Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Linearna kombinacija

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Kombinirajmo vektorje!

Za mnoge od vas je pojem kombiniranja tesno povezan z oblačili in modnimi dodatki: k prvemu še malo drugega, pa tretjega ...

Tudi vektorje (linearno) kombiniramo tako, da vzamemo malo prvega vektorja, dodamo še malo drugega, pa tretjega itd. To dosežemo tako, da vektorje pomnožimo s primernimi skalarji in nato vse take zmnožke seštejemo. Primer takega zapisa je $2\vec{a}-3\vec{b}+7\vec{c}$ , ki predstavlja linearno kombinacijo vektorjev $\vec{a}$ , $\vec{b}$ in $\vec{c}$ .

Linearna kombinacija treh vektorjev

Animacija prikazuje nastanek linearne kombinacije $2\vec{a}-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}$ . Vektorje $2\vec{a}$ , $-\vec{b}$ in $-\frac{1}{2}\vec{c}$ dobimo z množenjem vektorjev $\vec{a}$ , $\vec{b}$ in $\vec{c}$ z ustreznimi števili, nato pa jih nanizamo enega za drugim.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Linearna kombinacija treh vektorjev

Linearna kombinacija vektorjev $\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2, ...,\vec{\alpha}_n$ je na splošno izraz oblike

$k_1 \vec{\alpha}_1+k_2 \vec{\alpha}_2+ ...+k_n \vec{\alpha}_n,$

kjer so $k_1,k_2, ..., k_n$ realna števila (skalarji), $n$ pa je naravno število.

Zapišimo še nekaj primerov linearnih kombinacij vektorjev:

$3\vec{a}-2\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$ , $\frac{2}{3}\vec{a}-\sqrt3 \vec{b}-0\vec{c}$ , $2.1 \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$ in podobno.

Linearno kombinacijo $k_1 \vec{\alpha}_1+ ...+k_n \vec{\alpha}_n,$ si najlažje predstavljamo kot verigo, v kateri so vektorji $k_1 \vec{\alpha}_1 + k_2 \vec{\alpha}_2 + ...+k_n \vec{\alpha}_n,$ nanizani drug za drugim.

Če je vrednost take linearne kombinacije vektor $\vec{0}$ , je veriga vektorjev sklenjena.

Linearna kombinacija vektorjev z vrednostjo 0

Kaj lahko poveš o vrednostih petih skalarjev na podlagi slike?

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Vrednosti skalarjev

V tem primeru lahko rečemo naslednje:
$k_1>$ ,
$<k_2<$ ,
$k_3<$ ,
$<k_4<$ ,
$<k_5<$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Vrednosti skalarjev

Vrednosti skalarjev k lahko ocenimo na podlagi tega, ali gre za podaljšanje ali skrajšanje vektorja in glede na to, ali se usmerjenost vektorja pri tem spremeni ali ohrani (glej poglavje o množenju vektorja s skalarjem).

Kdaj so vektorji med seboj (ne)odvisni?

Povejmo najprej preprosto:
vektorji so linearno odvisni, če lahko vsaj enega od njih izrazimo s preostalimi.
Če na primer vemo, da je $\vec{a}=2\vec{b}-3\vec{c}$ , nam je vektor $\vec{a}$ očitno uspelo izraziti z vektorjema $\vec{b}$ in $\vec{c}$ , zato so vektorji $\vec{a}$ , $\vec{b}$ in $\vec{c}$ med seboj linearno odvisni.

Vektorji $\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,...,\vec{\alpha}_n$ so linearno odvisni, če lahko vsaj enega izmed njih izrazimo z linearno kombinacijo vseh drugih, npr.:

$\vec{\alpha}_1=l_2 \vec{\alpha}_2+l_3 \vec{\alpha}_3 ...+l_n \vec{\alpha}_n,$

oziroma

$\vec{\alpha}_1-l_2 \vec{\alpha}_2-l_3 \vec{\alpha}_3 ...-l_n \vec{\alpha}_n = \vec{0}.$

Pomembno je opaziti, da smo zapisali linearno kombinacijo z vrednostjo $\vec{0}$ , v kateri je vsaj en koeficient (vsaj tisti pred $\vec{\alpha}_1$ ) zagotovo neničelno število.

Natančna definicija linearne odvisnosti

Poskusi sam definirati linearno neodvisnost vektorjev.

