Če še nisi slišal za logaritem, pa si zagotovo slišal za Richterjevo lestvico. To je lestvica za določanje moči potresov glede na količino sproščene energije. Potrese razvrščamo v stopenj. Potres druge stopnje je desetkrat, potres devete stopnje pa krat močnejši od potresa prve stopnje. Potresov do tretje stopnje praktično ne čutimo, potres, ki je 12. aprila 1998 stresel Posočje, pa je imel moč po Richterjevi lestvici. Da sta potres . in potres stopnje po moči tako različna, je kriva logaritemska lestvica. Poleg Richterjeve, je logaritemska še lestvica za določanje Ph vrednosti in še kakšna.

Logaritem je uporaben, tudi kadar želimo narisati graf funkcije, ki na primer zelo hitro narašča, in bi v navadnem merilu hitro prerasla najvišjo vrednost na narisanem delu ordinatne osi, ali pa narašča tako počasi, da bi v navadnem merilu izgledala kot konstanta. Pri risanju takšnih grafov si pomagamo z logaritemskim merilom, ki ga lahko uporabimo na obeh oseh, kot prikazuje zgornja slika, ali pa le na eni.

Na sliki je prikazan graf eksponentne funkcije z osnovo . Ker smo na ordinatni osi uporabili logaritemsko merilo, je graf premica. Na ta način smo lahko narisali tudi točke z velikimi ordinatami.

Žepno računalo, danes tako vsakdanji pripomoček, je bil pred nekaj deset leti privilegij redkih posameznikov. Ostali so si lahko pomagali z logaritemskim računalom. Uporaba tega računala temelji na lastnostih logaritma.

Oglejmo si torej, kaj se skriva za pojmom logaritem.

Nekatera števila lahko zapišemo kot potence z danimi osnovami. Na primer ,,.

Zapiši naslednja števila kot potence s predpisanimi osnovami:

kot potenco z osnovo ,

kot potenco z osnovo ,

kot potenco z osnovo .

Rešitev:

^()
^()
^()

Pri reševanju naloge na prejšni strani si moral poiskati ustrezne eksponente. In ravno o tem govori logaritem.

Pri vsaki osnovi velja:

, ker je

, ker je

Primeri:

, ker je .
, ker je .
, ker je .
, ker je .
, ker je .
, ker je .

V okvirčke vpiši ustrezna števila. Ulomke vpisuj kot .

Jurij Vega, 1754-1802

Baron Jurij Vega je med drugim znan po svojem natančnem logaritmovniku -logaritemskih tablicah.

Poišči tisto osnovo , da bo

Poišči logaritmiranec , da bo

Tako je na primer in .

Prava uporabna vrednost logaritmov se pokaže šele, ko spoznamo pravila za računanje z njimi.

Naslovnica Vegovega logaritmovnika

1. primer

Zapišimo kot vsoto:

2. primer
Izračunajmo:

3. primer

Zapišimo kot vsoto:

Pravilo lahko očitno uporabimo tudi pri produktu več faktorjev.

Zapiši kot vsoto in poenostavi:

Zapiši kot logaritem produkta in izračunaj:

V primerih ki sledijo, bomo prikazali uporabo zgornjega pravila.

4. primer

5. primer

Logaritem zapišimo kot vsoto:

6. primer

Izračunajmo z uporabo pravil:

Zapiši z enim logaritmom:

Na spodnjih primerih je prikazana uporaba novega pravila.

7. primer

8. primer

Zapišimo z enim logaritmom:

Poenostavi zapis:

Verjetno si med reševanjem zgornjih problemov pomislil, kako bi si pri logaritmih pomagal z računalom. Večina običajnih žepnih računal zna izračunati desetiški in naravni logaritem (običajno sta to tipki in ). Poskusi vtipkali . Če računalo vrne rezultat , si ga pravilno uporabil, sicer pa poglej v navodila za uporabo tvojega računala.

Kako pa z računalom izračunati logaritem z drugačno osnovo? S pomočjo spodnjega obrazca ga izrazimo z desetiškim ali naravnim logaritmom.

9. primer

Koliko je ? Z računalom si brez uporabe zgornje formule za prehod na novo osnovo ne moremo pomagati. Zapišimo dani logaritem pri osnovi :

Vrednost zadnjega izraza pa že lahko vtipkamo na računalo. Rezultat, ki ga dobimo je zaokrožen na mest enak .

10. primer

S pomočjo osnovnih pravil za logaritme izračunajmo, koliko je .

S prvim členom hitro opravimo:

.

Kaj pa drugi? Logaritmiranec in osnovo lahko zapišemo kot potenci števila :

, ,

torej se splača preiti na novo osnovo :

.

Zato je

.

Poenostavite izraz:

Stran iz Vegovih logaritmov

Katera od naslednjih enakosti ne drži:

Le katera od naslednjih enakosti je pravilna:

Koliko je ?

Izraz lahko preoblikujemo do:

je enako:

lahko izrazimo z in .
Pravilno. Nepravilno.

Pravilno. Nepravilno.

Logaritem produkta je enak produktu logaritmov posameznih faktorjev.
Pravilno. Nepravilno.

Za poljubno pozitivno število , različno od , je in
Pravilno. Nepravilno.

Izračunaj. Ulomek zapiši kot .
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Zapiši kot vsoto oziroma razliko logaritmov.

a)

b)

c)

Zapiši z enim logaritmom.
a)

b)

c)

Zapiši z desetiškim logaritmom in nato izračunaj z žepnim računalom na decimalna mesta natančno.
a)

b)

c)