediš še za $c = 2$ in $c = 4$.
  

Za vrednosti parametra $c$, ki jih ne moremo izraziti kot potenco števila $2$, enačbe še ne znamo rešiti.

• Zakaj je vrednost parametra $c$ navzdol omejena z $0$?
  Za $c \in (0, \infty]$ graf nima skupne točke z abscisno osjo – funkcija nima ničel.

Pri iskanju ničle funkcije smo se srečali z enačbo $f(x )=a^x-c$. Ker neznanka $x$ nastopa v eksponentu, je to primer eksponentne enačbe. Oglejmo si, kaj nam o rešitvi te enačbe pove graf funkcije $f(x )=a^x$.

Na sliki lahko opazuješ, kje premica $y=c$ seka graf eksponentne funkcije $f(x)=a^x$. Abscisa presečišča je rešitev enačbe $a^x=c$.

Z rdečim drsnikom spreminjaj osnovo eksponentne funkcije, z modrim pa vrednost parametra $c$. Opazuj, kaj se dogaja s presečiščem grafa eksponentne funkcije in premice.

Se graf eksponentne funkcije in vodoravnica vedno sekata? Če je odgovor ne, razmisli, kdaj se sekata in kdaj ne. Graf funkcije $f(x)=a^x$ in premica $y=c$ se sekata le v primeru, ko je $c$ pozitivno negativno konstantno realno število, saj funkcija $f(x)=a^x$ ne zavzame vrednosti z intervala

• Če izbereš pozitivno vrednot parametra $c$, ki je zelo blizu $0$ (recimo $0,1$) in primerno veliko osnovo, presečišča na sliki ni videti. Razmisli, ali presečišče ne obstaja, ali le "zbeži" s slike.
  

Pri zelo majhnih vrednostih parametra $c$ je premica $y=c$ zelo blizu abscisne osi, graf eksponentne funkcije pa se abscisni osi v neskončnosti poljubno približa, saj je njegova asimptota. Zato graf funkcije $f(x)=a^x$ zagotovo preseka vsako vodoravnico, ki leži nad abscisno osjo. Presečišče bi bilo vidno, če bi se po abscisni osi pomaknili dovolj daleč od izhodišča.

• Je možno, da bi premica $y=c$, $c>0$, presekala graf eksponentne funkcije več kot enkrat? Če ne, utemelji zakaj.
  

Vsaka vodoravnica nad abscisno osjo preseka graf eksponentne funkcije natanko enkrat natanko dvakrat neskončnokrat . Dveh presečišč ni Treh presečišč ni Neskončnokrat pa zato , ker je eksponentna funkcija strogo padajoča (če je osnova manjša od $1$) oziroma strogo naraščajoča (če je osnova večja od $1$). Zaradi tega zavzame eksponentna funkcija vsako pozitivno vrednost natanko enkrat natanko dvakrat neskončnokrat , niti dve točki na njenem grafu nimata enakih ordinat. niti tri točke na njenem grafu nimajo enakih ordinat. vse točke na njenem grafu imajo enake ordinate. Če torej premica seka graf več kot enkrat več kot dvakrat neskončnokrat , bi na grafu ležali dve različni točki z enakima ordinatama, kar pa ni možno. bi na grafu ležali dve različni točki z enakima ordinatama, kar pa ni možno. imajo vse točke na njenem grafu enake ordinate.

• Kdaj je enačba rešljiva in koliko rešitev ima? Enačba je rešljiva v primeru, ko je

  $c<0.$

  $c>0.$

  $c=0.$

  V tem primeru ima enačba natanko (zapiši s številko) rešitev.
  
  

• Pa bi znali enačbo $a^x=c$, $a>0$, $a \neq 1$, $c>0$ vedno rešiti?
  Za začetek ugotovi, za katere vrednosti parametrov $a$ in $c$ lahko koordinate presečišča odčitaš s slike.
  

To se zgodi na primer, če izbereš $a = 3$ in $c = 9$ (presečišče je točka (,) ali če izbereš $a = 2$ in $c = 8$ (presečišče je točka (,). Presečišče lahko odčitamo s slike v primeru, ko so koordinate presečišča celoštevilske. To se zgodi v primeru, ko je $c$ potenca s celoštevilsko osnovo $a$ in celim eksponentom. V naštetih primerih:

če izbereš $a = 3$ in $c = 9$:$3^2=9$

če izbereš $a = 2$ in $c = 8$:$2^3=8$

• Kdaj torej znamo, z znanjem, s katerim trenutno razpolagamo, rešiti enačbo $a^x=c$, $a>0$, $a \neq 1$, $c>0$?
  

Kadar lahko $c$ zapišemo kot potenco z osnovo $a$.

Eksponentna funkcija $f(x)= a^x$ preslika množico realnih števil na množico pozitivnih realnih števil.

Ugotovitev, da graf funkcije preseka vsako vodoravnico nad abscisno osjo natanko enkrat, nam pove nekaj o lastnostih eksponentne funkcije. Označi, katera od spodnjih izjav je pravilna.

Za preoblikovanje enačb do omenjenih oblik, pa je potrebno poznati pravila za računanje s potencami. O tem govori posebno poglavje, tu jih le na kratko ponovimo:

Uporabi pravila in izračunaj oziroma poenostavi izraze.
Koliko je $16^{-\frac{3}{4}}$?

Poenostavi: $\frac{2^x \cdot 2^y}{2^{x-y}}$

Izračunaj:$\frac{2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{8^{\frac{1}{3}}}$

Izračunaj: $(\sqrt[3]{4^5})^{\frac{6}{5}}$

Na podlagi pravil za računanje s potencami lahko hitro ugotovimo še eno lastnost eksponentne funkcije.

Ker je $f(x+y)=a^{x+y}$, za tako definirano preslikavo $f$ velja:

Poskušaj rešiti naslednje enačbe:

Rešitev je: $x=$ .

Rešitev je: $x=$ .

Rešitev je: $x=$ .

Rešitev je: $x=$ .

Zadnjega od zgornjih primerov lahko rešimo še na drug način. Gre za skupino eksponentnih enačb, ki jih lahko preoblikujemo do oblike $a^x=b^x$. Če pogledamo na problem z grafične strani, gre za iskanje abscise presečišča grafov funkcij $f(x)=a^x$ in $g(x)=b^x$. Spodaj sta prikazana grafa dveh eksponentnih funkcij z različnima osnovama $f(x)=a^x$ (modra) in $g(x)=b^x$ (rdeča). Osnovi lahko spreminjaš z drsnikoma v enaki barvi, kot sta grafa.

Vpiši pravilno rešitev. Abscisa presečišča grafov dveh eksponentni funkcij z različnima osnovama, oziroma rešitev enačbe $a^x=b^x$, $a \neq b$ je $x=$ .

Poskusimo oceniti na katerem intervalu leži rešitev enačbe $2^x=3$.

Vemo, da je funkcija $f(x)=2^x$ naraščajoča. Ker je $2^1<3<2^2$, leži rešitev enačbe $x$ na intervalu $(1,2)$.

Ugotovi, na katerem intervalu leži rešitev enačbe $3^x=12$. Pomagaj si z grafom funkcije $f(x)=3^x$.

Leži na intervalu: (, )

Reši enačbo: $4^x=7^x$.

Na katerem intervalu leži rešitev enačbe $4^x=18$?

Ali je enačba $\big(\frac{1}{3}\big)^x = -9$ rešljiva?

Reši eksponentno enačbo: $4^x-64=0$.

Funkcijam določi ničle. Za tiste funkcije, kjer ničle računsko še ne znač določiti, določi interval, na katerem ničla leži. Nekatere funkcije ničle nimajo, tam napiši znak /. Ulomke zapiši kot npr. $1/2$.
a) $f(x) = 3^x − 27$
$x=$
b) $g(x) = 4^x − \frac{1}{2}$
$x=$
c) $h(x) = 8x − \frac{1}{64}$
$x=$
d) $u(x) = 2^x + 2$
$x=$
e) $v(x) = \big(\frac{1}{2}\big)^x− 4$
$x=$
f) $w(x) = 3^x − 6$
$x \in$ (, )

Reši enačbe. Nekatere niso rešljive, tam napiši znak /. Ulomke zapiši kot npr. $-1/2$.
a) $2^x = 1024$
$x=$
b) $5^x − 625 = 0$
$x=$
c) $3^x = \sqrt [5]{ 3}$
$x=$
d) $7^x + 14 = 0$
$x=$
e) $13^x − 169 = 0$
$x=$
f) $\big(\frac{3}{11}\big)^x = \sqrt[3]{\frac{121}{9}}$
$x=$

Poenostavi izraze.
a) $3^x \cdot 9^{x-3} \cdot 3^{-x}=$

b) $\big(\frac{1}{5}\big)^x \cdot 5^{-2x}: 25^x=$

c) $\frac{x^{y-1}x^{y+1}(x^2)^{y+1}}{x^{(y+1)^2}}=$

d) $\frac{(ab^3)^4(-a^4b^3)^{-4}}{a(-b^2a^{-3})^3}=$

e) $a^{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt [5]{a^{-2}}:a^{-\frac{2}{3}}=$

f) $\big(\frac{3}{7}\big)^2 \cdot \sqrt [7]{\frac{49}{9}} \cdot \big(\frac{3}{7}\big)^{-\frac{12}{7}}=$