Razmisli še o naslednjem:

Kdaj sta dva vektorja linearno odvisna?

Kaj lahko poveš o legi dveh vektorjev, ča lahko enega izraziš z drugim?

Natančna definicija linearne odvisnosti

Vektorji $\vec{\alpha}_1,...,\vec{\alpha}_n$ so linearno odvisni, če velja:

$k_1 \vec{\alpha}_1+k_2 \vec{\alpha}_2+...+k_r \vec{\alpha}_r+...+k_n \vec{\alpha}_n = \vec{0}$

in je $k_1 \neq 0$ ali $k_2 \neq 0$ ali ...ali $k_n \neq 0$ .

Zapisano lahko povemo takole: vektorji $\vec{\alpha}_1,...,\vec{\alpha}_n$ so linearno odvisni, če obstaja njihova linearna kombinacija z vrednostjo $\vec{0}$ , v kateri je vsaj eden od skalarjev $k_1,\dots ,\ k_n$ različen od $0$ . V tem primeru lahko z neničelnim skalarjem $k_r, r \in \{1,...,n\}$ izraz delimo in s tem vektor $\vec{a}_r$ izrazimo z vsemi drugimi kot:

$\vec{a}_r= -\frac{k_1}{k_2} \vec{\alpha}_1 - ... -\frac{k_{r-1}}{k_r} \vec{\alpha}_{r-1}-\frac{k_{r+1}}{k_r} \vec{\alpha}_{r+1}-\frac{k_n}{k_r} \vec{\alpha}_n.$

Poskusi sam definirati linearno neodvisnost vektorjev.

Vektorji so $\vec{\alpha}_1,...,\vec{\alpha}_n$ linearno neodvisni, če nobenega izmed njih ne moremo izraziti z drugimi.

V tem primeru velja:

$k_1 \vec{\alpha}_1+k_2 \vec{\alpha}_2+ ...+k_n \vec{\alpha}_n= \vec{0}$

in

$k_1=k_2= ...= k_n = 0.$

Kdaj sta dva vektorja linearno odvisna?

Vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ sta linearno odvisna, če lahko vsaj enega od njiju izrazimo z drugim, npr. $\vec{a}=k\vec{b}$ .

Kaj lahko poveš o legi dveh vektorjev, ča lahko enega izraziš z drugim?

Če lahko vektor $\vec{a}$ z vektorjem $\vec{b}$ izrazimo kot $\vec{a}=k\vec{b}$ , sta vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ vzporedna, saj množenje vektorja $\vec{b}$ s skalarjem smer vektorja ohrani.

Pari linearno odvisnih vektorjev

Spodnja animacija prikazuje tri pare vektorjev. Vsaka dva vektorja enake barve sta linearno odvisna, saj sta vzporedna. Spomnimo se, da je ničelni vektor vzporeden vsakemu drugemu vektorju.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Povzemimo.

Dva vektorja sta linearno odvisna takrat, ko sta vzporedna (kolinearna).

Kdaj so TRIJE vektorji linerano odvisni?

Kaj lahko poveš o legi treh linearno odvisnih vektorjev?

Kdaj so TRIJE vektorji linerano odvisni?

Takrat, ko lahko enega izrazimo z drugima dvema, npr. $\vec{a}=k\vec{b}+l\vec{c}$ .

Kaj lahko poveš o legi treh linearno odvisnih vektorjev?

Če lahko enega od vektorjev izrazimo z drugima dvema, vektorji zagotovo ležijo v isti ravnini (so komplanarni).

Izražanje vektorja v dani bazi

Z miško primi končno točko zelenega vektorja in jo premikaj. Opazuj, kako se spreminja izražanje vektorja $\vec{v}$ z vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$ . Bodi pozoren na predznake obeh členov.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Povzemimo.

Trije vektorji so linearno odvisni takrat, ko ležijo v isti ravnini (so komplanarni).

Razmisli še o tem

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Kdaj sta dva vektorja neodvisna?

Takrat, ko nista vzporedna.

Kdaj so trije vektorji linerano neodvisni?

Ko ne ležijo v isti ravnini.

Največ koliko vektorjev je lahko neodvisnih v ravnini?

Največ dva. Tretjega se že da vedno izraziti s prvima dvema.

Največ koliko vektorjev je lahko neodvisnih v prostoru?

Največ trije. Četrtega lahko vedno izrazimo s prvimi tremi.

Razmisli še o tem

Kakšni so trije vektorji v ravnini?

Trije vektorji v ravnini so vedno odvisni.

Trije vektorji v ravnini so vedno neodvisni.

Trije vektorji v ravnini so lahko odvisni ali neodvisni.

Kakšni so štirje vektorji v prostoru?

Vedno odvisni, saj so v prostoru lahko največ trije vektorji neodvisni.

Vedno neodvisni, saj so v prostoru štirje vektorji vedno neodvisni.

Štirje vektorji v ravnini so lahko odvisni ali neodvisni.

Je množica vektorjev, med katerimi je ničeni vektor, linearno odvisna ali neodvisna?

Taka množica je vedno linearno odvisna.

Taka množica je vedno linearno neodvisna.

Taka množica je lahko linearno neodvisna ali linearno odvisna.

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Množica z ničelnim vektorjem je vedno linearno odvisna, saj se da vektor $\vec{0}$ , če že ne drugače, z vsemi drugimi vektorji izraziti kot: $\vec{0}=0 \cdot \vec{\alpha}_1 + 0 \cdot \vec{\alpha}_2 +...+ 0 \cdot \vec{\alpha}_n$ , poleg tega pa je skalar 1 pred $\vec{0}$ res neničelno število, kar je nujno za ugotavljanje linearne odvisnosti vektorjev.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Kakšni so trije vektorji v ravnini?

Trije vektorji v ravnini so vedno odvisni.

Kakšni so štirje vektorji v prostoru?

Vedno odvisni, saj so v prostoru lahko največ trije vektorji neodvisni.

Je množica vektorjev, med katerimi je ničeni vektor, linearno odvisna ali neodvisna?

Taka množica je vedno linearno odvisna, saj se da vektor $\vec{0}$ , če že ne drugače, z vsemi drugimi vektorji izraziti kot: $\vec{0}=0 \cdot \vec{\alpha}_1 + 0 \cdot \vec{\alpha}_2 +...+ 0 \cdot \vec{\alpha}_n$ , poleg tega pa je skalar 1 pred $\vec{0}$ res neničelno število, kar je nujno za ugotavljanje linearne odvisnosti vektorjev.

Baza vektorskega prostora

Kar dolgo pot smo morali prehoditi, da znamo dovolj za to, da razložimo bazo vektorskega prostora. Najprej povejmo preprosto:

Baza vektorskega prostora je taka linearno neodvisna množica vektorjev, s katerimi lahko izrazimo vse vektorje tega prostora, in to vsakega na en sam način.

Razmisli:

Koliko vektorjev tvori bazo na premici, koliko v ravnini in koliko v prostoru?

Stroga definicija baze za matematične navdušence

Dokaz, da lahko vsak vektor v dani bazi izrazimo na en sam način

Koliko vektorjev tvori bazo na premici, koliko v ravnini in koliko v prostoru?

Število vektorjev v bazi je določeno z največjim možnim številom neodvisnih vektorjev, se pravi:

na premici zadošča en sam vektor,

na ravnini potrebujemo dva, ki nista vzporedna,

v prostoru pa tri, ki ne ležijo v isti ravnini.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Stroga definicija baze

Vektorji $\vec{b}_1,...,\vec{b}_n$ tvorijo bazo n-dimenzionalnega vektorskega prostora P, če velja:

$k_1 \vec{b}_1+ ...+k_n \vec{b}_n= \vec{0} \Rightarrow k_1= ...= k_n = 0$

in za vsak $\vec{a} \in P \exists !(l_q,..., l_n$ , tako da je $\vec{a}=l_1 \vec{b}_1+ ...+l_n \vec{b}_n.$

Razlaga: prva implikacija opisuje linearno neodvisnost baznih vektorjev, zadnja vrstica pa enoličnost izražanja poljubnega vektorja $\vec{a}$ v dani bazi. Znak $\exists$ ! beremo "obstaja natanko en".

Dokaz, da lahko vsak vektor v dani bazi izrazimo na en sam način

Trditev bomo dokazali tako, da bomo v začetku predpostavili nasprotno: recimo, da obstajata vsaj dva različna načina, s katerima izrazimo neki vektor v dani bazi, se pravi: $\vec{a}=k_1 \vec{b}_1+ ...+k_n \vec{b}_n=l_1 \vec{b}_1+ ...+l_n \vec{b}_n.$

Če vektor $\vec{a}$ opustimo, prenesemo vse člene na levo stran enakosti in izpostavimo posamezne bazne vektorje, dobimo izraz:

$(k_1-l_1) \vec{b}_1+ ...+(k_n-l_n) \vec{b}_n=\vec{0}.$

Dobili smo linearno kombinacijo neodvisnih vektorjev, ki ima vrednost $\vec{0}$ , iz česar sledi, da so vsi skalarji pred posameznimi baznimi vektorji $0$ (poglej definicijo linearno neodvisnih vektorjev). Naposled ugotovimo, da je $k_1 =l_1, ..., k_n =l_n$ , kar pa pomeni, da sta oba načina izražanja vektorja enaka in ne obstajata dva ali še več različnih zapisov vektorja v izbrani bazi.

Ortonormirana baza in vektorji $\vec{i}$ , $\vec{j}$ in $\vec{k}$

Besedo "orto" prav gotovo poznaš iz kake reklame. Pomeni "pravo" izbiro.

Ortogonalno bazo tvorijo vektorji, ki so drug na drugega ortogonalni, kar pomeni pravokotni.

Normirano bazo tvorijo vektorji, ki so normirani oziroma enotski (glej uvodno poglavje o vektorjih), ki torej merijo po 1 enoto.

Ortonormirano bazo tvorijo vektorji, ki so drug na drugega pravokotni in merijo po eno enoto.

Baza je ortonormirana, če jo sestavljajo drug na drugega pravokotni, enotski vektorji.

Vektorji $\vec{i}$ , $\vec{j}$ in $\vec{k}$
Če si bomo ortonormirano bazo izbrali na oseh koordinatnega sistema, bomo ortonormirane krajevne vektorje na oseh x, y in z po vrsti označili z $\vec{i}$ , $\vec{j}$ in s $\vec{k}$ . Teh imen za druge, splošne vektorje, običajno ne uporabljamo.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naloga 1

Določi skalarja $m$ in $n$ tako, da bo $m \vec{a}+3m\vec{b}=n\vec{a}-\vec{a}-\frac{n}{2}\vec{b}$ , če veš, da sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ bazna vektorja.

Ker sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ bazna vektorja, sta zagotovo . Izraz preoblikujmo v njuno linearno kombinacijo: $(m-n+1)\vec{a}+(3m+\frac {n}{2}) \vec{b}=$ ničelni vektor. $0$ .

Zaradi linearne neodvisnosti morata biti oba izraza v oklepajih enaka $0$ . S tem dobimo preprost sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama, se pravi: $m-n+1=$ in $3m+\frac{n}{2}=$ ničeni vektor. $0$ .

Ko ga rešimo po zamenjalnem načinu ali načinu nasprotnih koeficientov, dobimo:
$m =$

$-\frac{6}{7}$

$+\frac{1}{7}$

$-\frac{1}{7}$

$n =$

$-\frac{1}{7}$

$+\frac{1}{7}$

$\frac{6}{7}$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 2

Zapiši linearno kombinacijo vektorjev $\vec {a}$ , $\vec {b}$ , $\vec {c}$ , $\vec {d}$ in $\vec {e}$ , če so vektorjem pripadajoči skalarji po vrsti $−1$ , $2$ , $\frac{3}{2}$ , $0$ in $1$ .

$\vec{a}+2 \vec{b}+\frac{3}{2}\vec{c}+ \vec{d}+\vec{e}$

$2 \vec{b}+\frac{3}{2}\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}$

$2 \vec{b}+\frac{3}{2}\vec{c}+\vec{d}$

$\vec{a}+2 \vec{b}+\frac{3}{2}\vec{c}+\vec{e}$

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Naloga 3

Izrazi $\vec {b}$ kot linearno kombinacijo drugih vektorjev, če veš, da je $−3\vec {a}+\frac {2}{5}\vec {b}−\vec {c}+ 4\vec {d} = \vec {0}$ .

$\vec{b}=\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{5}{2}\vec{c}-10 \vec{d}$

$\vec{b}=-\frac{15}{2}\vec{a}-\frac{5}{2}\vec{c}+10 \vec{d}$

$2\vec{b}=\frac{15}{2}\vec{a}+\frac{5}{2}\vec{c}-20 \vec{d}$

$\vec{b}=\frac{15}{2}\vec{a}+\frac{5}{2}\vec{c}-10 \vec{d}$

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Naloga 4

Izračunaj skalarje $m,\ n$ , če veš, da so vektorji $\vec {a}$ , $\vec {b}$ in $\vec {c}$ linearno neodvisni in velja (pri zadnji nalogi je možnih več odgovorov):

$(2m+n-3) \vec{a} +(-3n-m+1) \vec{b} = \vec {0}$
$m=$

$-\frac{8}{5}$

$\frac{1}{5}$

$+\frac{8}{5}$

$n =$

$-\frac{8}{5}$

$\frac{1}{5}$

$-\frac{1}{5}$

$5\vec{a}+mn\vec{b} = m\vec{a}+n^2 \vec {b}$

$m=5 \wedge n=0$

$m=n=5$

$m=0 \wedge n=5$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 4

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 5

Kateri pari (trojice) vektorjev, ki ležijo na danih daljicah kocke z oglišči $ABCDA'B'C'D'$ ( $A'$ je nad $A$ , ...), so linearno odvisni in kateri linearno neodvisni?

$(AB, CD)$

$(BD, B'D',BB')$

$(AD, B'C')$

$(AB, AA')$

$(AC, A'C')$

$(BD, BD')$

$(A'C', CA)$

$(AB, BC,DD')$

$(AB, BD,B'D')$

$(CC', DD',AA')$

$(AC, BD,BD')$

$(AB, BD,B'D')$

$(AB, B'C',DD')$

$(CC', DD',AA')$

$(BD, B'D',BB')$

Počisti

Linearno odvisni

Linearno neodvisni

Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 6

V katerem od spodnjih primerov vektorja $\vec {a}$ in $\vec {b}$ zagotovo tvorita bazo ravnine? (možnih je več odgovorov)

$\vec {a}||\vec {b}$

$\vec {a} \bot \vec {b}$

$\angle (\vec {a}, vec{b}) = 180°$

$|\vec{a}|= |\vec{b}|=1$

$|\vec{a}|= |\vec{b}|=2 \wedge \angle (\vec {a}, vec{b}) = 30°$

$\vec {a}=- \frac{2}{3}\vec{b}$

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Naloga 7

V katerem od spodnjih primerov vektorji $\vec{a}$ , $\vec{b}$ in $\vec{c}$ zagotovo tvorijo bazo prostora?

$(\vec {a}\bot \vec {b}) \wedge (\vec {b}\bot \vec {c})$

$|\vec{a}|= |\vec{b}|= |\vec{c}|=1|$

$(|\vec{a}|= |\vec{b}|= |\vec{c}|=1) \wedge \vec {a}\bot \vec {b}) \wedge (\vec {b}\bot \vec {c}) \wedge (\vec {a}\bot \vec {c})$

$\vec{a}= 3\vec{b} \wedge \vec{c}= 2\vec{a}$

$\angle (\vec {a}, \vec{b}) = 30°, \angle (\vec {b}, \vec{c}) = 60°,\angle (\vec {a}, \vec{c}) = 100°$

$\angle (\vec {a}, \vec{b}) = 60°, \angle (\vec {b}, \vec{c}) = 40°,\angle (\vec {a}, \vec{c}) = 20°$

$\vec{a}= 2\vec{b}=2 +\vec {c}$

$\vec {a}||\vec {b} \wedge (\vec {c}\bot \vec {a}) \wedge (\vec {c} \bot \vec {b})$

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Linearna kombinacija

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Linearna kombinacija

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Pravilno

Napačno

Vrednosti skalarjev

Natančna definicija linearne odvisnosti

Poskusi sam definirati linearno neodvisnost vektorjev.

Kdaj sta dva vektorja linearno odvisna?

Kaj lahko poveš o legi dveh vektorjev, ča lahko enega izraziš z drugim?

Kdaj so TRIJE vektorji linerano odvisni?

Kaj lahko poveš o legi treh linearno odvisnih vektorjev?

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Koliko vektorjev tvori bazo na premici, koliko v ravnini in koliko v prostoru?

Stroga definicija baze

Dokaz, da lahko vsak vektor v dani bazi izrazimo na en sam način

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno