Naj bo dana krožnica s središčem v in polmerom ter točko T(x,y) na njej.
Krožnica je množica točk T(x,y) v ravnini, ki so za oddaljene od točke S. Enačba take krožnice je

Če vzporedno premaknemo krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču za vektor , ima krožnica središče v točki in je njena enačba

S premikanjem drsnikov si oglejte gibanje krožnice glede na parametre:

Geogebra datoteka 1 Geogebra datoteka 2

Zanimajo nas presečišča med krožnico z enačbo (ali drugimi oblikami enačbe krožnice) in premico z enačbo (ali drugimi oblikami enačbe premice).

1. Iz enačbe premice izrazimo eno spremenljivko.
2. To spremenljivko vstavimo v enačbo krožnice in dobimo kvadratno enačbo z drugo spremenljivko.
3. Rešimo kvadratno enačbo. Možnosti:

Diskriminanta je večja od 0, dobimo dve realni rešitvi, s tem pa dve presečišči premice in krožnice.	Diskriminanta je enaka 0, dobimo eno realno rešitev, s tem pa eno skupno točko premice in krožnice - dotikališče.	Diskriminanta je manjša od 0, enačba nima realnih rešitev, krožnica in premica nimata skupnih točk.
Premica je sekanta krožnice.	Premica je tangenta ali dotikalnica krožnice.	Premica je mimobežnica krožnice.

Podani sta krožnica z enačbo s središčem v S in polmerom ter krožnica z enačbo s središčem v P in polmerom . Razdalja med središčema krožnic pa je . Postopek za presečišča je podoben kot pri krožnici in premici. Možnosti za medsebojno lego dveh krožnic so naslednje:

Krožnici se dotikata zunaj, če velja :	Krožnici se dotikata znotraj, če velja :
Krožnici se sekata v dveh točkah, če velja :	Krožnici sta koncentrični, če imata skupno središče:

Krožnici nimata nobene skupne točke, če velja ali :

1. Enačba krožnice s središčem v in polmerom je
   Rešitev

   .

2. Enačba krožnice s središčem v in polmerom je
   Rešitev

   .
3. Točka leži znotraj krožnice oziroma , saj velja:
   in .

4. Enačba oblike ima središče v in polmer , njeno definicijsko območje pa je :

   

5. Krožnica s središčem se druge krožnice z enačbo dotika od zunaj. Kolikšna je njuna središčna razdalja?
   Rešitev

   Najprej poiščemo središče in polmer druge krožnice:
   Krožnica ima središče v točki in polmer . Razdalja med središčema krožnic je enaka .

Zanimajo nas presečišča med elipso z enačbo in premico z enačbo (ali drugimi oblikami enačbe premice).

1. Iz enačbe premice izrazimo eno spremenljivko.
2. To spremenljivko vstavimo v enačbo elipse in dobimo kvadratno enačbo z drugo spremenljivko.
3. Rešimo kvadratno enačbo. Možnosti:

Diskriminanta je večja od 0, dobimo dve realni rešitvi, s tem pa dve presečišči premice in elipse.	Diskriminanta je enaka 0, dobimo eno realno rešitev, s tem pa eno skupno točko premice in elipse - dotikališče.	Diskriminanta je manjša od 0, enačba nima realnih rešitev, elipsa in premica nimata skupnih točk.
Premica je sekanta elipse.	Premica je tangenta ali dotikalnica elipse.	Premica je mimobežnica elipse.

Če vzporedno premaknemo elipso s središčem v koordinatnem izhodišču za vektor , ima elipsa središče v točki in je njena enačba

Koordinate gorišč in temen premaknjene elipse dobimo tako, da jim prištejemo vektor :

• gorišče ,
• gorišče ,
• teme ,
• teme ,
• teme ,
• teme .

S premikanjem parametrov in si oglejte premikanje premaknjene elipse z enačbo .

Geogebra datoteka

1. Če je polos elipse in polos , potem je enačba elipse v središčni legi
   Rešitev

   .

2. Temena elipse z enačbo , kjer sta polosi in , so
   Rešitev

   , , in .

3. Gorišči elipse sta in . Kje je njeno središče?
   Rešitev

   Koordinate gorišč premaknjene elipse so in ali obratno. Zato jih lahko enačimo s podanimi koordinatami oglišč:
   , , .
   Ugotovimo, da je , . Zato je središče elipse v točki .

4. V kakšni zvezi sta elipsa z enačbo in premica z enačbo ?
   Rešitev

   Premico vstavimo v enačbo elipse in rešimo dobljeno kvadratno enačbo:
   

   Izračunamo še koordinati in . Presečišči premice in elipse sta in .

   Slikovni prikaz rešitve

Naj bosta dani točki F in G v ravnini, ki ju imenujemo gorišči. Hiperbola je množica vseh točk T(x,y) v ravnini, za katere je absolutna vrednost razlike razdalj od točk F in G konstanta. Enačba hiperbole v središčni legi:

kjer sta in pozitivni realni števili.

Hiperbola ima dve polosi, je realna polos, pa imaginarna polos. Je simetrična glede na izhodišče koordinatnega sistema in glede na obe koordinatni osi.

Hiperbola ima dve temeni, in in dve gorišči, in , kjer je linearna ekscentričnost hiperbole. Premici sta asimptoti hiperbole.

S premikanjem parametrov in si oglejte gibanje hiperbole.

Geogebra datoteka

Zanimajo nas presečišča med hiperbolo z enačbo in premico z enačbo (ali drugimi oblikami enačbe premice).

1. Iz enačbe premice izrazimo eno spremenljivko.
2. To spremenljivko vstavimo v enačbo hiperbole in dobimo kvadratno enačbo ali linearno enačbo z drugo spremenljivko.
3. Rešimo enačbo. Možnosti:

Dobimo dve različni realni rešitvi.	Dobimo eno dvojno rešitev.	Enačba nima realnih rešitev, premica in hiperbola nimata skupnih točk.	Dobimo eno rešitev linearne enačbe.
Premica je sekanta hiperbole.	Premica je dotikalnica hiperbole.	Premica je mimobežnica hiperbole.	Premica enkrat seka hiperbolo.

1. Polosi hiperbole z enačbo ali sta
   Rešitev

   in .

2. Eno teme hiperbole v središčni legi je . Eno gorišče hiperbole je v točki . Kakšna je enačba te hiperbole?
   Rešitev

   Iz koordinat temena opazimo, da je polos , iz koordinat gorišča pa, da je . Za takšno hiperbolo je , s podatki:

   Ker zdaj poznamo obe polosi hiperbole, lahko zapišemo enačbo hiperbole:

   ali

3. Kakšni sta linearna in numerična ekscentričnost hiperbole ?
   Rešitev

   Enačbo zapišemo v obliki , da lažje razberemo polosi. Opazimo, da je to hiperbola z gorišči in temeni na osi . Polosi sta in .
   Linearna ekscentričnost hiperbole: , .
   Numerična ekscentričnost hiperbole: , .
   

Naj bo dana premica v ravnini, ki jo imenujemo vodnica, in točka F, ki jo imenujemo gorišče. Parabola je množica vseh točk T(x,y) v ravnini, ki so enako oddaljene od premice in od točke F. Če ima parabola teme v koordinatnem izhodišču, je njena enačba:

Enačba vodnice je , koordinate gorišča pa so . S premikanjem konstante si oglejte premikanje parabole.

Geogebra datoteka

1. Določimo enačbo vodnice in gorišče parabole . Parabolo tudi narišemo.
   Rešitev

   Enačba parabole v splošnem je , zato je in . Enačba vodnice je , . Gorišče ima koordinate , . Slika parabole:

   Za izris parabole izračunamo še par točk, da npr. , .

2. Zapišimo enačbo parabole s temenom v točki , ki gre skozi točko in je simetrična glede na abscisno os.
   Rešitev

   Enačba takšne parabole je . Če vstavimo točko , dobimo enačbo parabole, ki jo iščemo:
   
   
   
   Enačba parabole: .
3. Kvadratna funkcija ima graf v obliki parabole. Njeno teme je v točki , gorišče v točki in enačba vodnice .