Tabela odvodov

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Tabela odvodov

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Pravila za odvod funkcij si že spoznal, nekatere odvode funkcij tudi, zdaj pa bomo pregledali odvode vseh elementarnih funkcij, ki jih boš kasneje lahko po pravilih združeval.

Odvod konstante

Odvod konstantne funkcije $f(x)=c$ gre po definiciji. Ponovi:

Diferenčni količnik je enak

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0$ .

Ko izračunamo vrednost limite, ko gre $h$ proti $0$ , dobimo $0$ . Torej je

$c´=0$ .

Odvod potenčnih funkcij

Potenčne funkcije stopnje $1$ , $2$ in $3$ si že odvajal, ko si obravnaval definicijo odvoda. Preden nadaljuješ z ostalimi potenčnimi funkcijami po definiciji odvajaj funkcijo $f(x)=x^4$ in označi pravilni odgovor.

$f´(x)=4x^4$

$f´(x)=x^3$

$f´(x)=4x^3$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Odvod potenčnih funkcij

Zdaj pa se je potrebno lotiti poljubne potence $x^n$ z naravnim eksponentom. Kako bi nadaljeval?

s poskušanjem

s popolno indukcijo

Preveri

Pravilno

Napačno

Popolna indukcija

Preden nadaljuješ, ponovi popolno indukcijo, ki govori o postopku preverjanja veljavnosti izjave $A(n)$ o naravnih številih.

Odvod potenčne funkcije z naravnim eksponentom

Postopek popolne indukcije

Odvod potenčne funkcije z naravnim eksponentom

S popolno indukcijo pokaži, da velja $(x^n)´=nx^{n-1}$ .

1. $n=1$
$x´=$ oz. $x´=$ $\cdot x^{1-1}=$ .

2. $n$
predpostavimo, da velja $(x^n)´=$ $x^{n-1}$ .

3. $n \rightarrow n+1$ ;
$(x^{n+1})´=(x^n \cdot x)´$ , uporabimo pravilo produkta, za oba faktor pa indukcijsko predpostavko iz prvega in drugega koraka. Dobimo
$(x^n \cdot x)´=$ $x^{n-1} \cdot x+ x^n \cdot 1=($ $)x^n$

Vsi trije koraki so pravilni, zato je $x^n=nx^{n-1}$ za vsako naravno število $n$ .

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

1. $n=1$
$x´=1$ oz. $x´=1 \cdot x^{1-1}=1$ .
2. $n$
predpostavimo, da velja $(x^n)´=nx^{n-1}$ .
3. $n \rightarrow n+1$ ;
$(x^{n+1})´=(x^n \cdot x)´$ , uporabimo pravilo produkta, za oba faktor pa indukcijsko predpostavko iz prvega in drugega koraka. Dobimo
$(x^n \cdot x)´=nx^{n-1} \cdot x+ x^n \cdot 1=(n+1)x^n$

Vsi trije koraki so pravilni, zato je $x^n=nx^{n-1}$ za vsako naravno število $n$ .

Postopek popolne indukcije

1. Preveri, če izjava $a(n)$ velja za $n=1$ $(A(1))$

2. predpostavi, da izjava $A(n)$ velja za $n$

3. iz predpostavke, da izjava $A(n)$ velja za $n$ , pokaži, da velja tudi za $n+1$ $(A(n+1))$

Če so vsi trije koraki pravilni, potem je izjava $A(n)$ pravilna za vsako naravno število $n$ .

Popolna indukcija

Odvod potenčne funkcije z negativnim celim eksponentom

Odvod funkcije $x^{-n}$ je enak

$nx^{n-1}$

$-nx^{-n+1}$

$-nx^{-n-1}$

Pravilno

Napačno

Namig: Najprej preoblikuj v ulomek, nato pa uporabi pravilo za odvod kvocienta in potenčne funkcije z naravnim eksponentom.

Odvod sinusa in kosinusa

Odvod teh dveh funkcij si že spoznal ko si obravnaval definicijo odvoda. Tu boš samo preveril, če si si pravilno zapomnil.

Odvod sinusa je enak

$(\sin{x})´=\sin{x}$

$(\sin{x})´=-\cos{x}$

$(\sin{x})´=\cos{x}$

Odvod kosinusa je enak

$(\cos{x})´=\sin{x}$

$(\cos{x})´=\cos{x}$

$(\cos{x})´=-\sin{x}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Napačno

Sinus si pravilno odvajal, kosinus pa ne.

Napačno

Kosinus si pravilno odvajal, sinus pa ne.

Rešitev

$(\sin{x})´=\cos{x}$

$(\cos{x})´=-\sin{x}$

Odvod tangensa in kotangensa

Da lahko odvedeš ti dve funkciji, uporabi pravilo za odvod kvocienta, saj sta obe funkciji sestavljeni iz sinusa in kosinusa.

Odvod tangensa je enak

$(\tan{x})´=\frac{1}{\cos^2{x}}$

$(\tan{x})´=-\frac{1}{\cos^2{x}}$

$(\tan{x})´=\frac{1}{\cos{x}}$

Odvod kotangensa je enak

$(\cot{x})´=\frac{1}{\sin^2{x}}$

$(\cot{x})´=\frac{1}{\sin{x}}$

$(\cot{x})´=-\frac{1}{\sin^2{x}}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Napačno

Tangens si pravilno odvajal, kotangens pa ne.

Napačno

Kotangens si pravilno odvajal, tangens pa ne.

Rešitev

$(\tan{x})´=\frac{1}{\cos^2{x}}$

$(\cot{x})´=-\frac{1}{\sin^2{x}}$

Odvod inverzne funkcije

Eksponentno funkcijo si že odvedel, ko si obravnaval definicijo odvoda, zato jih samo ponovi. Tudi korensko si že odvedel v poglavju odvod inverzne funkcije, saj je korenska funkcija inverzna funkcija potenčni funkciji. Logaritemska funkcija in krožne funkcije so inverzne funkcije, zato je najbolje, da pravilo za odvod inverzne funkcije ponoviš.

$(f^{-1}(x))´=f´(f^{-1}(x))$

$(f^{-1}(x))´=\frac{1}{(f^{-1}(x))´}$

$(f^{-1}(x))´=\frac{1}{f´(f^{-1}(x))}$

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Odvod naravnega logaritma

Ker bomo odvod te funkcije naredili s pomočjo inverzne funkcije je potrebno najprej poiskati funkcijo, ki ima naravni logaritem za inverz. To je eksponentna funkcija z osnovo $e$ . Torej je

$f(x)=e^x$ in $f^{-1}(x)=\ln{x}$ .

Po pravilu za odvod inverzne funkcije potrebuješ še odvod funkcije $f(x)$ , torej $(e^x)´=e^x$ . Zdaj lahko vse skupaj sestavimo in dobimo

$(\ln{x})´=\frac{1}{e^{\ln{x}}}=\frac{1}{x}$ .

Velja $(\ln{x})´=\frac{1}{x}$ .

Logaritmi s poljubnimi osnovami

Najhitreje odvedeš logaritemsko funkcijo s poljubno osnovo tako, da uporabiš formulo za prehod na novo osnovo $\log_a{x}=\frac{\ln{x}}{\ln{a}}$ .

$(\log_a{x})´=\frac{1}{a\ln{x}}$

$(\log_a{x})´=\frac{1}{a}$

$(\log_a{x})´=\frac{1}{x\ln{a}}$

Pravilno

Napačno

Namig: Uporabi pravilo za odvoda kvocieta in upoštevaj, da je $\ln{a}$ konstanta.

Rešitev

$(\log_a{x})´=\frac{1}{x\ln{a}}$

Odvodi krožnih funkcij

Krožne funkcije so inverzne funkcije kotnim funkcijam. Pri samem odvodu pa bomo potrebovali še kakšno zvezo med temi funkcijami.

Odvod arkus sinusa

Odvod arkus kosinusa

Odvod arkus tangens

Odvod arkus kotangens

Odvod arkus sinusa

Funkcija, ki ima arkus sinus za inverz je kotna funkcija sinus. Torej je

$f(x)=\sin{x}$ in $f^{-1}(x)=\arcsin{x}$ .

Odvod kotne funkcije sinus je enak $(\sin{x})´=\cos{x}$ . Sestavimo po pravilu in dobimo

$(\arcsin{x})´=\frac{1}{\cos(\arcsin{x})}$ .

V poglavju o krožnih funkcijah pa si že spoznal, da je

$\cos(\arcsin{x})=\sqrt{1-x^2}$ .

Naš odvod je potem enak $(\arcsin{x})´=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Odvod arkus kosinusa

Izpelješ podobno kot zgoraj in dobiš $(\arccos{x})´=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Odvod arkus tangens

Tudi ta funkcije gre podobno kot zgornji dve, tako da je $(\arctan{x})´=\frac{1}{1+x^2}$ .

Odvod arkus kotangens

$(arccot{x})´=-\frac{1}{1+x^2}$

Tabela elementarnih odvodov

$f(x)$	$f´(x)$
$c$	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln{a}$
$\ln{x}$	$\frac{1}{x}$
$\log_a{x}$	$\frac{1}{x\ln{a}}$
$\sin{x}$	$\cos{x}$
$\cos{x}$	$-\sin{x}$
$\tan{x}$	$\frac{1}{\cos^2{x}}$
$\cot{x}$	$-\frac{1}{\sin^2{x}}$
$\arcsin{x}$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos{x}$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan{x}$	$\frac{1}{1+x^2}$
$arccot{x}$	$-\frac{1}{1+x^2}$

Dodatne naloge

1. naloga

2. naloga

2. naloga

d) $f(x)=e^{\sqrt{x}}$

$f´(x)=\sqrt{x} \cdot e^{\sqrt{x}}$

$f´(x)=e^{\sqrt{x}}$

$f´(x)=e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

$f´(x)=e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Kazalo

Odvod konstante
Odvod potenčnih funkcij
Popolna indukcija
Odvod sinusa in kosinusa
Odvod tangensa in kotangensa
Odvod inverzne funkcije
Odvod naravnega logaritma
Logaritmi s poljubnimi osnovami
Odvodi krožnih funkcij
Tabela elementarnih odvodov
Dodatne naloge

Nazaj

Zapri

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo

Naprej

Tabela odvodov

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Tabela odvodov

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Odvod potenčne funkcije z naravnim eksponentom

Pravilno

Napačno

Rešitev

Postopek popolne indukcije

Odvod potenčne funkcije z negativnim celim eksponentom

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Napačno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitev

Odvod arkus sinusa

Odvod arkus kosinusa

Odvod arkus tangens

Odvod arkus kotangens

1. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

1. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

1. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

1. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

1. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

2. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

2. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

2. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

2. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev