Spomnimo se predpisa in osnovnih lastnosti eksponentne funkcije. Definirana je s predpisom

kjer je osnova $a$ pozitivno realno število različno od $1$.

Kako osnova vpliva na lastnosti eksponentne funkcije ponovimo ob spodnji sliki. Z drsnikom pod grafom lahko spreminjaš osnovo funkcije, katere graf je prikazan. Opazuj, kako spreminjanje osnove vpliva na graf in odgovori na vprašanja, ki sledijo.

Označi pravilnost izjav.

• Definicijsko območje eksponentne funkcije je množica realnih števil.
  Pravilno Nepravilno

• Zaloga vrednosti eksponentne funkcije je interval $[0,\infty]$
  Pravilno. Nepravilno.

• Če je osnova eksponenta funkcije večja od $1$, je funkcija padajoča, če je osnoca med $0$ in $1$, je funkcija naraščajoča.
  Pravilno. Nepravilno.

• Eksponentna funkcija z osnovo večjo od $1$ je za pozitivne vrednosti spremenljivke $x$ hitro naraščajoča, ko se vrednosti $x$ bližajo $-\infty$, pa se graf eksponentne funkcije približuje negativnemu poltraku abscisne osi.
  Pravilno. Nepravilno.

• Grafa eksponentnih funkcij z obratnima osnovama sta zrcalna glede na abscisno os.
  Pravilno. Nepravilno.

• Grafi vseh eksponentnih funkcij potekajo skozi točko $(0,1)$.
  Pravilno. Nepravilno.
  

  Preveri

Pri opisovanje nekaterih naravnih zakonov večkrat srečamo eksponentno funkcijo s posebno osnovo – konstanto $e$. Gre za iracionalno število, ki so ga hkrati in neodvisno začeli uporabljati matematiki v 17. stoletju, med njimi John Napier, Jacob Bernoulli, Gottfried Leibniz in Leonhard Euler.

John Napier (1550-1617)

Podobno kot $\pi$ , je tudi $e$ neskončno neperiodično decimalno število. Prvih nekaj decimalnih mest tega števila je $e=2,718281828...$

Preveri, ali tvoje žepno računalo izpiše enak rezultat. Za izpis števila $e$ poišči na računalu funkcijo $e^x$ in vtipkaj $e^1$ .

Kot zanimivost si oglejmo, na kakšen način so omenjeni matematiki prišli do te vrednosti.

1. način

Izračunaj vrednosti naslednjih izrazov (prvi in drugi izraz sta že izračunana). Rezultate zaokroži na štiri decimalke.

$1=1$
$1+\frac{1}{1}=2$
$1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2}=$
$1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}=$
$1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=$
$1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}=$
$1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}+ \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=$

• Primerjaj dobljene rezultate med seboj. Kaj opaziš?

Vsi rezultati razen prvega, se ujemajo v enicah (2) enicah in deseticah (2,7) enicah, deseticah in stoticah (2,71) , od petega dalje v enicah (2) enicah in deseticah (2,7) enicah, deseticah in stoticah (2,71) , zadnja dva pa se ujemata v enicah (2). enicah in deseticah (2,7). enicah, deseticah in stoticah (2,71).

• Dobljene rezultate primerjaj s številom $e$.

Dobljeni rezultati se vse bolj oddaljujejo od števila bližajo številu $e$. Zadnji dobljeni rezultat se s številom $e$ ne ujema niti v enicah. ujema že na tri decimalke.

Če si ogledamo imenovalce ulomkov v zgornjih izrazih, vidimo da se v njih pojavlja produkt prvih nekaj zaporednih naravnih števil. Poenostavimo zapis produkta $n$ zaporednih naravnih števil

kar preberemo $n$ fakulteta.

Velja torej $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 4!$, $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5\cdot 6\cdot 7= 7!$ziroma $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} = \frac{1}{4!}$.

Število $e$ lahko na podlagi zgornjih ugotovitev in pravkar vpeljane poenostavitve zapisa izrazimo na naslednji način:

Utemeljitev definicije

Izračunaj vrednost spodnjih izrazov. Rezultate zaokroži na štiri decimalna mesta.

$\big(1+\frac{1}{1}\big)^1=$
$\big(1+\frac{1}{2}\big)^2=$
$\big(1+\frac{1}{3}\big)^3=$
$\big(1+\frac{1}{4}\big)^4=$
$\big(1+\frac{1}{5}\big)^5=$
$\big(1+\frac{1}{100}\big)^100=$
$\big(1+\frac{1}{1000}\big)^1000=$

Primerjaj dobljene zaporedne rezultate s številom $e$.

Dobljeni rezultati se vse bolj oddaljujejo od števila $e$. bližajo številu $e$. . Zadnji dobljeni rezultat se s številom $e$ ne ujema niti v enicah. ujema ujema v enicah, deseticah in stoticah.

Čedalje boljše približke za $e$ dobimo tudi, če izbiramo vse večji imenovalec oziroma eksponent dvočlenika $\big(1+\frac{1}{n}\big)^n$ vstavljamo čedalje večja števila $n$, na primer za $n = 10000$ se rezultat z $e$ ujema že na stotinko: $\big(1+\frac{1}{1000}\big)^1000 \approx 2,71815$

Danes nam števila $e$ ni potrebno računati, namesto nas to opravijo elektronska računala. Za primerjavo obeh načinov lahko uporabimo spodnja apleta. Na levi strani se približek za število $e$ računa s seštevanjem členov vsote, kot smo opisali v prvem načinu, na desni pa s potenciranjem dvočlenika kot smo opisali v drugem načinu. Število seštetih členov in število korakov pri potenciranju dvočlenika (torej velikost imenovalca in eksponenta dvočlenika) lahko spreminjaš z drsnikoma.

S pomočjo zgornjih apletov odgovori na vprašanje.

• Za vrednost konstante $e$ na tri decimalna mesta natančno potrebujemo:

Si se kdaj vprašal, kako žepno računalo ali pa zmogljiv računalnik izračunata vrednost zapletenih izrazov? V resnici te naprave opravijo vse izračune z enostavnimi računskimi operacijami kot sta seštevanje in množenje.

Najpomembnejši razlog, zakaj je smiselna uvedba števila $e$ , je dejstvo, da za vsa realna števila $x$ velja

Na ta način računalniki samo s pomočjo osnovnih računskih operacij izračunajo približno vrednost eksponentne funkcije. Že zelo malo členov zgornje vsote je treba sešteti, da dobimo zelo veliko pravilnih decimalnih mest. Na primer:

Pšenična zrna na šahovski tabli

Znana je (najbrž izmišljena) zgodba, ko je kralj, kot nagrado za lično izdelano šahovsko tablo, izdelovalcu ponudil, naj si sam izbere plačilo. Izdelovalec je odgovoril: "na prvo šahovsko polje položite eno žitno zrno, na drugo dvakrat več, na tretje še dvakrat več, in tako naprej, dokler ne bo polna vsa šahovska tabla". Kralju se je, čisto po občutku, želja zdela zelo skromna, izkazalo pa se je ravno nasprotno. Na prvem polju je eno zrno, na drugem dve, na tretjem štiri, ..., na zadnjem pa že $2^{63}$ zrn. Tako bi izdelovalec dobil kar

$1+2^1+2^2+2^3+.....+2^{63}=2^{64}-1$

zrn, kar je približno $9,2\cdot 10^{18}$ zrn. Tudi pri zelo majhni teži pšeničnega zrna toliko pšenice ni bilo v celem kraljestvu. Ta primer lepo ponazarja zelo hitro rast eksponentne funkcije.

In kako smo izračunali zgornjo vsoto? Z nedolžnim, a zelo močnim trikom: iskano vsoto smo pomnožili z $1=2-1$ ,

$(1+2^1+2^2+2^3+.....+2^{63})\cdot (2-1)$

in vsi členi razen prvega in zadnjega so se odšteli.

Fiziki so že v začetku 20. stoletja vedeli, da se pri razcepu atoma sprosti nesorazmerno veliko energije. Einstein je energijo in maso povezal z enačbo

$E=mc^2$,

pri čemer je $c$ hitrost svetlobe (zato je število $c^2$ ogromn).Kljub temu ta energija ni imela praktične vrednosti, ker so za razcep enega samega atoma porabili več energije kot jo je nastalo po razcepu.

O uporabi jedrske energije so začeli ponovno zelo intenzivno razmišljati med drugo svetovno vojno, ko je kazalo, da bo Nemčija v kratkem izdelala atomsko bombo. Izdelavo atomske bombe je po več kot 30 letih razmišljanja omogočil naslednji navidez enostavni premislek: Treba je razcepiti samo en atom. Delčka, ki nastaneta, povzročita razcep dveh novih atomov, odtod novi štirje delci. Te štirje delci spet razcepijo štiri atome na osem delčkov. In tako naprej. Rečemo, da pride do verižne reakcije. Reakcija poteče do konca, ko je porabljeno vso jedrsko gorivo. Po vsakem razcepu nastane dvakrat več delcev in število novo nastalih delcev opisuje eksponentna funkcija $f(x)=2^x$.

