Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Pravila za integriranje

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

1. Lastnost

Pri računanju nedoločenih integralov se ne bomo srečevali samo s preprostimi funkcijami, ki smo jih srečali do sedaj. Prvi izziv nam je lahko že izračun nedoločenega integrala polinomske funkcije:

$\int (x^3 - 2 x^2 + x - \sqrt{2})dx.$

Vsak člen polinomske funkcije posebej že znamo zintegrirati, ne vemo pa še, kako ravnati v primeru njihove vsote in razlike. Ali velja morda tudi pri nedoločenem integralu podobna? lastnost kot pri odvodu vsote in razlike funkcij:

$(x^3-2x^3+x-\sqrt{2})'=(x^3)' - (2x^2)' +(x)' - (\sqrt{2})'=3x^2 -4x + 1$

Izkaže se, da tudi za nedoločeni integral veljajo nekatere podobne lastnosti, ki nam bodo poenostavile naše delo.

1. Lastnost: Integral vsote funkcij

$\int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x) dx$

Nedoločeni integral vsote dveh funkcij je enak vsoti nedoločenih integralov posameznih funkcij (seštevancev).

Dokaz $1.$ lastnosti

Dokaz $1.$ Lastnosti

Naj bo $\int f(x)dx = F(x)$ in $\int g(x)dx = G(x)$ .

Poglejmo si desno stran enakosti: $\int f(x)dx + \int g(x)dx = F(x) + G(x)$ .

Dobljen izraz odvajajmo: $(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$ .

To po dogovoru o nedoločenem integralu pomeni, da je $\int (f(x) + g(x))dx = F(x) + G(x)$ . Ker ta izraz označuje levo stran enakosti, ki je sedaj očitno enaka desni strani enakosti, smo s tem formulo dokazali.

1. naloga

Dopolni:

$\int ( \cos(x) - 1)dx =$ $(x)$ -+.

Preveri

Rezultat

Tvoj rezultat je /3.

Rešitev

$\int ( \cos(x) - 1)dx = \sin (x)- x + c.$

Naprej

2. lastnost

$2$ . Lastnost: Integral produkta funkcije s konstanto

Naj bo $a$ realno število (konstanta); tedaj velja

$\int af(x)dx = a \int f(x)dx,$

kar lahko preberemo: konstanto lahko pri produktu s funkcijo poljubno prenašamo pred integralski znak ali pod njega.

Dokaz $2$ . lastnosti

Dokaz 2. Lastnosti

Naj bo $\int f(x)dx = F(x)$ in $a$ poljubno realno število.

Desna stran enakosti nam pove: $a \int f(x)dx = a F(x)$ .

Odvajajmo dobljeni izraz: $(aF(x))' = aF'(x) = af(x)$ .

To pomeni: $\int af(x)dx = aF(x)$ , kar je enako desni strani enakosti in dokaz je končan.

2. naloga

Dopolni:

$\int (12x^2 + 5 - 3 \sin (x))dx =$ $x^3 +$ $+ 3$ $(x) + c$

Naprej

Rešitev

$\int (12x^2 + 5 - 3 \sin (x))dx = 4x^3 +5x+ 3 \ cos (x) + c$

Naprej

Narobe

Tvoj rezultat je /3

Pravilno

Naprej

Pomembno!

Seveda se sedaj lahko vprašamo, ali tudi pri integriranju veljajo za produkt in kvocient funkcij podobna pravila kot pri odvajanju? Odgovor je: NE.

Prav tako kot ne velja enakost med $\int (f(x) \cdot g(x))dx$ in $\int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$ , ne velja tudi nobeno drugo pravilo, ki smo ga srečali pri odvodu produkta in kvocienta funkcij.

Zato je integriranje splošneje veliko zahtevnejše od odvajanja in za iskanje nedoločenih integralov obstaja množica integracijskih metod, ki so prirejene za vsako skupino funkcij posebej. Če smo lahko izračunali odvode večine funkcij, ki smo jih do sedaj srečali, nedoločenih integralov ne bomo izračunali tako zlahka. Tudi metode, ki nam pomagajo pri integrabilnih funkcijah, nam v oceanu vseh možnih funkcij in kombinacij med njimi zajamejo le eno žlico dokaj lepih funkcij.

Primere, kot so

$\int \sin x \cos x dx, \quad \int \frac{x^2}{x+1}dx, \quad \int e^x \sin x dx,$

bomo torej računali po posebnih metodah, pa še od teh bomo v srednji šoli spoznali samo najlažje.

Uporaba pravil za integriranje - vaje

Rešitve

a)

$\int (6x^2 - 2x +5)dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + c = 2x^3 - x^2 + 5x + c$

b) Pri tovrstnih nalogah izraze po potrebi preoblikujemo do funkcij, ki jih poznamo iz tabele osnovnih nedoločenih integralov. Pri tem si pomagamo z znanimi zvezami med funkcijami.

$\int \frac{\cos (2x)}{\sin^2 (x) \cos^2 (x) }dx = \int \frac{ \cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x}dx = \int (\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x})dx = -\mathrm{ctg} x - \mathrm{tg} x + c$

c) Zapise s koreni preoblikujemo v potence z racionalnimi eksponenti, z njimi nato računamo, končni rezultat pa zapišemo v obliki, kot je podana na začetku (v tem primeru s koreni). Rezultate tudi delno korenimo.

$\int (\sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}})dx = \int (x^{\frac{2}{3}} + x ^{- \frac{1}{2}})dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = \frac{3}{5}x \sqrt[3]{x^2} + 2 \sqrt{x} + c$

d) Seveda ne moremo integrirati vsakega faktorja v produktu posebej, zato najprej odpravimo oklepaje.

$\int (x^2 + 1)(x{-1} + x)dx = \int (2x + x^3 + x^{-1})dx = x^2 + \frac{x^4}{4} + \ln |x| + c$

e) Za kvocient funkcij ne obstaja splošno pravilo, zato ponovno najprej odpravimo oklepaje, nato pa izraz zapišemo kot vsoto ulomkov oz. potenc.

$\int \frac{(1+x)^2}{x^3}dx = \int \frac{1+2x+x^2}{x^3}= \int (x^{-3} + 2 x ^{-2} + x^{-1})dx =$ $= \frac{x^{-2}}{-2} + 2 \frac{x^{-1}}{-1} + \ln |x| + c = - \frac{1}{2x^2} - \frac{2}{x} + \ln |x| +c$

f) Včasih je treba uporabiti katero od pravil tudi v obratni smeri; tukaj uporabimo lastnost, da je vsota nedoločenih integralov funkcij enaka nedoločenemu integralu vsote funkcij.

$\int \sin^2 x dx + \int \cos^2 x dx = \int (\sin^2 x + \cos^2 x)dx = \int 1 dx = x + c$

g) Pazi: integracijska spremenljivka ni nujno vedno $x$ . V našem primeru integriramo po spremenljivki $t$ , zato integriramo le izraze, ki vsebujejo $t$ , vse ostalo (v tem primeru $x$ ) pa obravnavamo kot konstanto.

$\int x \cdot \cos t dt = x \cdot \sin t + c$

Narobe

Tvoj rezultat je /7

Pravilno

Naprej

Integracijske metode

Vpeljava nove spremenljivke

Začeli bomo s preprostim izzivom: izračunaj

$\int (x+1)^{2007}dx$

Ob dosedanji praksi bi morali najprej odpraviti oklepaj, a verjetno vidimo, kaj bi to v našem primeru pomenilo: najprej bi morali potenco izračunati po binomskem izreku, nato pa še zintegrirati $2008$ členov dobljene vsote. Ker takšen zamudni postopek ne pride v poštev, bi želeli poznati enostavnejšega. In res obstaja: v nekaterih lepih primerih (kot je tale) si lahko pomagamo z vpeljavo nove spremenljivke.

Pojdi na

Utemeljitev vpeljave nove spremenljivke - zahtevnejše

Integracijske metode

Vpeljava nove spremenljivke

Poglejmo.

Najprej izberemo izraz, ki ga bomo nadomestili z novo spremenljivko $t$ :

$x+1 = t.$

Enakost diferenciramo na obeh straneh – to pomeni, da na obeh straneh izraza odvajamo po spremenljivki $x$ oziroma $t$ in ju pomnožimo z diferencialoma spremenljivk $x$ oziroma $t$ :

$(x+1)' \cdot dx = (t)' \cdot dt$ $1 \cdot dx = 1 \cdot dt.$

V prvotnem izrazu spremenljivko $x$ nadomestimo s $t$ in izračunamo integral:

$\int t^{2007} dt = \frac{t^{2008}}{2008} + c.$

Na koncu novo spremenljivko $t$ znova nadomestimo s staro spremenljivko $x$ . Cel račun se potem glasi:

$\int (x+1)^{2007} dx = \int t^{2007} dt = \frac{t^{2008}}{2008} + c = \frac{(x+1)^{2008}}{2008} + c; \quad x+1 = t \quad \mathrm{in} \quad dx = dt.$

Kot vse postopke v matematiki moramo tudi tega utemeljiti. Ker je utemeljitev zahtevnejša, je skrita pod gumbom in je namenjena matematičnim radovednežem.

Pojdi na

Utemeljitev vpeljave nove spremenljivke - zahtevnejše

Imejmo sestavljeno funkcijo $F(g(t))$ , v kateri z $F(x)$ označimo funkcijo spremenljivke $x$ , $x = g(t)$ pa je funkcija spremenljivke $t$ . Po pravilu za odvod sestavljene funkcije velja:

$F'(x) = (F(g(t)))' = F'(g(t)) \cdot g'(t).$

Če označimo $F'(x)=f(x)$ , lahko zgornji odvod zapišemo kot

$(F(g(t)))' = f(g(t)) \cdot g'(t).$

Po opredelitvi nedoločenega integrala to pomeni, da je

$\int f(g(t)) \cdot g'(t) dt = F(g(t)).$

Če na koncu še upoštevamo, da je $x = g(t)$ , je $dx = g'(t)dt$ in zadnja zveza se glasi:

$\int f(g(t)) \cdot g'(t) dt = \int f(x) dx = F(x).$

Integracijske metode

Vpeljava nove spremenljivke

Zgled

Pred naslednjo nalogo rešimo skupaj še en zgled, da ponovimo glavne korake integriranja z vpeljavo nove spremenljivke.

Izračunajmo $\int \mathrm{tg}(x) dx.$

Funkcije tangens ni v tabeli nedoločenih integralov osnovnih funkcij. Poskusimo preoblikovati njen zapis – morda se nam utrne kakšna ideja:

$\int \mathrm{tg} (x) dx = \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)}dx.$

Ker pri vpeljavi nove spremenljivke "porabimo" tako neko funkcijo kot njen odvod, se nam sinus in kosinus za vpeljavo nove spremenljivke ponujata kar sama od sebe. Z manjšim premislekom in "pogledom naprej" je smiselno vpeljati novo spremenljivko $t$ takole:

$\cos (x) = t$

in po diferenciranju obeh strani dobimo

$- \sin (x) dx = dt.$

To sedaj upoštevamo pri našem prvotnem zapisu in integral brez večjih težav izračunamo do konca:

$\int \mathrm{tg} (x) dx = \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} dx = \int \frac{-dt}{t} =$ $= - \int \frac{1}{t} dt = - \ln |t| + c = - \ln |cos(x)| + c.$

Pojdi na

Integracijske metode

Vpeljava nove spremenljivke

3. naloga

Preizkusi svoje razumevanje metode vpeljave nove spremenljivke in dopolni:

$\int 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) dx = \int 2 \cdot$ $\cdot$ = $^2 +$ = $^2 (x) +$ .

Nova spremenljivka

$(x) = t$
$(x)$ =

Preveri

Pojdi na

Narobe

Pravilno si zapolnil od desetih prazni prostorov.

Rešitev

$\int 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) dx = \int 2 \cdot t \cdot dt = t^2 + c = \sin^2 (x) + c.$

Nova spremenljivka

$\sin (x) = t$
$\cos (x) dx = dt$

Pravilno

Naprej

Integracijske metode

Pojdi na

Rešitve

a) Vpeljemo novo spremenljivko:

$2x = t$ $2dx = dt,$

Od koder dombimo:

$\int e^{2x}dx = \int e^{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int e^t dt + c = \frac{1}{2} e^{2x} + c.$

b) Vpeljemo novo spremenljivko:

$x^2 + x + 3 = t$ $(2x +1)dx = dt,$

Od koder dombimo:

$\int \frac{2x+1}{x^2 + x + 3}dx = \int \frac{dt}{t} = \ln |t| + c = \ln |x^2 + x + 3| + c.$

c) Naloga zgleda na prvi pogled težka, saj nimamo nobene konkretne funkcije, ampak računamo s splošno funkcijo $f$ . Vendar je postopek enak kot prej – vpeljemo novo spremenljivko:

$f(x) = t$ $f'(x)dx = dt$

in dobimo:

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \int \frac{dt}{t} = \ln |t| + c = \ln|f(x)| + c$

Ta zanimiva formula nam pove: če je števec odvod imenovalca, potem je nedoločeni integral takega ulomka enak naravnemu logaritmu absolutne vrednosti imenovalca.

d) Če kotangens izrazimo s sinusom in kosinusom, opazimo, da je števec odvod imenovalca, zato lahko uporabimo prejšnjo formulo.

$\int \mathrm{ctg} x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}dx = \ln |\sin x| + c$

e) Včasih možnost uporabe prejšnje formule ni tako očitna, saj števec ni natančen odvod imenovalca. Vendar v takem primeru vseeno poskusimo, ali lahko izraz preoblikujemo v ekvivalentni izraz tako, da boštevec odvod imenovalca. V našem primeru $x$ v števcu pomnožimo z $2$ , prav tako pa celotni integral pomnožimo z $\frac{1}{2}$ . S tem smo izraz množili z $1$ in je ostal ekvivalenten prvotni obliki. Ta "trik" nam zadošča, da uporabimo željeno formulo.

$\int \frac{x}{x^2 +3}dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+3} dx = \frac{1}{2} \ln |x^2 + 3| +c$

f) Tokrat števec ni odvod imenovalca (gledati moramo celoten izraz v imenovalcu in ne le izraza pod korenom), zato vpeljemo novo spremenljivko:

$1- x^2 = t$ $-2x dx = dt$ $x dx = - \frac{dt}{2}$

in dobimo:

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int -\frac{dt}{2\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = - \frac{1}{2} \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = - t^{\frac{1}{2}} + c = - \sqrt{1- x^2} + c.$

g) Največkrat ni tako očitno, kaj vpeljati za novo spremenljivko. V takšnih primerih uporabimo pametno poskušanje. Tudi tukaj velja, da vaja dela mojstra in izostri čute za pravilno odločanje. V našem primeru vpeljimo:

$\ln x = t$ $\frac{1}{x}dx = dt$ $\int \frac{1}{x \cdot \ln^2x} dx = \int \frac{dt}{t^2} = \int t^{-2} dt = \frac{t^{-1}}{-1} + c = -( \ln x)^{-1} + c = - \frac{1}{ \ln x} + c.$

Narobe

Tvoj rezultat je /7

Pravilno

Naprej

integracijske metode

Integracija po delih (per partes) - za radovedne

To poglavje je za radovedne in matematično pogumne, sicer pa ga lahko mirne vesti preskočimo in nadaljujemo z naslednjim poglavjem.

Integracijo po delih običajno uporabljamo za integriranje produkta algebrske (potenčne, polinomske, racionalne ) in transcendentne funkcije (kotne, krožne, eksponentne, logaritemske) ali pa dveh transcendentnih funkcij.

Poglejmo si najprej formulo za integriranje po delih, ki je nekakšen "integralski obrat" formule za odvod produkta dveh funkcij: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ . Samo z ogledom spodnje formule postopka seveda ne bomo razumeli, zato bo formuli takoj sledil zgled. Pod gumbom si lahko ogledaš tudi izpeljavo formule, ki jo dokaj enostavno izpeljemo iz pravila za odvod produkta dveh funkcij.

Metoda integriranja po delih (per partes):

$\int u dv = uv - \int v du.$

Pojdi na

Izpeljava formule

Naj bosta $u$ in $v$ odvedljivi funkciji. Poglejmo si odvod njunega produkta:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'.$

Zapišimo to zvezo v jeziku diferencialov:

$d(u \cdot v) = du \cdot v + u \cdot dv.$

Obe strani enakosti zintegrirajmo:

$uv = \int v du + \int u dv$

in dobimo

$\int u dv = uv - \int v du$

Integracijske metode

Integracija po delih (per partes) - za radovedne

Zgled

Uporabo zgornje formule bomo razumeli ob naslednjem konkretnem zgledu.

Izračunajmo:

$\int x \cdot \sin x dx.$

Imamo produkt algebrske funkcije $x$ in transcendentne funkcije $\sin x$ . Ena izmed obeh funkcij bo imela vlogo funkcije $u$ v zgornji formuli, druga pa skupaj z diferencialom vlogo izraza $dv$ . V splošnem pri izbiranju tudi tukaj velja, da vaja dela mojstra. V našem primeru označimo takole (dobro si poglej spodnje zapise in premisli, ali jih razumeš):

$x=u, \qquad \sin x dx = dv,$ $dx = du, \qquad - \cos x = v$

Kot vidimo, moramo prvi vpeljani izraz $x = u$ še diferencirati, drugi vpeljani izraz $\sin x dx = dv$ pa še integrirati.

Sedaj samo sledimo dobljenim oznakam in jih vstavimo v formulo za metodo per partes:

$\int x\cdot \sin x dx = \int u dv = uv - \int vdu =$ $=x \cdot (- \cos x) - \int (-\cos x)dx = -x \cos x + \int cosx dx = -x \cos x + \sin x + c.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija po delih (per partes)

Vaje

Naslednje naloge najprej reši sam s svinčnikom in papirjem, rešitve pa še preveri pod gumbi.

a) $\int x \cdot e^x dx =$ Pokaži

$(x-1)e^x + c$

$c$

$e^x + c$

b) $\int \ln x dx =$ Pokaži

$x(\ln x - 1) + c$

$e^x+ c$

$\frac{1}{x} + c$

c) $\int e^x \cdot \sin x dx =$ Pokaži

$\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + c$

$e^x(\sin x - \cos x) + c$

$\frac{e^x}{2}(\cos x - \sin x) + c$

Preveri

Pojdi na

Rešitve

a) Vpeljemo oznake:

$x = u \qquad e^x dx = dv$ $dx = du \qquad e^x = v$

in dobimo:

$\int x \cdot e^x dx = \int udv = uv - \int vdu = x \cdot e ^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + c = (x-1)e^x + c.$

b) Na prvi pogled ta oblika nedoločenega integrala ne ustreza obliki za metodo integracije per partes, vendar imamo v resnici najpreprostejši produkt: $ln x = 1 \cdot ln x$ . Zato vpeljemo:

$\ln x = u \qquad 1dx = dv$ $\frac{1}{x}dx = du \qquad x = v$

in dobimo:

$\int \ln x dx = \int u dv = uv - \int v du = \ln x \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx =$ $=x \ln x - \int dx = x \ln x - x + c = x(\ln x - 1) + c.$

c) To je eden težjih zgledov uporabe metode integriranja po delih, saj reševanje poteka v dveh stopnjah.

Vpeljemo oznake:

$e^x = u \qquad sinx dx = dv$ $e^x dx= du \qquad - \cos x = v$

in dobimo:

$\int e^x \cdot \sin x dx = \int udv = uv - \int vdu = e^x \cdot (-cos x) - \int (-cos) \cdot e^x dx = - e^x \cos x + \int e^x \cos dx.$

Za preostali integral ponovno uporabimo formulo, vpeljemo:

$e^x = u \qquad \cos x dx = dv$ $e^x dx = du \qquad \sin x = v$

in nadaljujemo naš račun:

$= - e^x \cos x + e^x \sin x - \int \sin x \cdot e^x dx.$

Opazimo, da moramo izračunati še enak integral, s katerim smo našo nalogo začeli. Zdi se torej, da nas to ne bo nikamor pripeljalo, saj lahko postopek ponavljamo v neskončnost. Zato uporabimo majhen "trik": prepišimo začetek in konec našega izraza:

$\int e^x \sin x dx = - e^x \cos x + e^x sin x - \int e^x \sin x dx$

in na obeh straneh ta integral prištejmo; dobimo:

$2 \cdot \int e^x \sin x dx = - e^x \cos x + e^x \sin x$

in deljenje enakosti z $2$ nam da željeni rezultat:

$\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2}(- e^x \cos x + e^x \sin x) + c = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + c$

Narobe

Tvoj rezultat je /3

Pravilno

Naprej

Integracijske metode

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Na začetku si oglejmo zgled, ob katerem bomo spoznali nekaj splošnih namigov za reševanje podobnih nalog, nato pa bomo ugotovitve še povzeli.

Naloga

Izračunaj:

$\int \frac{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x^3 + 1}dx.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Rešitev

Ker je stopnja polinoma v števcu večja od stopnje polinoma v imenovalcu, polinoma zdelimo:

$(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1):(x^3 + 1) = x +1 + \frac{x^2}{x^3 + 1}.$

Začetni integral lahko potem zapišemo kot

$\int \frac{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x^3 + 1} dx = \int(x + 1 + \frac{x^2}{x^3 + 1})dx = \frac{x^2}{2} + x + \int \frac{x^2}{x^3 + 1} dx .$

Izračunati moramo še nedoločeni integral racionalne funkcije

$\frac{x^2}{x^3 + 1},$

pri kateri je stopnja polinoma v števcu manjša od stopnje polinoma v imenovalcu. V tem primeru gre za preprost primer integrala, ki smo ga že srečali: opazimo, da je števec "skoraj" odvod imenovalca, zato izraz še malo "polepšamo" in dobimo:

$\int \frac{x^2}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{3 x^2}{x^3 +1} dx = \frac{1}{3} \ln |x^3 + 1| + c.$

Torej je rešitev našega začetnega integrala

$\int \frac{x^4 + x^3 + x^2+ x + 1}{x^3 + 1}dx =\frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{3} \ln |x^3 + 1| + c.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Povzetek ugotovitev

Prvi korak pri integriranju racionalnih funkcij je uporaba osnovnega izreka o deljenju polinomov: če je stopnja polinoma v števcu večja ali enaka stopnji polinoma v imenovalcu, števec delimo z imenovalcem in nato integriramo posebej celi del in posebej kvocient ostanka z imenovalcem, pri katerem je stopnja polinoma v števcu manjša od stopnje polinoma v imenovalcu.

Celi del je neki polinom, ki je preprost za integriranje, več težav pa nam lahko povzroča kvocient ostanka z deliteljem, kjer je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. Oglejmo si dvatakšna najpreprostejša primera:

v števcu je konstanta, v imenovalcu je polinom prve stopnje;

v števcu je konstanta, v imenovalcu je polinom druge stopnje.

V prvem primeru, npr.

$\int \frac{4}{2x + 3},$

nedoločeni integral že znamo izračunati z vpeljavo nove spremenljivke.

V drugem primeru pa bomo ločili dve možnosti glede na razcepnost imenovalca.

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Imenovalec je $2$ . stopnje in ni razcepen

1. Izračunaj

$\int \frac{2}{x^2 - 2x + 5}dx.$

Diskriminanta kvadratne funkcije v imenovalcu je $D = -16$ , zato imenovalec ni razcepen nad realnimi števili. Naš cilj je dobiti in uporabiti formulo

$\int \frac{1}{t^2 + 1}dt = \mathrm{arctg}t + c$

Najprej kvadratno funkcijo zapišemo v temenski obliki z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata:

$\int \frac{2}{x^2 - 2x + 5}dx = \int \frac{2}{(x-1)^2 -1 + 5}dx = \int \frac{2}{(x-1)^2 + 4} dx.$

Nato vpeljemo novo spremenljivko:

$x-1 = 2t$ $dx = 2 dt$

in dobimo

$= \int \frac{2 \cdot 2 dt}{4 t^2 + 4} = \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \mathrm{arctg}(\frac{x-1}{2}) + c.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Imenovalec je $2$ . stopnje in ni razcepen

$2$ . Če je števec linearen in z zgoraj zapisanimi lastnostmi, integral razbijemo na vsoto ali razliko dveh integralov in izračunamo vsak seštevanec posebej. Izračunajmo na primer:

$\int \frac{x+1}{x^2+1}dx = \int \frac{x}{x^2 + 1}dx + \int \frac{1}{x^2 + 1}dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1}dx + \mathrm{arctg}x + c =$ $=\frac{1}{2} \ln |x^2 + 1| + \mathrm{arctg}x + c.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Imenovalec je 2. stopnje in je razcepen

Pri tej metodi reševanja uporabimo razcep na parcialne ulomke. Oglejmo si jo na primeru. Izračunaj

$\int \frac{1}{x^2 - 5x + 6}dx.$

Ker je diskriminanta kvadratne funkcije v imenovalcu pozitivna, lahko izraz $(x^2 - 5x + 6)$ razstavimo na $(x - 3) (x - 2)$ , naš cilj pa je določiti realni števili $A$ in $B$ tako, da bo veljala zveza:

$\frac{1}{x^2 - 5x +6} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-2}.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Imenovalec je 2. stopnje in je razcepen

Temu zapisu rečemo razcep na parcialne (delne, posamezne) ulomke. Določiti moramo torej koeficienta $A$ in $B$ , zato enačbo pomnožimo z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev, t. j. z $(x - 3) (x - 2)$ :

$1= A(x-2) + B (x-3)$ $1= Ax - 2A + Bx -3B$ $1= (A + b)x - (2A+ 3B)$

in po primerjavi istoležnih koeficientov polinomov na obeh straneh enačbe dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama:

$A+B=0$ $-(2A+3B) = 1$

Ko ta sistem rešimo, dobimo rešitvi $A=1$ in $B=-1$ .

Sedaj lahko naš začetni integral zapišemo kot:

$\int \frac{1}{x^2 - 5x + 6} dx = \int \frac{A}{x-3}dx + \int \frac{B}{x-2}dx =$ $=\int \frac{1}{x-3}dx - \int \frac{1}{x-2}dx = \ln |x-3| - \ln |x-2| + c.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija produktov potenc kotnih funkcij - za radovedne

Pogledali si bomo po en zgled nekaterih pogostih integralov oblike

$\int \sin^m x \cdot \cos^n x dx.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija produktov potenc kotnih funkcij - za radovedne

Vsaj en eksponent je lih

$1$ . Izračunaj

$\int \sin^3 x \cdot \cos^2 x dx.$

Najprej izraz preoblikujmo tako, da dobimo eno od obeh kotnih funkcij v prvi potenci (ta del bomo kasneje priključili k diferencialu), preostanek pa izrazimo z drugo kotno funkcijo:

$\int \sin^3 x \cdot \cos^2 x dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x \cdot \cos^2 x dx = \int (1-cos^2 x)\cdot \sin x \cdot \cos^2 x dx.$

Za novo spremenljivko uvedemo tisto kotno funkcijo, ki je v potenci s sodim eksponentom:

$\cos x =t,$ $-\sin t dx = dt$

in dobimo:

$= - \int (1-t^2)\cdot t^2 dt= - \int (t^2 - t^4)dt = - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + c = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} +c.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija produktov potenc kotnih funkcij - za radovedne

Vsaj en eksponent je lih

$2$ . Izračunaj

$\int \sin^5 x \cdot \cos^3x dx.$

Opazimo, da sta tokrat obe potenci z lihim eksponentom. Izraz zato preoblikujmo tako, da dobimo en sodi eksponent, nato pa nadaljujmo čim spretneje:

$\int \sin^5 x \cdot \cos^3 x dx = \int \sin^5 x \cdot \cos^2 x \cdot \cos x dx = \int \sin^5 x \cdot (1- \sin^2 x) \cdot \cos x dx.$

Nato vpeljimo novo spremenljivko:

$\sin x = t$ $\cos x dx=dt$

in dobimo:

$= \int t^5 \cdot (1-t^2) dt = \int (t^5 - t^7)dt = \frac{t^6}{6} - \frac{t^8}{8} + c =\frac{\sin^6}{6} - \frac{\sin^8}{8} + c.$

Pojdi na

Integracijske metode

Integracija produktov potenc kotnih funkcij - za radovedne

Oba eksponenta sta soda

Pri integralih tega tipa bomo uporabljali dve znani zvezi:

$\sin^2 x = \frac{1}{2}(1- \cos 2x),$ $\cos^2 x = \frac{1}{2}(1+ \cos 2x).$

Izračunaj

$\int \sin^2 x dx.$

Ob upoštevanju zgornje zveze dobimo:

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1}{2}(1- \cos 2x)dx = \frac{1}{2}x - \frac{\sin 2x}{4} + c.$

Pojdi na

Sklep

S tem si zaključil spoznavanje najosnovnejših zgledov integracijskih metod v srednji šoli. Pri nadaljnjem reševanju boš moral včasih kombinirati več metod in uporabiti še kakšne druge zveze med funkcijami (npr. formule za antifaktorizacijo produkta kotnih funkcij). Kljub zapletenosti nekaterih od teh metod pa obstaja majhna tolažba:

velikokrat ti pride prav intuicija ali uvid;
uvid si lahko razvijaš z razumevanjem posameznih metod in potrpežljivim reševanjem primerov (nabiranjem "kilometrine");
za manj vešče danes obstajajo tabele mnogih znanih nedoločenih integralov in pa - kar je še posebej navdušujoče - programi za simbolno računanje, ki znajo človeku precej olajšati delo s svojo zmožnostjo simbolnega računanja nedoločenih integralov.

Kazalo

Integracijske metode

Dodatne naloge

Rešitve

a) $\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x - \ln |x| + c$

b) $- \cos x + 2 \sin x + c$

c) $\frac{4}{7} |x| \sqrt[4]{x^3} + c$

d) $\sin x + \cos x + c$

e) $\frac{4}{3}|x|\sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + c$

Narobe

Tvoj rezultat je /5

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

Rešitve

a) $\frac{(1+x)^4}{4} + c$

b) $- \ln | \cos x | + c$

c) $3 \ln |e^x +1| + c$

d) $\frac{3}{10}\sqrt[3]{(5x - 17)^2} + c$

e) $- \frac{2}{\sin x} + c$

f) $e^{\sin x} + c$

Narobe

Tvoj rezultat je /6

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

3. naloga

Izračunaj $\int x \ln xdx$ z integracijo po delih (per partes).

Pokaži

$\frac{1}{2} x^2 (\ln x - \frac{1}{2}) + c$

$x^2 (\ln x - \frac{1}{2}) + c$

$\frac{1}{2}(\ln x - \frac{1}{2}) + c$

Rešitev

$\frac{1}{2} x^2 (\ln x - \frac{1}{2}) + c$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

Rešitve

a) $\frac{1}{2} \mathrm{arctg} \frac{x}{2} + c$

b) $\frac{1}{6} \mathrm{arctg} \frac{2x+1}{3} + c$

c) $\ln |x-4| + 2 \ln |x+1| + c$

d) $\frac{x^2}{2} - \ln |x-1| + 2 \ln |x+1| + c$

e) $\frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + c$

f) $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + c$

Narobe

Tvoj rezultat je /6

Pravilno

Naprej

Pravila za integriranje

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Pravila za integriranje

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Dokaz 1. Lastnosti

Rezultat

Rešitev

Dokaz 2. Lastnosti

Rešitev

Narobe

Pravilno

Rešitve

Narobe

Pravilno

Vpeljava nove spremenljivke

Vpeljava nove spremenljivke

Utemeljitev vpeljave nove spremenljivke - zahtevnejše

Vpeljava nove spremenljivke

Zgled

Vpeljava nove spremenljivke

3. naloga

Narobe

Rešitev

Pravilno

Vpeljava nove spremenljivke

Vaje

Rešitve

Narobe

Pravilno

Integracija po delih (per partes) - za radovedne

Izpeljava formule

Integracija po delih (per partes) - za radovedne

Zgled

Integracija po delih (per partes)

Vaje

Rešitve

Narobe

Pravilno

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Naloga

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Rešitev

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Povzetek ugotovitev

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Imenovalec je 2. stopnje in ni razcepen

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Imenovalec je 2. stopnje in ni razcepen

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Imenovalec je 2. stopnje in je razcepen

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Imenovalec je 2. stopnje in je razcepen

Integracija produktov potenc kotnih funkcij - za radovedne

Integracija produktov potenc kotnih funkcij - za radovedne

Vsaj en eksponent je lih

Integracija produktov potenc kotnih funkcij - za radovedne

Vsaj en eksponent je lih

Integracija produktov potenc kotnih funkcij - za radovedne

Oba eksponenta sta soda

Kazalo

Integracijske metode

Vpeljava nove spremenljivke:

Integracija po delih

Integracija nekaterih racionalnih funkcij

Integracija produktov potenc kotnih funkcij

Rešitve

Narobe

Pravilno

Rešitve

Narobe

Pravilno

Rešitev

Narobe

Pravilno

Dokaz $1.$ Lastnosti

Imenovalec je $2$ . stopnje in ni razcepen

Imenovalec je $2$ . stopnje in ni razcepen