Enačbe krožnice
Odgovorite na vprašanja na desni.
Zapišite enačbe krožnic, če:
Odgovori so napačni. Pravilni odgovori:
Krožnica
Katera slika predstavlja krožnico z enačbo ?
Odgovor je napačen. Ugotoviti moramo, kje ima podana krožnica središče in kolikšen je njen polmer. Ker je splošna enačba krožnice , ugotovimo, da ima središče v točki in polmer :
Krožnica in premica
V katerih točkah se sekata premica z enačbo in krožnica z enačbo ?
Točka (, )
Točka (, )
Odgovor je napačen. Če želimo ugotoviti, v katerih točkah se sekata premica in krožnica, lahko to storimo na dva načina, grafično ali računsko. Najbolje pa je, da najprej izračunamo presečišča, ki jih grafično še preverimo. Iz enačbe premice izrazimo ene spremenljivko in jo vstavimo v enačbo krožnice. Tako dobimo enačbo z eno neznanko:
in
Zato sta točki presečišč med krožnico in premico in . Rešitev preverimo še grafično:
Lega točke in premice glede na krožnico
Izberite besede tako, da bodo trditve pravilne.
Točka leži
znotraj krožnice
zunaj krožnice
na krožnici.
.
Točka leži
znotraj krožnice
zunaj krožnice
na krožnici.
Premica je krožnici
sekanta
tangenta
mimobežnica
Premica je krožnici sekanta tangenta mimobežnica
Drugi del naloge ste rešili pravilno, prvi del pa napačno. V gradivu Stožnice - teorija ste izvedeli, da:
Zato v podane enačbe vstavimo točke, da ugotovimo, kje ležijo.
Prvi del naloge ste rešili pravilno, drugi del pa napačno.
V gradivu Stožnice - teorija ste prav tako izvedeli, kako ugotovimo, v kakšnem razmerju sta premica in krožnica:
Zato rešujemo po zgornjem postopku, da ugotovimo, kje ležijo premice glede na krožnice:
V gradivu Stožnice - teorija ste izvedeli, da:
Zato v podane enačbe vstavimo točke, da ugotovimo, kje ležijo.
V gradivu Stožnice - teorija ste prav tako izvedeli, kako ugotovimo, v kakšnem razmerju sta premica in krožnica:
Zato rešujemo po zgornjem postopku, da ugotovimo, kje ležijo premice glede na krožnice:
Vse naloge lahko rešite tudi grafično, da preverite pravilnost izračunov.
Elipsa
Katera slika predstavlja elipso v središčni legi, temenom in linearno ekscentričnostjo 4?
Odgovor je napačen. Če je eno teme v točki , elipsa pa je v središčni legi, vemo, da je drugo teme v točki in da je zato polos . Za linearno ekscentričnost sta dve možnosti. Iz podatka lahko izračunamo drugo polos:
Enačba nima rešitve, zato poskusimo drugače. | . |
Izračunali smo polos in ugotovili, da je elipsa raztegnjena v smeri osi. Ker imamo vse potrebne podatke, ugotovimo, da je to elipsa na sliki:
Enačba elipse in njene ekscentričnosti
Kakšna je enačba elipse, ki seka x os pri in y os pri , če ima središče v koordinatnem izhodišču? Kolikšni sta njena linearna in numerična ekscentričnost?
Odgovori niso pravilni. Elipsa s središčem v koordinatnem izhodišču seka in os v temenih. Ker seka os pri , je polos , ker seka os pri , je polos . Zato je enačba elipse
in njena slika
Linearna ekscentričnost, če je , je , v našem primeru , .
Numerična ekscentričnost, če je , je , v našem primeru , .
Razdalja med goriščema elipse
Kolikšna je razdalja med goriščema elipse z enačbo ?
Odgovor je napačen. Razdalja med goriščema je , kjer je , če je in , če je . Podano enačbo elipse preoblikujemo:
in
Razdalja med goriščema elipse, F in G je zato .
Ploščina elipse
Kolikšna je ploščina elipse v središčni legi, ki poteka skozi točki in ?
Odgovor je napačen. Enačba elipse v središčni legi je . Če vstavimo v enačbo podani točki, dobimo:
Enačba elipse je zato , njena ploščina pa .
Premaknjena elipsa
Povežite med seboj koordinate točk in podane točke elipse z enačbo .
Odgovori so napačni. Z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata preoblikujemo enačbo elipse v enačbo . Iz te enačbe razberemo središče in dolžine polosi, , . Zato so temena elipse oziroma , oziroma , oziroma in oziroma . Gorišči premaknjene elipse imata koordinati in . Izračunati moramo , , , zato sta gorišči in .
Asimptoti hiperbole
Kateri dve izmed podanih sta asimptoti hiperbole ?
Odgovora sta napačna. Hiperbola ima dve asimptoti, , če je njena enačba oblike . Enačba podane hiperbole je ali , zato sta polosi in . Asimptoti hiperbole:
Enakostranična hiperbola
Katera slika predstavlja enakostranično hiperbolo s temenom ?
Odgovor je napačen. Če ima hiperbola teme v točki , je njena polos , zato je drugo teme v točki . Ker je hiperbola enakostranična, je njena druga polos enaka polosi . Asimptoti hiperbole sta . Če si hiperbolo skiciramo, je njena slika:
Enačba hiperbole
Kakšna je enačba hiperbole, če je njeno gorišče v točki in teme v točki ?
Odgovor je napačen. Ker iščemo enačbo oblike , sta temeni hiperbole in . Iz tega lahko sklepamo, da je polos . Gorišči imata koordinate in , zato lahko sklepamo, da je . Velja , iz tega obrazca lahko izračunamo drugo polos:
Enačba hiperbole s polosem in je
Premica in hiperbola
Koliko skupnih točk imata hiperbola in premica ?
Odgovor je napačen. Enačbo hiperbole spremenimo v obliko in namesto pišemo enačbo premice :
Razrešimo oklepaje in kvadriramo, dobimo končno obliko enačbe:
. Izračunamo diskriminato:
. Ker je vemo, da bi dobili dve rešitvi in s tem dve presečišči. Zato je pravilen odgovor, da imata hiperbola in premica dve skupni točki.
Vodnica parabole
Zapišite vodnico posamezne parabole.
Vodnica parabole :
Vodnica parabole :
Vodnica parabole :
Odgovor je napačen. Če je parabola oblike , je njena vodnica . Če je parabola oblike , je njena vodnica .
Enačba parabole
Katera izmed naštetih je enačba parabole na sliki?
Odgovor je napačen. Enačba parabole, ki ima teme v točki in gorišče v točki , ima enačbo . Podano imamo točko na paraboli, , zato lahko koordinate vstavimo v enačbo parabole:
Enačba parabole je
Parabola in krožnica
V katerih točkah se sekata krivulji in ?
Odgovor je napačen. Rešujemo sistem dveh enačb z dvema neznankama:
Enačbo prve krivulje vstavimo v drugo enačbo in dobimo:
Ustreza prva rešitev, saj, če vstavimo drugo rešitev v enačbo , dobimo rezultat , kar pa ni možno. Zato sta presečišči krivulj in . Rešitev lahko preverimo še grafično:
|
Rezultati