Denarju, ki ga na primer dolgoročno naložimo na banko na začetku leta, v finančni matematiki pravimo glavnica. Označimo ga z $G$. Recimo, da nam banka ponuja $p \%$ letno obrestno mero, obračunano konec vsakega leta. To pomeni, da je konec leta znesek na računu

Prvi kos je naloženi denar od prej, prištete pa so obresti.

Številu $r= 1+\frac{p}{100}$ pravimo obrestovalni faktor. Pove nam, s katerim številom je treba konec leta pomnožiti staro stanje na računu, da dobimo novo stanje. Če z računa vmes ničesar ne dvignemo in na račun ničesar ne položimo, je stanje konec drugega leta

Podobno je stanje po $n$ letih

Tako vidimo, da stanje na računu narašča eksponentno.

To je morda v nasprotju z občutkom, da nam banka slabo obrestuje vloge. Treba se je namreč zavedati, da so $5\%$ obresti že zelo dobra ponudba, pripadajoči obrestovalni faktor je $r=1,05$, in eksponentna funkcija $f(x)=1,05^x$ zaradi nizke osnove zelo počasi raste.

Rast vloge pri $5\%$ letnih obrestih.

Zelo počasna rast funkcije $y=1,05^x$, kjer $x$ meri čas varčevanja v letih $y=1$, pa pomeni začetni vložek.

S pomočjo spodnjega apleta opazuj, kako se spreminja donosnost vloge pri različnih obrestnih merah. Z modrim drsnikom spreminjaš obrestovalni faktor, z zelenim pa število let varčevanja.

Kot zanimivost povejmo še eno lastnost eksponentne funkcije $y=e^x$. Med vsemi funkcijami, ki ordinatno os prebodejo v točki $(0,1)$ je edina, pri kateri je tanges naklonskega kota tangente v poljubni točki enak ordinati točke. Za dokaz tega pomembnega dejstva potrebujemo poznavanje odvodov funkcij. Spodnji aplet nazorno prikaže omenjeno lastnost. Razhajanje med ordinato točke in tangensom nastopijo zaradi zaokroževanja.

Premikaj točko po grafu eksponentne funkcije $f(x)=e^x$ in opazuj, kako se naklon tangente spreminja z ordinato dotikališča (točka $A$).

Slika prikazuje tri kocke, prva ima rob dolžine $1$ enota, druga ima rob dolžine $2$ enoti, tretja ima rob dolžine $4$ enote ... Zamisli si, da bi nadaljavali z daljšanjem roba kocke tako, da bi bil rob nove kocke dvakratnik prejšnjega.
a) Zapiši predpis, ki pove dolžino roba $i$ -te kocke.
b) Zapiši predpis, ki pove, kako se spreminja ploščina vrhnje ploskve kocke.

c) Zapiši predpis, ki pove, kako se spreminja površina kocke.
d) Zapiši predpis, ki pove, kako se spreminja volumen kocke.

Ali gre v katerem od naštetih primerov za eksponentno rast?

a) $r(i)=$

b) $S(i)=$

c) $P(i)=$

d) $V(i)=$

Število $e$ smo se naučili izračunati na dva načina. S poskušanjem ugotovi, koliko členov vsote $1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!} + \cdots$ je potrebno sešteti, da izračunamo $e$ na osem decimalk natančno in najmanj kolikšen mora biti $n$, da dobimo pri zaokroževanju na štiri decimalna mesta število $e$ na desetinko natančno s potenco dvočlenika $\big(1+\frac{1}{n}\big)^n$.

• Sešteti moramo členov vsote, ali pa v dvočlenik pri zaokroževanju na štiri decimalna mesta vstaviti $n =$ .

Na banko smo v začetku leta položili $1000 €$. Banka obrestuje našo vlogo z $2,2\%$ letno obrestno mero. Denar pustimo ležati na banki eno (dve, tri, $10$, $n$) let. Na kolikšno vsoto narase položeni znesek v tem času?

Po enem letu imamo na banki $€$, po dveh $€$, po treh $€$, po desetih $€$ in po $n$ letih