Če pomnožimo med sabo dve števili in , je njun produkt spet neko število.

Geometrijski pomen produkta dveh števil

Z miško premikaj spodnje desno ali zgornje levo oglišče pravokotnika in opazuj spreminjanje produkta (ploščine pravokotnika) v odvisnosti od in . Produkt se izpisuje v spodnjem levem delu slike. Rezultat lahko preveriš s štetjem kvadratkov znotraj pravokotnika.

Sedaj poskusi dopolniti spodnje besedilo:

Za vsako število velja: . Ker množenje z danega števila ne spremeni, število imenujemo skalarni nevtralni ničelni nasprotni absolutni element za množenje.
Velja tudi () . Pri množenju z številu priredimo njegovo enotsko ničelno nasprotno absolutno vrednost.

Če pa število pomnožimo z , vedno dobimo , torej je .

Sedaj pa k novi vrsti množenja ... Prej zapisane lastnosti veljajo tudi, če število zamenjamo z vektorjem . Tako sedaj množimo skalar z vektorjem.

Velja torej:

in

in ne

saj je produkt vektorja s številom ponovno vektor, ne pa število.

Dopolni spodnje besedilo: Pri množenju z se vektor ohrani (se ne spremeni), pri množenju z dobimo skalar enotski ničelni nasprotni absolutni vektor danega vektorja, pri množenju z pa dobimo skalar enotski ničelni nasprotni absolutni vektor.

Kaj pa se zgodi, če vektor pomnožimo s števili, kot so , ali katerimkoli drugim realnim številom, boš ugotovil s pomočjo naslednje naloge:

Z miško premikaj drsnik po navpični daljici in opazuj, kaj se dogaja z vektorjem . Opazuj vse tri pomembne lastnosti vektorja , torej spreminjanje smeri, usmerjenosti in dolžine.

S premikanjem končne točke vektorja mu lahko spreminjaš nekatere lastnosti. Kaj se ob tem dogaja z vektorjem pri konstantni vrednosti ? Opazuj, kaj se dogaja, če so vrednosti k pozitivne in kaj, če so negativne.

Vektor usmeri v levo. Kdaj bo usmerjen v desno?

Prikaži aplikacijo s prejšnje strani za pomoč Skrij aplikacijo s prejšnje strani za pomoč

Odgovori na vprašanja tako, da dopolniš besedilo (Vse odgovore zapiši s številkami):

• Kaj je rezultat množenja vektorja s skalarjem? Kot rezultat dobimo skalar premico vektor daljico .
• Kdaj je daljši od ? Ko je ali , kar lahko zapišemo tudi s pogojem .

• Kdaj je krajši od ? Ko je in , kar lahko združimo v zapis .

• Kdaj se dolžina ne razlikuje od dolžine ? Ko je ali , ali drugače povedano, ko je .

• Kdaj se usmerjenost glede na ne spremeni? Ko je .

• Kdaj je usmerjenost nasprotna od usmerjenosti ? Ko je .

• Ali je smer kdaj drugačna od smeri ? Da. Ne.

odgovo3 = 1 and odgovo4 = -1 and odgovo5 = 1 and odgovo6 = 1 and odgovo7 = -1 and odgovo8 = 1 and odgovo9 = 1 and odgovo10 = -1 and odgovo11 = 1 and odgovo12 = 0 and odgovo13 = 0

Zgornje ugotovitve strnimo:

Spodnja animacija prikazuje asociativnost v skalarnem faktorju za primer in .

Spodnja animacija prikazuje distributivnost v vektorskem faktorju za primer .

Spodnja animacija prikazuje distributivnost v skalarnem faktorju za primer in .

Poenostavi dane izraze:

Kolikšna je dolžina vektorja:

O vektorjih , ,, in vemo naslednje: , , in . Na podlagi danih zvez ugotovi, ali so spodnje izjave pravilne (p) ali nepravilne (n):

Z enačbami zapiši zveze med vektorji, ki ustrezajo danim trditvam:

Vektor je dvakrat krajši in nasprotno usmerjen kot vektor .

Vektorja in sta si vzporedna.

Vektorja in sta nasprotno usmerjena in vektor je trikrat daljši od vektorja .

Vektorja in sta enako usmerjena.

Kaj lahko poveš o vektorjih in , če so vse zgornje izjave pravilne?

V enakostraničnem trikotniku so , in razpolovišča stranic , in , je težišče trikotnika, ,. Z vektorjema in izrazi naslednje vektorje: