Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Eksponentne enačbe in neenačbe

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Uvod

Do takšnih enačb bomo prišli postopoma, še prej pa si oglejmo, kako rešujemo eksponentne neenačbe.

Reši z razmislekom

Za katere vrednosti spremenljivke $x$ zavzame funkcija $f(x)=4^x$ vrednosti večje od $16$ ?

$x\in (-\infty ,2]$

$x>2$

$x\in [2,\infty )$

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen. Katerega izmed naslednjih načinov si izbral? Poglej še drugi način.
1. način
Kot vemo, sodi funkcija $f(x)=4^x$ v družino eksponentnih funkcij z osnovo večjo od $1$ , torej je naraščajoča. Če nas zanima odgovor na zgornje vprašanje, moramo rešiti neenačbo $f(x)>16$ oziroma $4^x>4^2$ . Ker je funkcija $f(x)=4^x$ naraščajoča, velja $x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ . Zgornjo neenakost zapišimo malo drugače $f(x)>f(2)$ in zaradi naraščanja funkcije sklepajmo $x>2$ .

Rešitev lahko zapišemo tudo z intervalom: $x \in (2,\infty )$ .

2. način

Nalogo lahko preoblikujemo v enakovredno nalogo. Za katere vrednosti spremenljivke $x$ leži graf funkcije $f(x)=4^x4$ nad premico $y=16$ Rešitev poiščemo tako, da narišemo graf funkcije $f$ in premico $y=16$ , ter odčitamo iskani interval.

S slike razberemo, da leži graf funkcije $f$ nad premico $y=4$ za $x\in (2,\infty )$ .

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Oglej si dva možna postopka reševanje zgornje naloge.

1. način
Kot vemo, sodi funkcija $f(x)=4^x$ v družino eksponentnih funkcij z osnovo večjo od $1$ , torej je naraščajoča. Če nas zanima odgovor na zgornje vprašanje, moramo rešiti neenačbo $f(x)>16$ oziroma $4^x>4^2$ . Ker je funkcija $f(x)=4^x$ naraščajoča, velja $x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ . Zgornjo neenakost zapišimo malo drugače $f(x)>f(2)$ in zaradi naraščanja funkcije sklepajmo $x>2$ .

Rešitev lahko zapišemo tudo z intervalom: $x \in (2,\infty )$ .

2. način

Nalogo lahko preoblikujemo v enakovredno nalogo. Za katere vrednosti spremenljivke $x$ leži graf funkcije $f(x)=4^x4$ nad premico $y=16$ Rešitev poiščemo tako, da narišemo graf funkcije $f$ in premico $y=16$ , ter odčitamo iskani interval.

S slike razberemo, da leži graf funkcije $f$ nad premico $y=4$ za $x\in (2,\infty )$ .

1. naloga

S pomočjo grafa reši neenačbo $3^x \le 9$ .

Graf funkcije $f(x)=3^x$ preseka premico $y=9$ v točki z absciso , pod njo pa leži levo od te točke.

Rešitev zapišimo z intervalom $x\in (-\infty$ ,]) in še z neenačbo $x \le$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.

Rešitev:

Graf funkcije $f(x)=3^x$ preseka premico $y=9$ v točki z absciso $2$ , pod njo pa leži levo od te točke. Rešitev zapišimo z intervalom $x\in (-\infty,2]$ in še z neenačbo $x\le 2$ .

2. naloga

Računsko reši neenačbo:

$\big(\frac{1}{4}\big)^x-64<0$

Rešitev je: $x>$ , kar lahko zapišemo z intevalom $x\in ($ $\infty)$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Neenačbo najprej preoblikujemo $\big(\frac{1}{4}\big)^x<64$

oziroma

$\big(\frac{1}{4}\big)^n<\big(\frac{1}{4}\big)^{-3}$

Ker je funkcija $f(x)=(\frac{1}{4})^x$ padajoča velja $x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ . Na podlagi zadnje neenačbe ugotovimo rešitev $x>-3$ , kar lahko zapišemo z intevalom $x\in (-3, \infty)$ .

3. naloga

Reši neenačbo: $\frac{1}{4}<2^x\le 8$

Dobimo rešitev: $<x\le$ ali zapisano z intervalom $x \in ($ , $]$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Najprej rešimo neenačbo računsko nato še s pomočjo grafa.

Neenačbo zapišemo malo drugače:

$2^{-2}<2^x\le 2^3$

upoštevamo, da je funkcija $f(x)=2^x$ naraščajoča in dobimo rešitev $-2<x\le 3$ ali zapisano z intervalom $x \in (-2,3]$ .

Graf funkcije $f(x)=2^x$ presekamo s premicama $y=\frac{1}{4}$ ter $y=8$ in odčitamo iskani interval.

4. naloga

Za katere vrednosti spremenljivke $x$ leži graf funkcije $f(x)=3^x$ nad grafom funkcije $g(x)=(\frac{1}{4})^x$ ?
Pomagaš si lahko s spodnjim apletom. Z drsalnikom spreminjaš osnovi narisanih eksponentnih funkcij. Barva drsalnika ustreza barvi krivulje.


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Grafi vseh eksponentnih funkcij oblike $f(x)=a^x$ se sekajo v točki $(0,1)$ . Glede na to, da je funkcija $f(x)=3^x$ naraščajoča, zavzame na pozitivnem delu abscisne osi vrednosti večje od $1$ , funkcija $g(x)=(\frac{1}{4})^x$ pa je padajoča, in zavzame na tem delu vrednosti manjše od $1$ . Na negativnem delu abscisne osi je ravno obratno. Odgovor se torej glasi: graf funkcije $f$ leži nad grafom funkcije $g$ za

$x\in (0,\infty )$ .

$x\in (-\infty,0 )$ .

$x\in (1,\infty )$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Reši neenačbe

$6^x<\frac{1}{36}$

$x>-2$

$x\in (2,\infty)$

$x<-2$

Namig

$(\frac{1}{5})^x-125\ge 0$

$x\le 3$

$x\ge -3$

$x\in (-\infty,-3]$

Namig

$\frac{1}{81}\le (\frac{1}{3})^x<243$

$-4<x\le 5$

$-5<x\le 4$

$-5\le x<4$

Namig

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.

$6^x<\frac{1}{36}$
Rešitev: $x<-2$
$(\frac{1}{5})^x-125\ge 0$
Rešitev: $x\in (-\infty,-3]$
$\frac{1}{81}\le (\frac{1}{3})^x<243$
Rešitev: $-5<x\le 4$

Obe strani zapiši kot potenci z enakima osnovama.

Preoblikuj in obe strani zapiši kot potenci z enakima osnovama.

Vse strani neenačbe zapiši kot potence z enakimi osnovami.

Zahtevnejše eksponentne enačbe

Za reševanje zahtevnejših eksponentnih enačb je potrebno poznavanje pravil za računanje s potencami, ki smo jih ponovili že v gradivu o eksponentni enačbi. Spomnimo se, katere vrste eksponentnih enačb že znamo rešiti.

1. Rešitev enačbe, ki jo lahko preoblikujemo do odblike $a^x=a^b$ , je $x=b$ .
2. Rešitev enačbe, ki jo lahko preoblikujemo do oblike $a^x=b^x$ , je $x=0$ .

1. zgled

Z razmislekom reši enačbo $3^{x-1}=9$ .

$x=2$

$x=-1$

$x=3$

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.
Tudi takšno enačbo bi lahko rešili s pomočjo grafa. Narisali bi graf funkcije $f(x)=3^{x-1}$ in poiskali absciso presečišča s premico $y=9$ . Pri malo zahtevnejšem primeru grafični način ne bo zadoščal, zato si oglejmo računsko pot do rešitve.

Obe strani zapišemo kot potenco števila $3$ : $3^{x-1}=3^2$ . Spomnimo se, da je eksponentna funkcija injektivna, kar med drugim pomeni, da je $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ . Zato sklepamo, da morata biti eksponenta enaka: $x-1=2$ in rešitev je $x=3$ . Do rešitve lahko pridemo tudi z grafom:

Narišemo graf funkcije $f(x)=3^{x-1}$ in odčitamo absciso presečišča z vodoravnico $y=9$ . Res je rešitev $x=3$ .

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Preberi si rešitev.

Tudi takšno enačbo bi lahko rešili s pomočjo grafa. Narisali bi graf funkcije $f(x)=3^{x-1}$ in poiskali absciso presečišča s premico $y=9$ . Pri malo zahtevnejšem primeru grafični način ne bo zadoščal, zato si oglejmo računsko pot do rešitve.

Obe strani zapišemo kot potenco števila $3$ :

$3^{x-1}=3^2$ .

Spomnimo se,da je eksponentna funkcija injektivna, kar med drugim pomeni, da je $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ . Zato sklepamo, da morata biti eksponenta enaka: $x-1=2$ in rešitev je $x=3$ .

Do rešitve lahko pridemo tudi z grafom:

Narišemo graf funkcije $f(x)=3^{x-1}$ in odčitamo absciso presečišča z vodoravnico $y=9$ . Res je rešitev $x=3$ .

2. zgled

Reši enačbo $2^{x+2}=9\times 3^x$ .

$x=-2$

$x=0$

Enačba nima rešitve

Namig

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Preberi si rešitev.

Če ubogamo namig in upoštevamo, da je $9 \cdot 3^x=3^2 \cdot 3^x=3^{x+2}$ , dobimo enačbo:

$2^{x+2}=3^{x+2}$ .

V to enačbo (le za prvič) uvedemo novo neznanko $y=x+2$ in dobimo že dobro znano enačbo $2^y=3^y$ , katere rešitev je $y=0$ . Upoštevajmo zvezo med $x$ in $y$ in rešitev je $x=-2$ .

Preoblikuj desno stran tako, da bo zapisana kot potenca z osnovo $3$ .

Delitev eksponentnih enačb

Na podlagi teh dveh zgledov posplošimo delitev eksponentnih enačb, ki jih trenutno znamo rešiti.

1. Enačbe, ki jih lahko preoblikujemo do oblike $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ , rešimo z enačenjem eksponentov $f(x)=g(x)$ .

2. Enačbe, ki jih lahko preoblikujemo do oblike $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ , rešimo z upoštevanjem $f(x)=0$ .

3. Za reševanje enačb, ki jih lahko preoblikujemo do oblike $a^{f(x)}=c$ , moramo uporabiti logaritem. To znanje bomo pridobili v drugih gradivih.

Način reševanja enačb prve vrste temelji na injektivnosti eksponentne funkcije, kar smo omenili pri razlagi 1. zgleda, reševanje enačb druge vrste pa na podlagi ugotovitve, da se grafa dveh eksponentnih funkcij z različnima osnovama sekata v točki $(0,1)$ , kar smo uporabili tudi pri 2. zgledu.

3. zgled

Zglede, ki sledijo, poskusi rešiti najprej samostojno. Če naloge dvakrat ne rešiš pravilno, boš našel celotna pot do rešitve.

Reši enačbo $3^x-2\cdot 3^{x+1}+3^{x+3}=198$ .

Rešitev enačbe je: $x=$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Najprej na levi strani izpostavimo skupni faktor:

$3^x(1-2 \cdot 3+3^3)=198$ .

Člene v oklepaju seštejemo $3^x \cdot 22 = 198$ , in obe strani enačbe delimo z $22$ : $3^x=9$ .

Desno stran zapišemo kot potenco z osnovo $3$ in enačimo eksponenta:

$3^x=3^2$ ,

rešitev je $x=2$ .

4. zgled

Reši enačbo $2^x+2^{x+1}+2^{x+2}=7^{x-2}+7^{x-1}$ .

Rešitev enačbe je $x=$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Na obeh straneh enačbe izpostavimo skupni faktor

$2^x(1+2+2^2)=7^{x-2}(7+1)$

in člene v oklepaju seštejemo

$2^x\cdot 7=7^{x-2}\cdot 8$ .

Na levi strani imamo faktor $7$ , na desni pa faktor $8=2^3$ . Če obe strani enačbe delimo z $7\times 2^3$ dobimo:

$\frac{2^x}{2^3}=\frac{7^{x-2}}{7}$ .

Obe strani enačbe uredimo in dobimo

$2^{x-3}=7^{x-3}$ , torej mora biti eksponent $x-3=0$ in rešitev enačbe je $x=3$ .

Zgled 5

Reši enačbo $2\cdot 4^x-9\cdot 2^x+4=0$ .

Namig

Rešitvi vpiši v spodnja okvirčka, najprej manjšo, nato večjo.

Rešitvi enačbe sta $x=$ in $x=$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Namesto osnove $4$ lahko zapišemo osnovo $2$ , $4=2^2$ in dobimo enačbo $2\cdot (2^2)^x-9\cdot 2^x+4=0$ , oziroma $2\cdot (2^x)^2-9\cdot 2^x+4=0$ .
Sedaj uvedemo novo neznanko, $t=2^x$ in dobimo kvadratno enačbo:

$2\cdot t^2-9t+4=0$ .

Kvadratno enačbo rešimo z obrazcem

$t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}= \frac{9 \pm \sqrt {(-9)^2-4 \cdot 2\cdot 4}}{2 \cdot 2}= \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4}= \frac{9 \pm 7}{4}.$

Dobimo rešitvi $t_1=4$ in $t_2=\frac{1}{2}$ .

Upoštevamo zvezo med $x$ in $t$ , $t=2^x$ in dobimo dve rešitvi $x_1=2$ in $x_2=-1$ .

Enačbo reši z uvedbo nove neznanke.

Naloga 1

Reši neenačbe in zapiši rešitve (ulomke zapiši kot $1/2$ ):

a) $3^x \le \frac{1}{81}$
Rešitev: $x\le$

b) $4^x-2>0$
Rešitev: $x>$

c) $\big(\frac{3}{4}\big)^x\le \frac{16}{9}$
Rešitev: $x\le$

d) $\big(\frac{1}{7}\big)^x-\sqrt[3]{7}>0$
Rešitev: $x<$

e) $\big(\frac{5}{8}\big)^x-1\le 0$
Rešitev: $x\le$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.

Rešitev:
a) $3^x \le \frac{1}{81}$
Rešitev: $x\le -4$
b) $4^x-2>0$
Rešitev: $x>\frac{1}{2}$
c) $\big(\frac{3}{4}\big)^x\le \frac{16}{9}$
Rešitev: $x\le -2$
d) $\big(\frac{1}{7}\big)^x- \sqrt[3]{7}>0$
Rešitev: $x<\frac{-1}{3}$
e) $\big(\frac{5}{8}\big)^x-1\le 0$
Rešitev: $x\le 0$

Naloga 2

Reši enačbe in zapiši rešitve (ulomke zapiši kot $1/2$ ):
a) $3^{2x-1}=\frac{1}{27}$
Rešitev: $x=$

b) $5^x-5^{3x-1}=0$
Rešitev: $x=$

c) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{3}{2})^{2x-1}=\frac{9}{4}$
Rešitev: $x=$

d) $2^{x-4}+3\cdot 2{x-2}-2{x-1}=20$
Rešitev: $x=$

e) $2^{12x-1}-4^{6x-1}-8^{4x-1}+16^{3x+1}=516$
Rešitev: $x=$

f) $3^{2x}+4^{2x}=4^{2x+1}-3^{2x+1}$
Rešitev: $x=$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.

Rešitev:
a) $3^{2x-1}=\frac{1}{27}$
Rešitev: $x=-1$
b) $5^x-5^{3x-1}=0$
Rešitev: $x=\frac{1}{2}$
c) $(\frac{2}{3})^x\cdot (\frac{3}{2})^{2x-1}=\frac{9}{4}$
Rešitev: $x=3$
d) $2^{x-4}+3\cdot 2{x-2}-2{x-1}=20$
Rešitev: $x=6$
e) $2^{12x-1}-4^{6x-1}-8^{4x-1}+16^{3x+1}=516$
Rešitev: $x=\frac{5}{12}$
f) $3^{2x}+4^{2x}=4^{2x+1}-3^{2x+1}$
Rešitev: $x=\frac{1}{2}$

Naloga 3

Še nekaj težjih enačb:

a) $2^{3x}\cdot 3^x-2^{3x-1}\cdot 3^{x+1}=-288$
Rešitev: $x=$

b) $5^{0,4x}-\sqrt[3]{4^{2x-7}}= \sqrt [5]{5^{2x-5}}+ \sqrt[3]{16^{x-2}}$

Namig

Rešitev: $x=$

c) $12 \cdot \sqrt [2x]{3} = \sqrt [x]{3} +27$ (Vpiši najprej večjo, nato manjšo rešitev.)

Namig

R: $x_1=$ , $x_2=$

d) $\sqrt[x]{10000}= 1000 \cdot 10^x$ (Vpiši najprej večjo, nato manjšo rešitev.)
Rešitev: $x_1=$ , $x_2=$

e) $4^{\sqrt {x-1}}+4 = 5 \cdot 2 ^{\sqrt {x-1}}$ (Vpiši najprej večjo, nato manjšo rešitev.)

Namig

Rešitev: $x_1=$ , $x_2=$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.

Rešitev:

a) $2^{3x}\cdot 3^x-2^{3x-1}\cdot 3^{x+1}=-288$
Rešitev: $x=2$
b) $5^{0,4x}-\sqrt[3]{4^{2x-7}}= \sqrt [5]{5^{2x-5}}+ \sqrt[3]{16^{x-2}}$
Rešitev: $x=5$
c) $12 \cdot \sqrt [2x]{3} = \sqrt [x]{3} +27$
Rešitev: $x_1=\frac{1}{4}$ , $x_2=\frac{1}{2}$
d) $\sqrt[x]{10000}= 1000 \cdot 10^x$
Rešitev: $x_1=-4$ , $x_2=1$
e) $4^{\sqrt {x-1}}+4 = 5 \cdot 2 ^{\sqrt {x-1}}$
Rešitev: $x_1=5$ , $x_2=1$

Namesto korenov zapiši potence z racionalnim eksponentom.

Namesto korenov zapiši potence z racionalnim eksponentom, nato pa uvedi novo neznanko.

Uvedi novo neznanko.

Eksponentne enačbe in neenačbe

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Eksponentne enačbe in neenačbe

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno